Kontinuerlig funktion

Kontinuerlig funktion - en funktion , der ændrer sig uden øjeblikkelige "spring" (kaldet pauser ), det vil sige en, hvis små ændringer i argumentet fører til små ændringer i funktionens værdi. Grafen for en kontinuerlig funktion er en kontinuerlig linje .

En kontinuert funktion er generelt set et synonym for begrebet kontinuerlig mapping , dog oftest bruges dette udtryk i en snævrere betydning - for mappinger mellem talrum, for eksempel på den reelle linje . Denne artikel er afsat til kontinuerlige funktioner defineret på en delmængde af reelle tal og tager reelle værdier. For en variation af dette koncept for funktioner af en kompleks variabel, se artiklen Kompleks analyse .

Definition

Lad og . Der er flere ækvivalente definitioner for kontinuiteten af en funktion i et punkt . $D\subset \mathbb {R}$ $f:D\to \mathbb {R}$ $x_{0}\i D$

Definition i form af en grænse : en funktion er kontinuert ved et grænsepunkt for et sæt, hvis den har en grænse ved et punkt , og denne grænse falder sammen med værdien af funktionen : $f$ $x_{0}$ $D$ $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$
Definition ved hjælp af ε-δ-formalismen : En funktion er kontinuert i et punkt, hvis der for nogen eksisterer sådan, at for enhver , $f$ $x_{0}\i D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x\i D$ $|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .$

Kommentar: Sammenlignet med definitionen af grænsen for en funktion ifølge Cauchy , er der ingen krav i definitionen af kontinuitet, der forpligter alle værdier af argumentet til at opfylde betingelsen , det vil sige at være anderledes end en.

x

0<\left\vert xa\right\vert

Definition ved hjælp af o-symboler : en funktion er kontinuert i et punkt if $f$ $x_{0}$ $f(x_{0}+\delta )=f(x_{0})+o(1)$ , kl . $\delta \to 0$
Definition gennem fluktuationer : en funktion er kontinuert i et punkt, hvis dens fluktuation i et givet punkt er nul.

En funktion er kontinuerlig på et sæt, hvis den er kontinuert på hvert punkt i det givne sæt. $f$ $E$

I dette tilfælde siger de, at klassen fungerer og skriver: eller mere detaljeret, . $f$ $C^{0}$ $f\in C^{0}(E)$ $f\in C^{0}(E,\mathbb {R})$

Breakpoints

Hvis betingelsen, der er inkluderet i definitionen af en funktions kontinuitet, bliver overtrådt på et tidspunkt, siger de, at den pågældende funktion lider under en diskontinuitet på dette tidspunkt . Med andre ord, hvis er værdien af funktionen i punktet , så falder grænsen for en sådan funktion (hvis den findes) ikke sammen med . I kvartersproget opnås diskontinuitetsbetingelsen for en funktion i et punkt ved at negere kontinuitetsbetingelsen for den funktion, der overvejes på et givet punkt, nemlig: der er en sådan naboskab af punktet af funktionsområdet, at uanset hvordan tæt kommer vi til punktet for funktionsdomænet , vil der altid være punkter, hvis billeder vil være uden for punktets nærhed . $EN$ $f$ $-en$ $EN$ $f$ $-en$ $EN$ $f$ $-en$ $f$ $EN$

Klassificering af diskontinuitetspunkter i R¹

Klassificeringen af diskontinuiteter af funktioner afhænger af, hvordan mængderne X og Y er arrangeret . Her er en klassifikation for den enkleste sag - . Entalspunkter (punkter, hvor funktionen ikke er defineret) klassificeres på samme måde . Det er værd at bemærke, at klassificeringen i er forskellig fra forfatter til forfatter. $f:X\til Y$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Hvis funktionen har en diskontinuitet på et givet punkt (det vil sige, at grænsen for funktionen på et givet punkt er fraværende eller ikke svarer til værdien af funktionen på et givet punkt), så er der for numeriske funktioner forbundet med to muligheder med eksistensen af ensidige grænser for numeriske funktioner :

hvis begge ensidige grænser eksisterer og er endelige, så kaldes et sådant punkt et diskontinuitetspunkt af den første slags . Diskontinuitetspunkter af den første slags omfatter aftagelige diskontinuiteter og hop .
hvis mindst en af de ensidige grænser ikke eksisterer eller ikke er en endelig værdi, så kaldes et sådant punkt et diskontinuitetspunkt af den anden slags . Diskontinuitetspunkter af den anden art omfatter poler og væsentlige diskontinuitetspunkter .

Reparerbar spalte
Pause type "hop"
Enkeltpunkt af "pol"-type. Hvis vi omdefinerer funktionen for x=2, får vi en "pol" diskontinuitet.
Betydeligt knækpunkt

Aftageligt brudpunkt

Hvis grænsen for funktionen eksisterer og er endelig , men funktionen ikke er defineret på dette tidspunkt, eller grænsen ikke matcher værdien af funktionen på dette tidspunkt:

\lim \limits _{x\to a}f(x)\neq f(a)

så kaldes punktet et punkt med disponibel diskontinuitet af funktionen (i kompleks analyse er det et engangspunkt singular ). $-en$ $f$

Hvis vi "retter" funktionen på punktet af en aftagelig diskontinuitet og sætter , så får vi en funktion, der er kontinuerlig på dette tidspunkt. En sådan operation på en funktion kaldes udvidelse af definitionen af en funktion til kontinuert eller udvidelse af definitionen af en funktion ved kontinuitet , hvilket retfærdiggør navnet på punktet som et punkt i en fjernbar diskontinuitet. $f$ $f(a)=\lim \limits _{x\to a}f(x)$

Brydepunkt "hop"

Et diskontinuitets-"spring" opstår, hvis

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)\neq \lim \limits _{x\to a+0}f(x)

. Brydepunkt "pol"

En "pol" diskontinuitet opstår, hvis en af de ensidede grænser er uendelig.

\lim \limits _{x\to a-0}f(x)=\pm \infty

eller .

\lim \limits _{x\to a+0}f(x)=\pm \infty

Væsentligt brudpunkt

På tidspunktet for en betydelig diskontinuitet er mindst én af de ensidige grænser helt fraværende.

Klassificering af isolerede entalspunkter i R n , n>1

For funktioner og der er ingen grund til at arbejde med brudpunkter, men ofte skal man arbejde med entalspunkter (punkter hvor funktionen ikke er defineret). Klassificeringen af isolerede entalspunkter (det vil sige dem, hvor der ikke er andre entalspunkter i nogle nabolag) er ens. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Hvis , så er det et flytbart entalspunkt (svarende til den rigtige argumentfunktion). $\eksisterer \lim \limits _{x\to a}f(x)$
Stangen er defineret som . I multidimensionelle rum, hvis modulet af et tal vokser, anses det for, at uanset hvordan det vokser. $\lim \limits _{x\to a}f(x)=\infty$ $f(x)\til \infty$
Hvis grænsen slet ikke eksisterer, er det et væsentligt enkeltpunkt .

Begrebet "hop" mangler. Hvad der betragtes som et spring i rum af højere dimensioner, er et væsentligt enkeltpunkt. $\mathbb {R}$

Egenskaber

Lokal

En funktion, der er kontinuert i et punkt, er afgrænset i et eller andet område af dette punkt. $-en$
Hvis funktionen er kontinuerlig ved punktet og (eller ), så (eller ) for alle tilstrækkelig tæt på . $f$ $-en$ $f(a)>0$ $f(a)<0$ $f(x)>0$ $f(x)<0$ $x$ $-en$
Hvis funktionerne og er kontinuerte i punktet , så er funktionerne og også kontinuerte i punktet . $f$ $g$ $-en$ $f+g$ $f\cdot g$ $-en$
Hvis funktionerne og er kontinuerte i punktet og , så er funktionen også kontinuert i punktet . $f$ $g$ $-en$ $g(a)\neq 0$ $f/g$ $-en$
Hvis en funktion er kontinuert i et punkt, og en funktion er kontinuert i et punkt , så er deres sammensætning kontinuert i et punkt . $f$ $-en$ $g$ $b=f(a)$ $h=g\circf$ $-en$

Global

Ensartet kontinuitetssætning : En funktion, der er kontinuert på et segment (eller ethvert andet kompakt sæt ) er ensartet kontinuert på det.
Weierstrass' sætning om en funktion på en kompakt : en funktion, der er kontinuert på et segment (eller et hvilket som helst andet kompakt sæt ) er afgrænset og når sine maksimum- og minimumværdier på det.
Rækkevidden af en funktion , der er kontinuerlig i intervallet, er det interval, hvor minimum og maksimum tages langs intervallet . $f$ $[a,b]$ $[\min f,\ \max f],$ $[a,b]$
Hvis funktionen er kontinuerlig på intervallet, og så er der et punkt , hvor . $f$ $[a,b]$ $f(a)\cdot f(b)<0,$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi )=0$
Mellemværdisætning : hvis funktionen er kontinuerlig på intervallet, og tallet opfylder uligheden eller uligheden, så er der et punkt , hvor . $f$ $[a,b]$ $\varphi$ $f(a)<\varphi <f(b)$ $f(a)>\varphi >f(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi)=\varphi$
En kontinuerlig afbildning fra et segment til den reelle linje er injektiv, hvis og kun hvis den givne funktion på segmentet er strengt monotonisk .
En monoton funktion på et segment er kontinuerlig, hvis og kun hvis dets rækkevidde er et segment med endepunkter og . $[a,b]$ $f(a)$ $f(b)$
Hvis funktionerne og er kontinuerlige på segmentet , og og så eksisterer der et punkt , hvor Af dette i særdeleshed følger det, at enhver kontinuerlig afbildning af segmentet i sig selv har mindst et fast punkt . $f$ $g$ $[a,b]$ $f(a)<g(a)$ $f(b)>g(b),$ $\xi \in(a,b),$ $f(\xi)=g(\xi).$

Eksempler

Elementære funktioner

Vilkårlige polynomier , rationelle funktioner , eksponentielle funktioner , logaritmer , trigonometriske funktioner (direkte og inverse) er kontinuerlige overalt i deres definitionsdomæne.

Aftagelig pausefunktion

Funktion givet af formel $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$

f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x)),&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases))

er kontinuert på ethvert punkt Punktet er et diskontinuitetspunkt, fordi grænsen for funktionen $x\neq 0.$ $x=0$

\lim \limits _{x\to 0}f(x)=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq f(0).

Tegn funktion

Fungere

f(x)=\operatørnavn {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

kaldes tegnfunktionen .

Denne funktion er kontinuerlig på hvert punkt . $x\neq 0$

Punktet er et diskontinuitetspunkt af den første slags , og $x=0$

\lim \limits _{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits _{x\to 0+}f(x)

mens funktionen forsvinder på selve punktet.

Heaviside funktion

Heaviside-funktionen defineret som

f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

er kontinuert overalt, bortset fra det punkt, hvor funktionen lider af en diskontinuitet af den første art. Der er dog en højre grænse ved punktet, som er den samme som værdien af funktionen i det givne punkt. Denne funktion er således et eksempel på en højrekontinuerlig funktion over hele definitionsdomænet . $x=0$ $x=0$

Tilsvarende er trinfunktionen defineret som

f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}

er et eksempel på en venstrekontinuerlig funktion over hele domænet af .

Dirichlet funktion

Fungere

f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases))

kaldes Dirichlet-funktionen . I det væsentlige er Dirichlet-funktionen den karakteristiske funktion af sættet af rationelle tal . Denne funktion er diskontinuerlig ved hvert punkt , da der i et vilkårligt lille kvarter til ethvert punkt er både rationelle og irrationelle tal.

Riemann funktion

Fungere

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n)),&x={\frac {m}{n))\in \mathbb {Q} ,\ {\text{ gcd}}(m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}

kaldes Riemann-funktionen eller "Thomas-funktionen".

Denne funktion er kontinuerlig på sættet af irrationelle tal ( ), da grænsen for funktionen ved hvert irrationelle punkt er lig med nul (hvis sekvensen er , så med nødvendighed ). På alle rationelle punkter er den diskontinuerlig. $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $x_{k}=m_{k}/n_{k}\to x\notin \mathbb {Q}$ $n_{k}\to \infty$

Variationer og generaliseringer

Ensartet kontinuitet

En funktion kaldes ensartet kontinuert på, hvis for nogen der eksisterer sådan, at for alle to punkter og sådan , at . $f$ $E$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Hver funktion ensartet kontinuerlig på et sæt er naturligvis også kontinuerlig på det. Det modsatte er generelt ikke sandt. Men hvis definitionsdomænet er kompakt, så viser den kontinuerlige funktion sig også at være ensartet kontinuerlig på det givne segment. $E$

Semikontinuitet

Der er to egenskaber, der er symmetriske til hinanden - nedre semikontinuitet og øvre semikontinuitet :

en funktion siges at være lavere semikontinuerlig på et punkt, hvis der for nogen eksisterer et kvarter , således at for nogen ; $f$ $-en$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)>f(a)-\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$
en funktion siges at være øvre semikontinuerlig på et punkt, hvis der for nogen eksisterer et kvarter sådan, at for enhver . $f$ $-en$ $\varepsilon >0$ $U_{E}(a)$ $f(x)<f(a)+\varepsilon$ $x\in U_{E}(a)$

Der er følgende forhold mellem kontinuitet og semi-kontinuitet:

hvis vi tager en funktion , der er kontinuert i punktet og mindsker værdien (med en endelig værdi), så får vi en funktion, der er lavere semikontinuerlig i punktet ; $f$ $-en$ $f(a)$ $-en$
hvis vi tager en funktion , der er kontinuert i punktet, og øger værdien (med en endelig mængde), så får vi en funktion, der er øvre semikontinuerlig i punktet . $f$ $-en$ $f(a)$ $-en$

I overensstemmelse med dette kan vi indrømme uendelige værdier for semikontinuerlige funktioner:

hvis , så antager vi at en sådan funktion er lavere semikontinuerlig i punktet ; $f(a)=-\infty$ $-en$
hvis , så antager vi at en sådan funktion er øvre semikontinuerlig i punktet . $f(a)=+\infty$ $-en$

Envejs kontinuitet

En funktion kaldes kontinuerlig til venstre (højre) på et punkt i dens definitionsdomæne, hvis følgende lighed gælder for den ensidige grænse : $f$ $x_{0}$ $f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)).$

Kontinuitet næsten overalt

På den rigtige linje betragtes normalt det simple lineære Lebesgue-mål . Hvis en funktion er sådan, at den er kontinuerlig overalt på undtagen måske et sæt af mål nul, så siges en sådan funktion at være kontinuerlig næsten overalt . $f$ $E$

I det tilfælde, hvor mængden af diskontinuitetspunkter for en funktion højst kan tælles, får vi en klasse af Riemann-integrerbare funktioner (se Riemann-integrerbarhedskriteriet for en funktion).

Noter

Litteratur

Zorich V. A. Matematisk analyse, del I. - M. : Fizmatlit, 1984. - 544 s.