Ostrogradsky metode

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2021; checks kræver 7 redigeringer .

Ostrogradskys metode er en metode til at integrere rationelle funktioner med flere irreducerbare faktorer i nævneren. Metoden tillader kun at bruge algebraiske operationer for at reducere problemet med at integrere en vilkårlig rationel funktion til problemet med at integrere en rationel funktion uden flere rødder i nævneren.

Historie

Ostrogradsky-metoden er opkaldt efter M.V. Ostrogradsky , som første gang foreslog den den 22. november 1844 på et møde i Fysik- og Matematikafdelingen ved Videnskabernes Akademi [1] , udgivet året efter på fransk [2] , artiklen blev oversat til russisk i 1958. [ en]

Beskrivelse af metoden

Ethvert integral af en rationel funktion kan repræsenteres som

\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))+\int {\ frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx

Her er produktet af alle irreducerbare faktorer i polynomiet uden at tage højde for multipliciteten (det vil sige, at hver irreducerbar faktor af polynomiet forekommer én gang i dekomponeringen af polynomiet), er produktet af alle irreducible faktorer i polynomiet med multiplicitet reduceret med 1 (hver irreducerbar faktor af multiplicitetspolynomiet forekommer i dekomponeringen af polynomiets tider). Brøken er korrekt. Denne formel kaldes Ostrogradsky-formlen . her er den algebraiske (rationelle) del af integralet af den rationelle funktion , og er den transcendentale del . $Q_{2}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $Q(x)$ $Q(x)$ $n$ $Q_{1}(x)$ $n-1$ ${\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))$ ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)))$ $\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx$ $\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx$

Essensen af metoden er som følger. Vi skriver polynomier og med ubestemte koefficienter: $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

{\displaystyle P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0))

{\displaystyle P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0))

Graderne af polynomier kan findes senere, eller du kan tage det sikkert på forhånd. Lad videre . Brøken under integralet skulle vise sig at være korrekt, så graden kan tages som . Hvis den oprindelige brøk var korrekt, så er den korrekt, og du kan tage graden som . Hvis det er forkert, så vælg heltalsdelen og reducer brøken til den rigtige (eller tag en grad, så graderne af heltalsdelene til venstre og højre falder sammen). $\operatorname {deg} {P}=n,\ \operatorname {deg} {Q}=m,\ \operatorname {deg} {Q_{2}}=p,\ \operatorname {deg} {Q_{ 1}}=mp$ $P_2$ $p-1$ ${\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ $P_1$ $mp-1$

Nu kan vi finde koefficienterne for disse polynomier ved metoden med ubestemte koefficienter. Lad os differentiere denne lighed.

{\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1 }'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)))

Gang begge sider med . $Q(x)$

P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)))-{\frac {P_{1}(x)Q_{1 }'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)))+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)} }=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1} (x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)

Begge sider af ligheden indeholder polynomier. her er også et polynomium, da det er deleligt med . Vi sidestiller koefficienterne ved lige potenser og får et system af lineære algebraiske ligninger . Løser vi det, får vi som et resultat koefficienterne for polynomier og . $P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)))$ $Q_{1}'(x)Q_{2}(x)$ $Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$

Som et resultat præsenterede vi det originale integral i formularen . Problemet blev reduceret til at integrere en brøk uden flere irreducerbare faktorer i nævneren. ${\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x))) dx$

Formlen giver dig mulighed for mere præcist at vælge graderne for polynomier og . Hvis vi sidestiller alle leds beføjelser, så får vi og . $P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x) }{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)$ $P_{1}(x)$ $P_{2}(x)$ $s=n-p+1$ $r=n+pm$

Ostrogradskys metode gør det muligt med det samme at opnå den algebraiske del af integralet af en rationel funktion. Desuden er det ikke engang nødvendigt at beregne nedbrydningen til irreducerbare. Faktisk ,, . GCD af polynomier kan beregnes ved hjælp af den euklidiske algoritme . Således kan den algebraiske del af integralet af en rationel funktion findes ved hjælp af Ostrogradsky-metoden, der kun bruger algebraiske operationer. $Q(x)$ $Q_{1}(x)={\text{gcd))(Q,Q')$ $Q_{2}(x)={\frac {Q}({\text{gcd}}(Q,Q')}}$

Bevis

Beviset for, at Ostrogradsky-formlen kan skrives for enhver rationel brøk, opnås straks fra integralets generelle form.

Lad os nedskrive den generelle form for integralet af en rationel funktion.

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i }|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i} \operatørnavn {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)

${\displaystyle x+r_{i))$ her er et lineært binomium opnået ved at vælge det fulde kvadrat fra , dvs. Lad os bringe logaritmerne og arctangenserne under integralet. $x^{2}+p_{i}x+q_{i}$ ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2))$

\int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{ i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i))))\,dx={\frac {T(x)}{\ displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2} +p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\sum _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}} {x-x_{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\venstre({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x ^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\right)\right)\,dx

Den resulterende formel er Ostrogradskys formel. Brøken under integralet er korrekt, fordi den er summen af egenbrøker.

Noter

↑ 1 2 M. V. Ostrogradsky. Udvalgte værker / Udg. V. I. Smirnova . - L . : Forlag for Videnskabsakademiet i USSR, 1958. - S. 471 . - ( videnskabens klassikere ). - 3000 eksemplarer.
↑ M. Ostrogradsky. De l'integration des fraktions rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Bd. IV. — Kol. 145-167, 286-300.