Tilføjelse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Addition ( addition [2] ) er en af de grundlæggende binære matematiske operationer ( aritmetiske operationer) af to argumenter (led), hvis resultat er et nyt tal ( sum ), opnået ved at øge værdien af det første argument med værdien af det andet argument. Det vil sige, at hvert par af elementer fra sættet er tildelt et element kaldet summen og . Dette er en af de fire elementære matematiske operationer af aritmetik . Dens prioritet i den sædvanlige rækkefølge af operationer er lig med prioriteten for subtraktion , men lavere end den for eksponentiering , rodudvinding , multiplikation og division [3] . På skrift er tilføjelse normalt angivet med et plustegn : . Tilføjelse er kun mulig, hvis begge argumenter tilhører det samme sæt af elementer (har samme type ). Så på billedet til højre betyder indtastningen tre æbler og to æbler tilsammen, hvilket giver i alt fem æbler. Men du kan ikke tilføje fx 3 æbler og 2 pærer. $(a,b)$ $EN$ $c=a+b$ $-en$ $b$ $a+b=c$
$3+2$

Ved hjælp af systematiske generaliseringer kan addition defineres for abstrakte størrelser såsom heltal , rationelle tal , reelle tal og komplekse tal , og for andre abstrakte objekter såsom vektorer og matricer .

Addition har flere vigtige egenskaber (for eksempel for ) (se Sum ): $A=$ $\mathbb {R}$

Kommutativitet : $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A;$
Associativitet : $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \foralt a,b,c\in \ A;$
Distributivitet : og $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)$ $(a+b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x),\quad \forall a,b\in \ A;$
Tilføjelse af (nul element) giver et tal svarende til originalen: $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Tilføjelse af små tal er en af de første færdigheder, som børn lærer i folkeskolen.

Forskellige tilføjelsesanordninger er kendt, fra ældgamle kulrame til moderne computere .

Former og terminologi

Tilføjelse skrives med plustegnet "+" mellem termerne; denne form for notation kaldes infix notation . Resultatet skrives med et lighedstegn . For eksempel,

$a+b=c$ ("et plus er lig med ce")
$1+1=2$ ("én plus en er lig med to")
$2+2=4$ ("to plus to er lig med fire")
$5+4+2=11$ (se "associativitet" nedenfor )
$3+3+3+3=12$ (se "multiplikation" nedenfor )

I en række situationer er addition underforstået, men additionssymboler bruges ikke:

I notationen af tal i positionelle talsystemer: notationen af et tal indebærer summering af en række [4] . $a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$ $a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot P^{1}+ a_{0}\cdot P^{0}$
Hvis der er en kolonne med tal, hvor det sidste (nederste) tal er understreget , så forstås det normalt, at alle tallene i denne kolonne tilføjes, og den resulterende sum skrives under det understregede tal.
Hvis der er en indgang, når der er et heltal før brøken , så betyder denne indtastning summen af to led - et heltal og en brøk, som kaldes et blandet tal [5] . For eksempel,
3½ = 3 + ½ = 3,5.
Denne notation kan forårsage forvirring, da en sådan notation i de fleste andre tilfælde betyder multiplikation , ikke addition [6] .

Summen af en række relaterede tal kan skrives ved hjælp af symbolet Σ, som gør det muligt at skrive iteration kompakt . For eksempel,

\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.

Tilføjelser er tal eller objekter lagt sammen [7] .

Plustegnet "+" ( Unicode :U+002B; ASCII : +) er en forenkling af det latinske ord "et" som betyder "og" [8] . For første gang findes dette symbol i bøger, fra 1489 [9]

Fortolkninger

Addition bruges til at modellere utallige fysiske processer. Selv for simpel tilføjelse af naturlige tal er der mange forskellige fortolkninger og endnu flere måder til visuel repræsentation.

Kombinere sæt

Den måske mest fundamentale fortolkning af addition er kombinationen af sæt:

Hvis to eller flere ikke-overlappende funktionssæt flettes til ét sæt, så er antallet af funktioner i det resulterende sæt lig med summen af antallet af funktioner i de originale sæt.

Denne fortolkning er let at visualisere, og risikoen for tvetydighed er minimal. Det er dog ikke klart, hvordan man forklarer additionen af brøktal eller negative tal ved hjælp af denne fortolkning af addition [10] .

En mulig løsning ville være at henvise til et sæt objekter, der let kan adskilles, såsom tærter eller stænger med segmenter [11] . I stedet for at kombinere sæt af segmenter, kan stænger fastgøres til hinanden i enderne, hvilket illustrerer et andet koncept for addition: det er ikke stængerne, der lægger sammen, men deres længder.

Længdeudvidelse

Den anden fortolkning af tilføjelsen er at udvide den oprindelige længde med mængden af den tilføjede længde:

Når den oprindelige længde forlænges med den tilføjede længde, så er den resulterende længde lig med summen af den oprindelige længde og den længde, der blev tilføjet til den [12] .

Summen a + b kan fortolkes som den binære forening af a og b i algebraisk forstand, og den kan også fortolkes som at tilføje b enere til tallet a . I sidstnævnte fortolkning spiller dele af summen a + b asymmetriske roller, og operationen a + b anses for at anvende den unære operation + b på tallet a [13] . Den unære tilgang giver dig mulighed for at gå videre til subtraktion , fordi hver unær additionsoperation har en invers unær subtraktion og omvendt.

Egenskaber

Tilføjelsesoperationen på numeriske sæt har følgende hovedegenskaber: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Kommutativitet

Addition er kommutativ - summen ændres ikke ved at ændre vilkårenes steder (denne egenskab er også kendt som den kommutative lov om addition ): Der er andre love for kommutativitet: for eksempel er der en kommutativ lov om multiplikation. Imidlertid er mange binære operationer , såsom subtraktion og division, ikke kommutative. $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A.$

Associativitet

Addition er associativ - når tilføjelsen af tre eller flere tal udføres sekventielt, er rækkefølgen af operationer ligegyldig ( associativ lov om addition ): $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A.$

Distributivitet

Addition er distributiv , dette er konsistensegenskaben for to binære operationer defineret på samme sæt ( distributiv lov ) [14] : $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Neutralt element

Med hensyn til addition er der kun ét neutralt element i sættet , tilføjelsen af et tal med (nul eller neutralt element) giver et tal svarende til originalen: $EN$ $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Denne lov blev først beskrevet i Revised Treatise of Brahma , som blev skrevet af Brahmagupta i 628. Han skrev denne lov i form af tre separate love: for et negativt, positivt og nul tal a , og for at beskrive disse love han brugte ord og ikke algebraiske symboler. Senere forfinede indiske matematikere begreberne; omkring 840 skrev Mahavira at "nul bliver det samme som det der føjes til det", hvilket svarede til notationen 0 + a = a . I det 12. århundrede skrev Bhaskara II : "Hvis intet tilføjes eller intet trækkes fra, så forbliver mængden, positiv eller negativ, den samme som den var," hvilket svarer til notationen a + 0 = a [15] .

Omvendt element

Tilføjelse med det modsatte element giver : [16] $0$ $a+(-a)=0,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.$

Derudover tager addition ikke resultatet uden for det givne sæt tal, derfor lukkes de under additionsoperationen. Disse sæt med operationer og danner ringe ( kommutative ringe med identitet) [17] . På sproget for generel algebra siger de ovennævnte egenskaber ved addition, at de er Abelske grupper med hensyn til driften af addition. $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+$ $\cdot$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Udfører tilføjelse

Tilføjelsesoperationen kan repræsenteres som en slags " sort boks " med to led ved indgangen og en udgang - summen: [18] [19]

I den praktiske løsning af problemet med at tilføje to tal , er det nødvendigt at reducere det til en sekvens af enklere operationer: "simpel addition" , overførsel, sammenligning osv. Hertil er der udviklet forskellige additionsmetoder, for eksempel for tal, brøker, vektorer osv. På numeriske mængder anvendes den bitvise additionsalgoritme [ 20] . I dette tilfælde bør tilføjelse betragtes som en procedure (i modsætning til en operation).

En eksemplarisk algoritme til proceduren for bitvis addition af to tal [21]

Som du kan se, er proceduren ret kompliceret, den består af et relativt stort antal trin, og når du tilføjer store tal, kan det tage lang tid.

"Simpel addition" - betyder i denne sammenhæng operationen med at tilføje enkeltcifrede tal, som let kan reduceres til inkrementering . Er en inkrement hyperoperator :

$a+b=\operatørnavn {hyper1} (a,b)=\operatørnavn {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b.$

$a{^{(1)}}b=a+b=\underbrace {1+1+\dots +1} _{a}+\underbrace {1+1+\dots +1} _{b }.$

hvor er rækkefølgen af udførte inkrementeringsoperationer og tidspunkter. $1+1+\dots +1$ $-en$ $b$

Medfødt evne

Matematisk udviklingsforskning, som begyndte i 1980'erne, så på fænomenet tilvænning : spædbørn ser længere på situationer, der er uventede [22] . Karen Winns eksperiment fra 1992 brugte Mickey Mouse -dukker , som blev manipuleret på forskellige måder bag en skærm Dette eksperiment viste, at 5 måneder gamle babyer forventer, at 1 + 1 er 2 og bliver overraskede, når 1 + 1 er 1 eller 3. Dette resultat blev senere bekræftet i andre laboratorier ved hjælp af forskellige metoder [23] . Et andet eksperiment i 1992 med ældre småbørn i alderen 18 til 35 måneder brugte udviklingen af børns motoriske færdigheder, hvilket gav dem mulighed for at få bordtennisbolde ud af æsken; de yngre fyre klarede sig godt med et lille antal bolde, de ældre lærte at tælle summen op til 5 [24] .

Selv nogle dyr viser evnen til at folde, især primater . Eksperimentet fra 1995 lignede Winns eksperiment fra 1992, men auberginer blev brugt i stedet for dukker . Det viste sig, at rhesusaber og ødipaltamariner viser evner, der ligner menneskelige babyer. Desuden var en chimpanse , efter at være blevet lært at skelne og forstå betydningen af de arabiske tal fra 0 til 4, i stand til at beregne summen af to tal uden træning [25] . Senere fandt man ud af, at asiatiske elefanter er i stand til at mestre grundlæggende aritmetiske operationer [26] .

Mastering tilføjelse af børn

Som regel lærer børn at tælle først . Når små børn får en opgave, der kræver at kombinere to genstande og tre genstande, henvender de sig til specifikke genstande, såsom fingertælling eller tegnehjælp. Efterhånden som de får erfaring, lærer eller opdager de "tælle"-strategien: når det er nødvendigt at finde ud af, hvor meget to plus tre vil være, lister børn de to tal, der kommer efter tallet tre, og siger: "tre, fire, fem " . (normalt bøjer deres fingre) , og som et resultat får fem. Denne strategi virker næsten universel; børn kan nemt lære det af deres kammerater eller lærere [27] . Mange børn kommer selv til dette. Efter at have akkumuleret en vis erfaring lærer børn at tilføje hurtigere ved at bruge kommutativiteten af addition, begynde at liste tal fra det største tal i summen, som i det ovenfor beskrevne tilfælde, startende fra tre og liste: "fire, fem ". Til sidst begynder børn at bruge nogle fakta om addition (" eksempler på tilføjelse udenad "), enten ved at lære dem ved erfaring eller ved at huske dem. Når nogle fakta sætter sig i hukommelsen, begynder børn at udlede ukendte fakta fra kendte. For eksempel kan et barn, der lægger seks og syv sammen, vide, at 6 + 6 = 12, og at 6 + 7 derfor er en mere, det vil sige 13 [28] . Denne form for slutning kommer ret hurtigt, og de fleste folkeskoleelever er afhængige af en blanding af alt, hvad de husker, og hvad de kan udlede, hvilket til sidst giver dem mulighed for at tilføje flydende [29] .

I forskellige lande begynder studiet af heltal og aritmetik i forskellige aldre, hovedsageligt undervises addition i førskoleuddannelsesinstitutioner [30] . På samme tid, rundt om i verden, ved udgangen af det første år i grundskolen, lærer eleverne addition [31] .

Tilføjelsestabel

Børn får ofte vist en tabel for at tilføje talpar fra 1 til 10 for bedre at huske.[ flydende udtryk ] . Når du kender denne tabel, kan du udføre enhver tilføjelse.

decimaladditionstabel

+	0	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
0	0	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9
en	en	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti
2	2	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve
3	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12
fire	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13
5	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten
6	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten	femten
7	7	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten	femten	16
otte	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten	femten	16	17
9	9	ti	elleve	12	13	fjorten	femten	16	17	atten

Decimalsystem

For at kunne tilføje decimaler skal du huske eller hurtigt kunne vise 100 "fakta (eksempler) på addition" for enkeltcifrede tal. Man kan huske alle disse fakta ved at huske dem, men strategier til at lære addition ved at bruge mønstre er mere informative og mere effektive for de fleste mennesker: [32]

Kommutativ egenskab : Brug af et mønster reducerer antallet af "tilføjelsesfakta", der skal huskes, fra 100 til 55. $a + b = b + a$
En eller to mere : tilføjelse af 1 eller 2 er et grundlæggende problem, og det kan løses ved opregning (tælle) eller i sidste ende at stole på intuition [32] .
Nul : da nul er det neutrale element for additionsoperationen (en additiv enhed), er det nemt at tilføje nul. Men i løbet af regnestudiet præsenteres addition for nogle elever som en proces, hvor terminerne altid er stigende; vægten på den verbale formulering af problemet kan hjælpe med at forstå "eksklusiviteten" af nul [32] .
Fordobling : At lægge et tal til sig selv er relateret til opgaven med at fordoble (gen)tælle og gange . Fordobling af fakta er grundlaget for mange relaterede fakta og er relativt nemme at forstå for eleverne [32] .
Næsten-dobling (Summer tæt på fordobling) : summen 6 + 7 = 13 kan hurtigt udledes af det faktum at fordoble 6 + 6 = 12 og lægge en til, eller fra kendsgerningen af 7 + 7 = 14 og trække en fra [32 ] .
Fem og ti : summer af formen 5 + x og 10 + x huskes normalt tidligt og kan bruges til at udlede andre fakta. For eksempel kan resultatet af summen 6 + 7 = 13 udledes ved at bruge kendsgerningen 5 + 7 = 12 ved at lægge en til den sidste [32] .
At få ti (bygge op til ti) : der er en strategi, hvor 10 bruges som et mellemresultat ved tilstedeværelse af vilkår 8 eller 9; for eksempel 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 [32] .

Efterhånden som eleverne bliver ældre, lærer de flere og flere fakta udenad og lærer hurtigt at udlede andre fakta fra dem. Mange elever husker ikke alle fakta, men kan hurtigt udlede de nødvendige [29] .

Overfør

I standard flercifret additionsalgoritme[ strømlinet udtryk ] cifrene, der udgør indtastningerne af de tilføjede tal, er placeret under hinanden. Udfør tilføjelsen af tal separat i hver kolonne, startende fra højre. Hvis summen af cifrene i en kolonne overstiger 10, " overføres " det ekstra ciffer til næste kolonne (til venstre). For eksempel i alt 27 + 59

¹ 27 +59 ———— 86

7 + 9 = 16 og tallet 1 overføres til næste kolonne. I en alternativ metode skal du begynde at tilføje fra det mest signifikante ciffer til venstre; i denne strategi er overførslen noget mere grov, men den omtrentlige mængde opnås hurtigere. Der er mange andre overførselsmetoder.

Tilføjelse af decimaler

Decimaladditionsmetoden er en simpel modifikation af multicifret addition beskrevet ovenfor [ 33] . Ved tilføjelse af en søjle er brøkerne arrangeret på en sådan måde, at kommaerne[ stil ] var nøjagtigt under hinanden. Om nødvendigt kan der tilføjes nuller til højre og venstre for den kortere brøk (se efterfølgende nul og indledende nuller ) for at få den til at være lige lang med den længere brøk. Så tilføjelse udføres på samme måde som i metoden til at tilføje flercifrede tal beskrevet ovenfor, kun kommaet er placeret i svaret, præcis hvor det var placeret for vilkårene.

For eksempel kan summen 45,1 + 4,34 beregnes som følger:

4 5 , 1 0 + 0 4, 3 4 ————————————— 4 9 , 4 4 Eksponentiel notation

I eksponentiel notation skrives tal som , hvor er mantissen , er karakteristikken for tallet , og er grunden til talsystemet. For at tilføje to tal, der er skrevet i eksponentiel form, kræves det, at de har samme karakteristika: ifølge den fordelingsegenskab. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},$

For eksempel:

2.34\cdot 10^{-5}+5.67\cdot 10^{-6}=2.34\cdot 10^{-5}+0.567\cdot 10^{-5}=(2.34+0.567)\cdot 10^{-5}=2.907\cdot 10^{-5}

Et særligt tilfælde er tilføjelsen af tal, der adskiller sig med flere størrelsesordener , med konsekvent afrunding. Hvis , så vil fejlene i disse tal være uforlignelige ( ), og når tilføjelsen udføres, vil en større fejl absorbere en mindre. Således kan associativitetsegenskaben krænkes. $a\gg b$ $\Delta a\gg \Delta b$

Overvej for eksempel udtrykket : hvis vi udfører først , efter at vi har rundet resultatet får vi , tilføjer yderligere, har vi , og hvis tilføjelsen udføres i en anden rækkefølge, så: . Således kan unøjagtig afrunding resultere i forskellige værdier af det samme udtryk. $5.6\cdot 10^{8}+7.2+(-5.6\cdot 10^{8})$ $5.6\cdot 10^{8}+7.2$ ${\displaystyle \approx 5.6\cdot 10^{8))$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})=0$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5.6\cdot 10^{8})+7.2=0+7.2=7.2$

Tilføjelse i andre talsystemer

Addition for tal med andre grundtal er identisk med addition i decimalsystem

Som et eksempel kan du overveje addition i det binære system [34] . Tilføjelse af to encifrede binære tal ved hjælp af carry er ret simpelt:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 overføres (fordi 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Summen af to '1'ere er lig med '0', og 1 skal tilføjes til næste kolonne. Denne situation er analog med, hvad der sker i decimalsystemet, når visse encifrede tal lægges sammen; hvis resultatet er lig med eller større end værdien af grundtallet (10), øges cifrene til venstre:

5 + 5 → 0, bære 1 (fordi 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, bære 1 (fordi 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Denne operation er kendt som "overførsel" [35] . Når resultatet af en tilføjelse overstiger intervallet af værdier og sted , skal du "overføre" overskuddet divideret med systemets basis (dvs. med 10 i decimal) til venstre og tilføje det til værdi på det næste sted. Dette skyldes, at værdien i det næste ciffer er gange større (i det -th talsystem) end værdien i det aktuelle ciffer. Bær i binær fungerer på samme måde som i decimal: $N$ $N$

1 1 1 1 1 (overførsel) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 —————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

Dette eksempel tilføjer to tal: 01101 2 (13 10 ) og 10111 2 (23 10 ). Den øverste linje angiver tilstedeværelsen af en overførsel. Vi begynder at tilføje fra højre kolonne: 1 + 1 = 10 2 . Her føres 1 til venstre og 0 er skrevet på nederste linje. Nu lægges tallene i anden kolonne fra højre sammen: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; 1 overføres og 0 skrives på bundlinjen. Tredje kolonne: 1 + 1 + 1 = 11 2 . I dette tilfælde føres 1 på bundlinjen. Som et resultat får vi 100100 2 (eller 36 i decimal).

Computere

Analoge computere arbejder direkte med fysiske mængder, så deres tilføjelsesmekanisme afhænger af typen af udtryk. En mekanisk adderer kan repræsentere to termer som positioner af glidende blokke , i hvilket tilfælde de kan tilføjes ved hjælp af et gennemsnitshåndtag . Hvis termerne præsenteres i form af to akslers omdrejningshastigheder , kan de tilføjes ved hjælp af en differential . En hydraulisk adderer kan tilføje trykket i de to kamre ved at bruge Newtons anden lov til at afbalancere kræfterne på stempelsamlingen . Den mest typiske analoge computerapplikation er tilføjelsen af to spændinger (i forhold til jord ); dette kan groft implementeres med et modstandskredsløb , og en avanceret version bruger en op-amp [36] .

Tilføjelsen er grundlæggende i en personlig computer . Ydeevnen af tilføjelsesoperationen, og især begrænsningerne forbundet med overførselsmekanismen , påvirker computerens overordnede ydeevne.

Kulerammen , også kaldet tællebrættet, er en regneanordning, der blev brugt mange århundreder før vedtagelsen af det moderne talsystem og er stadig meget brugt af købmænd, købmænd og kontorister i Asien , Afrika og andre kontinenter; det antages, at kulerammen er skabt senest 2700-2300 f.Kr. e. så blev det brugt af sumererne [37] .

Blaise Pascal opfandt den mekaniske lommeregner i 1642 [38] [39] ; det var den første operationelle tilføjelsesmaskine . I denne lommeregner blev overførselsmekanismen udført på grund af tyngdekraften. Det var den eneste fungerende lommeregner i det 17. århundrede [40] og den allerførste automatiske digitale computer. Pascals tilføjelsesmaskine var begrænset af dens overførselsmekanisme, som kun tillod hjulene at dreje i én retning og dermed stables. For at trække fra, skulle brugeren bruge et andet sæt cifre til at repræsentere resultatet, og additionsmetoder , som inkluderede det samme antal trin som addition. Giovanni Poleni fortsatte Pascals arbejde ved at bygge den anden funktionelle mekaniske lommeregner i 1709. Skiven til denne lommeregner var lavet af træ, og når den først var installeret, kunne den automatisk gange to tal sammen.

Addere udfører heltalsaddition i elektroniske digitale computere, normalt ved hjælp af binær aritmetik . Den enkleste struktur bruger en wave-carry adder (udførelsen af den forrige adder i adderkæden er carry-in for den næste adder), som tillader addition for multi-bit tal. En lille forbedring er leveret af skip-carry adder , som fungerer på en måde, der ligner menneskelig intuition; den udfører ikke alle bærerne i summen 999 + 1, den omgår gruppen af ni og hopper direkte til svaret [41] .

I praksis kan addition udføres via modulo to addition og AND operationen i kombination med andre bitvise operationer, som vist nedenfor. Begge disse operationer er enkle at implementere i kæder af addere , som igen kan kombineres til mere komplekse logiske operationer . I moderne digitale computere er heltalsaddition såvel som andre heltals aritmetiske instruktioner blandt de hurtigste operationer, men de har samtidig en enorm indflydelse på computerens overordnede ydeevne, da heltal operationer udgør en betydelig del af alle beregninger. Heltalsaddition bruges for eksempel i sådanne opgaver som generering af adresser under hukommelsesadgang og hentning af instruktioner under en bestemt rækkefølge af eksekvering . For at øge hastigheden beregner moderne computere værdier i cifre parallelt ; sådanne skemaer kaldes carry sampling, carry anticipation og pseudo-transfer i en Ling adder . I de fleste tilfælde er implementeringen af addition på en computer en hybrid af de sidste tre konstruktioner [42] [43] . I modsætning til papirtilsætning ændrer computertilsætning ofte vilkårene. På en gammel kulerram og en tilføjelsestavle blev begge termer ødelagt under tilføjelsesoperationen, så kun summen blev tilbage. Kulrammens indflydelse på matematisk tænkning var så stor, at det i tidlige latinske tekster ofte blev anført, at i processen med at tilføje "tal til tal" forsvinder begge tal [44] . For at vende tilbage til nutiden bemærker vi, at ADD-instruktionen fra mikroprocessoren erstatter værdien af det første led med summen, det andet led forbliver uændret [45] . I et programmeringssprog på højt niveau ændrer evaluering af a + b hverken a eller b ; hvis opgaven er at skrive summen til a , så skal dette udtrykkeligt angives, normalt med udtrykket a = a + b . I nogle programmeringssprog som C eller C++ er dette forkortet til a += b .

// Iterativ algoritme int add ( int x , int y ){ int carry = 0 ; mens ( y != 0 ){ bære = OG ( x , y ); // Logisk OG x = XOR ( x , y ); // Logisk XOR y = bære << 1 ; // venstre bitforskydning bære med én } returner x ; } // Rekursiv algoritme int add ( int x , int y ){ return x if ( y == 0 ) ellers add ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 ); }

På en computer, hvis resultatet af en tilføjelse er for stor til at gemme, opstår der et aritmetisk overløb , hvilket resulterer i et forkert svar eller en undtagelse under programafviklingen. Uventet aritmetisk overløb er en ret almindelig årsag til programmeringsfejl . Sådanne overløbsfejl kan være svære at opdage og diagnosticere, fordi de kun kan forekomme med meget store inputdatasæt, som ikke ofte bruges i tests [46] . Tilføjelsen af reelle tal på moderne computere, som alle flydende kommaberegninger , er implementeret i hardware i et specielt modul kaldet en matematisk coprocessor (navnet er betinget, da det i moderne computere er fysisk integreret i den centrale processor ). Floating-point addition kan også flyde over, men det vil altid give en undtagelse og vil ikke gå ubemærket hen.

Et andet vigtigt træk ved computerberegninger med flydende komma er den begrænsede nøjagtighed af at repræsentere et reelt tal , i forbindelse med hvilken flydende kommaberegninger på en computer generelt udføres omtrentligt, og afrundingsoperationen anvendes på resultaterne af beregninger (inklusive mellemliggende) . Afrunding anvendes som regel selv på de tal, der er repræsenteret i decimaltalsystemet med en endelig brøk, det vil sige nøjagtigt (da de mest almindelige computere bruger det binære talsystem ). I denne henseende, når man summerer flydende kommatal på en computer, afhænger summen som regel af rækkefølgen af summering af vilkårene - nogle gange betydeligt, hvis rækkefølgen af vilkårene er væsentligt forskellige. I betragtning af denne omstændighed, når man skriver programmer, der bruger summering af et stort antal udtryk, er man nødt til at ty til særlige foranstaltninger, der har til formål at reducere fejlen. En af de mest effektive metoder til at reducere summeringsfejlen er Kahan-algoritmen .

Nummer tilføjelse

For at repræsentere de grundlæggende egenskaber ved addition skal du først tage stilling til konteksten. Addition blev oprindeligt defineret for naturlige tal . Addition er defineret for større og større mængder, herunder naturlige tal: heltal , rationelle tal og reelle tal [47] . (I matematikundervisningen [48] går tilføjelsen af positive brøker før tilføjelsen af negative tal [49] .)

Naturlige tal

Lad os bruge definitionen af naturlige tal som ækvivalensklasser af endelige mængder. Lad os betegne ækvivalensklasserne af endelige mængder genereret af bijektioner ved hjælp af parenteser: . Så er den aritmetiske operation "addition" defineret som følger: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ $[C],[A],[B]$

[C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];

hvor er den usammenhængende forening af sættene . Denne operation på klasser er indført korrekt, det vil sige, den afhænger ikke af valget af klasseelementer og falder sammen med den induktive definition. $A \sqcup B$

En en-til-en afbildning af et endeligt sæt på et segment kan forstås som en opregning af sættets elementer . Denne nummereringsproces kaldes " tælle " [50] [ tjek link (allerede 506 dage) ] . Således er "kontoen" etableringen af en en-til-en overensstemmelse mellem elementerne i mængden og et segment af den naturlige talrække [51] . $EN$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

For at tilføje naturlige tal i positionsnotationen for tal bruges en bitvis additionsalgoritme. Givet to naturlige tal og sådan, at: $-en$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

hvor: ; ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$

n

- antallet af cifre i nummeret ;

n\in \{1,2,\dots ,n\}

k

- serienummer på kategorien (positionen), ;

k\in \{0,1,\dots ,n-1\}

P

- base af talsystemet;

\{P\}

et sæt numeriske tegn (cifre), et specifikt talsystem:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

\{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

;

derefter:

c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}+b_ {n-1}b_{n-2}\dots b_{0};

tilføjer vi lidt efter lidt:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P- 1{\text{ }}\end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_ {1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{ hvis }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_ {n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text { }}\end{cases}}$

Således reduceres additionsoperationen til proceduren med sekventiel simpel tilføjelse af enkeltcifrede tal , med dannelse af en overførselsenhed, om nødvendigt, som udføres enten ved den tabelformede metode eller ved inkrementering (tælle). $a_{k}+b_{k}$

Aritmetiske operationer på tal i ethvert positionelt talsystem udføres efter de samme regler som i decimalsystemet , da de alle er baseret på reglerne for udførelse af operationer på de tilsvarende polynomier [52] . I dette tilfælde skal du bruge additionstabellen, der svarer til den givne base i talsystemet. $P$

Et eksempel på tilføjelse af naturlige tal i binære, decimale og hexadecimale talsystemer, for nemheds skyld skrives tallene under hinanden i henhold til cifrene, bæreenheden er skrevet ovenpå, de manglende cifre er polstret med nuller:

{\begin{array}{cccccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array));\quad \quad {\begin {array}{ccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&3&4&5&6&7\\+&8&7&5&4&1\\\hline 1&2&2&1&0&8\end{array));\quad \quad {\begin{array}{cccccccc} &_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.

En anden berømt definition er rekursivt:

Lad n + være det naturlige tal efter efter n , for eksempel 0 + =1, 1 + =2. Lad a + 0 = a . Derefter bestemmes den samlede sum rekursivt: a + ( b + ) = ( a + b ) + . Derfor 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 [53] .

Der er forskellige versioner af denne definition i litteraturen. I rekursionssætningen[ ukendt udtryk ] på et poset N 2 er præcis den definition, der er givet ovenfor, brugt. [54] . På den anden side foretrækker nogle kilder at bruge den begrænsede rekursionssætning, som kun gælder for mængden af naturlige tal. Nogle foreslår midlertidigt at "fikse" a ved at gå igen på b for at definere funktionen " a +", og indsætte disse unære operationer for alle a for at danne en komplet binær operation [55] .

Denne rekursive definition af addition blev givet af Dedekind allerede i 1854, og han udvidede den i de efterfølgende årtier [56] . Ved hjælp af matematisk induktion beviste Dedekind egenskaberne ved associativitet og kommutativitet.

Heltal

Heltalssættet er en forlængelse af mængden af naturlige tal , opnået ved at tilføje negative tal [57] af formen . Sættet af heltal betegnes Aritmetiske operationer på heltal er defineret som en kontinuerlig fortsættelse af de tilsvarende operationer på naturlige tal. Forskellen fra naturlige tal er, at negative tal på tallinjen er rettet i den modsatte retning, dette ændrer noget på additionsproceduren. Det er nødvendigt at tage højde for den gensidige retning af tal, flere tilfælde er mulige her: $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Hvis begge udtryk er positive, så: $c=a+b;$
Hvis et af termerne er negativt, er det nødvendigt at trække udtrykket med en mindre modulværdi fra udtrykket med en større modulværdi , hvorefter du sætter tegnet for det led, hvis modul er større, foran det resulterende tal: $c=-a+b=b+(-a)=ba;$
Hvis begge led er negative, så: [58] . $c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)$

En anden konstruktion af sættet af heltal er baseret på Grothendieck-grupper . Hovedideen er, at hvert heltal kan repræsenteres (på mere end én måde) som forskellen mellem to naturlige tal, så vi kan definere et heltal som forskellen mellem to naturlige tal. Så er addition defineret som følger:

Lad der være to heltal a − b og c − d , hvor a , b , c og d er naturlige tal, så ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) [ 59] .

Rationale tal

Sættet af rationelle tal er betegnet (fra den engelske kvotient "private") og kan skrives i denne form: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\venstre\{{\frac {m}{n}}\midt m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

For at tilføje rationelle tal i form af almindelige (eller simple) brøker af formen: , skal de konverteres (bragtes) til en fælles (identisk) nævner . Tag for eksempel produktet af nævnerne, mens tællerne ganges med de tilsvarende nævnere. Tilføj derefter de resulterende tællere, og produktet af nævnerne bliver fælles. $\pm {\frac {m}{n}}$

Hvis der er givet to rationelle tal og sådan, at: (irreducerbare brøker), så: $-en$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a }\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}} ={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[60]

Eller du kan finde det mindste fælles multiplum (LCM) af nævnerne. Procedure:

Find det mindste fælles multiplum af nævnerne :. $M=[n_{a},n_{b}]$
Gang tælleren og nævneren af den første brøk med . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Gang tælleren og nævneren af den anden brøk med . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Derefter er nævnerne for begge brøker ens (lige ). I en række simple tilfælde forenkler dette beregningerne, men ved store tal bliver beregningerne meget mere komplicerede. Du kan tage som ethvert andet fælles multiplum. $M$ $M$

Eksempel på tilføjelse:

{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13} {femten}}.

Hvis nævnerne for begge brøker er ens, så:

{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.

Hvis nævnerne er multipla af et hvilket som helst tal, så konverterer vi kun én brøk:

{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 }}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.

Den aritmetiske operation "addition" over rationelle tal refererer til lukkede operationer. Kommutativiteten og associativiteten af tilføjelsen af rationelle tal er en konsekvens af lovene for heltalsaritmetik [61] . For en mere stringent og generel definition, se artiklens felt af brøker .

Fysiske størrelser tilføjes på lignende måde: de udtrykkes i form af almindelige måleenheder [62] . For at tilføje for eksempel 50 milliliter og 1,5 liter, skal du omregne milliliter til liter og bringe brøkerne til en fællesnævner: liter. ${\frac {50}{1000}}+{\frac {1500}{1000}}={\frac {1550}{1000}}=1{,}55$

Reelle tal

Aritmetiske operationer på reelle tal , der kan repræsenteres som uendelige decimalbrøker, er defineret som en kontinuerlig fortsættelse [63] af de tilsvarende operationer på rationelle tal.

Givet to reelle tal, der kan repræsenteres som uendelige decimaler :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

defineret af de grundlæggende sekvenser af rationelle tal (der opfylder Cauchy-betingelsen ), betegnet som: og , så er deres sum det tal, der er defineret af summen af sekvenserne og : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]

;

reelt tal , opfylder følgende betingelse: $\gamma =\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'' )

Altså summen af to reelle tal og er sådan et reelt tal , der er indeholdt mellem alle summen af formen på den ene side og alle formens summer på den anden side [64] . $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $a'+b'$ $a''+b''$

I praksis, for at tilføje to tal og , er det nødvendigt at erstatte dem med den nødvendige nøjagtighed med omtrentlige rationelle tal og . For den omtrentlige værdi af summen af tal, tag summen af de angivne rationelle tal . Samtidig er det lige meget fra hvilken side (ved mangel eller ved overskud) de optagne rationelle tal tilnærmer sig og . Addition udføres i henhold til den bitvise additionsalgoritme. $\alfa$ $\beta$ $-en$ $b$ $\alfa +\beta$ $a+b$ $\alfa$ $\beta$

Når man tilføjer omtrentlige tal, summeres deres absolutte fejl , den absolutte fejl af et tal tages lig med halvdelen af det sidste ciffer i dette tal. Den relative fejl af summen er mellem den største og mindste værdi af de relative fejl i vilkårene; i praksis tages den største værdi . Det opnåede resultat rundes op til det første korrekte signifikante ciffer, det signifikante ciffer i det omtrentlige tal er korrekt, hvis tallets absolutte fejl ikke overstiger halvdelen af enheden af cifferet svarende til dette ciffer. $\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$

Eksempel på tilføjelse , op til 3 decimaler: $\gamma =\pi +e$

Vi afrunder disse tal til 4. decimal (for at forbedre nøjagtigheden af beregninger);
Vi får: ; $\pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183$
Tilføj lidt efter lidt: ; $\gamma =\pi +e\ca. 3.1416+2.7183\ca. 5.8599$
Afrunding op til 3. decimal: . $\gamma \ca. 5.860$

Tidsplan

På sættet af reelle tal har grafen for additionsfunktionen form af et plan, der går gennem koordinaternes oprindelse og hælder til akserne med 45° vinkelgrader . Siden vil værdierne af additionsfunktionen for disse sæt tilhøre dette plan. [65] $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplekse tal

Komplekse tal lægges til hinanden ved at tilføje de reelle og imaginære dele [66] . Det betyder at:

c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\

Hvor:, er en imaginær enhed . Ved at bruge repræsentationen af komplekse tal som punkter på den komplekse plan kan vi give tilføjelsen af komplekse tal følgende geometriske fortolkning : summen af komplekse tal og , repræsenteret ved punkter på den komplekse plan, er punkt Opnået ved at konstruere et parallelogram , hvis tre toppunkter er placeret i punkterne O , A og B. Eller vi kan sige, at C er et punkt, således at trekanter OAB og CBA er kongruente . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $jeg$ $a+di$ $b+ei$

Tilsvarende for hyperkomplekse tal (komplekse tal af n. dimension): [67] $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\dots +b_{n}i_{n};$ $C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\dots +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_ {2}+\dots +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\dots +(a_{n}+b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\dots +c_{n}i_{n}.$

Tilføjelse af vilkårlige tal

Når man tilføjer tal, der tilhører forskellige mængder, er det nødvendigt (hvis muligt) at repræsentere en mængde med mindre effekt som en delmængde af en mængde med mere effekt, eller finde den "mindst almindelige mængde". For eksempel, hvis du skal tilføje et naturligt tal med rationelle , så ved at bruge det faktum, at naturlige tal er en delmængde af rationelle tal, repræsenterer vi tallet som rationelle og tilføjer to rationelle tal . På samme måde, ved at bruge det faktum, at: , kan du tilføje tal fra forskellige sæt til hinanden. For at vende tilbage til æbleeksemplet, lad os bruge det faktum, at sættet af æbler og sættet af pærer er delmængder af sættet af frugter: , og dermed kan vi tilføje 3 æbler og 2 pærer, der repræsenterer dem som delmængder af sættet af frugter: frugt_æble frugt_pærer frugt. $3$ $4.56$ $3$ $3.00$ $3.00+4.56=7.56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $\{{\mbox{æble}}\}\undersæt \{{\tekst{æbler}}\}\undersæt \{{\text{frugt}}\}~~~{\text{end}} ~~~\{{\tekst{pære}}\}\delsæt \{{\tekst{pærer}}\}\undersæt \{{\tekst{frugt}}\}$ $3$ $+2$ ${\displaystyle=5}$

Generaliseringer

Der er mange binære operationer, der kan opfattes som generaliseringer af addition af reelle tal. Sådanne generaliserede operationer er hovedemnet for undersøgelse af generel algebra , de forekommer også i mængdeteori og kategoriteori .

Tilføjelse i abstrakt algebra

Vektortilsætning

Et vektorrum er en algebraisk struktur, hvor alle to vektorer kan tilføjes, og enhver vektor kan ganges med et tal. Et simpelt eksempel på et vektorrum er mængden af alle ordnede par af reelle tal; et ordnet par er en vektor, der starter ved et punkt i det euklidiske plan og slutter i et punkt (og alt i samme retning ). Summen af to vektorer fås ved at addere deres respektive koordinater: . Denne additionsoperation er central for klassisk mekanik , hvor vektorer behandles som analoger af kræfter . $(a,b)$ $(0,0)$ $(a,b)$ $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

Matrix tilføjelse

Matrixaddition er defineret for to matricer af samme størrelse. Summen af to m × n matricer A og B (udtales "m gange n"), skrevet som A + B , er en m × n matrix opnået ved at tilføje de tilsvarende elementer [68] [69] :

{\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\end{aligned}}

For eksempel:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+ 0 \\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}

Resten af aritmetik

Sættet af rester fra division med 12 består af tolv elementer; dette sæt arver driften af heltalsaddition. Sættet af rester modulo 2 har kun to elementer; additionsoperationen, den arver, er kendt i propositionel logik som " eksklusiv eller " operation. I geometri defineres summen af to vinkelmål ofte som summen af reelle tal modulo 2π. En sådan definition svarer til operationen af addition på en cirkel , som igen generaliserer til operationen af addition på en multidimensionel torus .

Generel tilføjelse

I den generelle teori om abstrakt algebra kan operationen af "addition" kaldes enhver associativ og kommutativ operation. Større algebraiske systemer med sådanne additionsoperationer inkluderer kommutative monoider og abelske grupper .

Tilføjelse i mængdelære og kategoriteori

En generalisering af addition af naturlige tal er addition af ordenstal og kardinaltal i mængdelære. Disse operationer er to forskellige generaliseringer af tilføjelsen af naturlige tal til det transfinite tilfælde . I modsætning til de fleste typer additionsoperationer er ordinal addition ikke kommutativ. Tilføjelse af kardinaltal er imidlertid en kommutativ operation, der er tæt forbundet med den disjunktive unionsoperation .

I kategoriteori behandles disjunkt forening som et særligt tilfælde af coproduktoperationen , og generelle coprodukter er måske den mest abstrakte af alle generaliseringer af additionsoperationen. Nogle biprodukter, såsom den direkte sum og kilesummen , er navngivet for at angive deres forhold til additionsoperationen.

Tilføjelsesoperationer

Addition, såvel som subtraktion, multiplikation og division, betragtes som en af de grundlæggende operationer og bruges i elementær aritmetik.

Aritmetik

Subtraktion kan ses som et særligt tilfælde af operationen af addition, nemlig som addition af det modsatte tal . Subtraktion i sig selv er en slags invers operation til addition, det vil sige, at addering af x og subtraktion af x er gensidigt inverse funktioner .

På et sæt tal, hvorpå additionsoperationen er defineret, er det ikke altid muligt at definere subtraktionsoperationen; et simpelt eksempel er mængden af naturlige tal. På den anden side bestemmer subtraktionsoperationen entydigt operationen af addition og den additive enhed; af denne grund kan en additiv gruppe defineres som et sæt, der er lukket under driften af subtraktion [70] .

Multiplikation kan forstås som addition gentaget flere gange . Hvis et led x optræder i en sum n gange, så er denne sum lig med produktet af n og x . Hvis n ikke er et naturligt tal , kan produktet stadig give mening; for eksempel, gange med -1 giver det modsatte tal .

Addition og multiplikation af reelle eller komplekse tal kan ombyttes ved hjælp af eksponentialfunktionen :

e a + b = e a e b [71] .

Denne identitet tillader multiplikation ved hjælp af tabeller med logaritmer og manuel addition; det tillader også multiplikation ved hjælp af diasreglen . Denne formel er også en god førsteordens tilnærmelse i den brede kontekst af Lie-grupper , hvor den relaterer multiplikationen af infinitesimale elementer i en Lie-gruppe til tilføjelsen af vektorer i den tilsvarende Lie-algebra [72] .

Multiplikation har endnu flere generaliseringer end addition [73] . Generelt er multiplikationsoperationer altid distributive med hensyn til addition. Dette krav er nedfældet i definitionen af en ring . I nogle tilfælde, såsom heltal, er multiplikationens fordelingsevne med hensyn til addition og eksistensen af en multiplikativ identitet tilstrækkelig til entydigt at definere multiplikationsoperationen. Fordelingsegenskaben kendetegner også addition; udvider parenteserne i produktet (1 + 1)( a + b ) på to måder, konkluderer vi, at addition skal være kommutativ. Af denne grund er addition i en ring altid kommutativ [74] .

Division er en aritmetisk operation, der er fjernt relateret til addition. Da a / b = a ( b −1 ), er division retdistributiv med hensyn til addition: ( a + b ) / c = a / c + b / c [75] . Division efterlades dog ikke distributiv med hensyn til addition; 1/ (2 + 2) er ikke lig med 1/2 + 1/2.

Bestilling

Den maksimale operation "max ( a , b )" er en binær operation, der ligner addition. Faktisk, hvis to ikke-negative tal a og b har forskellige rækkefølger , så er deres sum omtrent lig med deres maksimum. Denne tilnærmelse er yderst nyttig i anvendelser af matematik, såsom trunkering af Taylor-serien . Denne operation fører imidlertid til konstante vanskeligheder ved numerisk analyse, da operationen med at maksimere ikke er reversibel. Hvis b er meget større end a , så kan den sædvanlige beregning ( a + b ) − b føre til akkumulering af en uacceptabel afrundingsfejl , hvilket muligvis får et nulresultat. Se også underløb .

Denne tilnærmelse bliver nøjagtig, når man går over til den uendelige grænse[ angiv ] ; hvis nogen af tallene a og b er et kardinaltal , så er deres kardinalsum nøjagtigt lig med den største af de to [77] . Følgelig er subtraktionsoperationen ikke defineret for sæt af uendelig kardinalitet [78] .

At finde maksimum er en kommutativ og associativ operation, ligesom addition. Desuden, da addition bevarer rækkefølgen af de reelle tal, er addition distributiv med hensyn til maksimeringsfunktionen på samme måde som multiplikation er med hensyn til addition:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).

Af disse grunde erstattes multiplikation i tropisk geometri med addition, og addition erstattes af at finde maksimum. I denne sammenhæng kaldes addition "tropisk multiplikation", at finde maksimum kaldes "tropisk addition", og den tropiske "additive enhed" kaldes negativ uendelighed [79] . Nogle forfattere foretrækker at erstatte addition med minimering; i dette tilfælde er den additive enhed positiv uendelig [80] .

Ved at kombinere disse observationer sammen, tilnærmer tropisk addition almindelig addition ved hjælp af logaritmen:

log ( a + b ) ≈ max ( log a , log b ),

hvilket bliver mere præcist i takt med at logaritmens basis stiger [81] . Tilnærmelsen kan blive nøjagtig, hvis vi udskiller konstanten h , navngivet i analogi med Plancks konstant i kvantemekanikken [82] , og tager den "klassiske grænse" , hvor h har en tendens til nul:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

I denne forstand er operationen med at finde maksimum en dekvantisering af addition [83] .

Andre tilføjelsesmetoder

Forøgelse eller anvendelse af følgefunktionen er at tilføje 1 til et tal.

Summation er tilføjelsen af et vilkårligt stort antal tal, normalt mere end to. Særlige tilfælde af dette koncept er summeringen af et tal (resultatet af en sådan summering er lig med selve tallet), såvel som den tomme sum lig med nul [84] . Uendelig summation er en ikke-triviel procedure kendt som at finde summen af en serie [85] .

Summering af en identitetsfunktion over en endelig mængde giver det samme resultat som at tælle antallet af elementer i dette sæt.

Integration er en slags "summation" over et kontinuum , eller mere præcist og generelt, over en glat manifold . Integration over et sæt af dimension nul reduceres til summering.

Lineære kombinationer kombinerer multiplikation og summering; disse er summer, hvor hvert led har en faktor, normalt et reelt eller komplekst tal . Lineære kombinationer er især nyttige i situationer, hvor simpel tilføjelse ville overtræde en normaliseringsregel, såsom blandingsstrategier i spilteori eller superpositionering af tilstande i kvantemekanik .

Konvolution bruges til at tilføje to uafhængige stokastiske variable givet fordelingsfunktioner . Standarddefinitionen af foldning bruger integration, subtraktion og multiplikation. Generelt er det passende at tænke på foldning som "domæneaddition" og vektoraddition som "områdeaddition".

Se også

Noter

↑ Enderton, 1977 , s. 138: “...vælg to sæt K og L med potens K = 2 og effekt L = 3. Fingersæt er praktiske; i lærebøger foretrækker de at bruge sæt æbler.
↑ Rudnitskaya, 2004 , s. 110.
↑ Operationsrækkefølge, 2012 .
↑ Talsystemer, 2006 , s. 3.
↑ Devine et al., 1991 , s. 263.
↑ Mazur, 2014 , s. 161.
↑ Ordbog over det russiske sprog, 1999 , s. 130.
↑ Kajori, 1928 .
↑ Oxford English Dictionary, 2005 .
↑ Viro, 2012 , s. 5.
↑ Kilpatrick, 2001 : "Tommer, for eksempel, kan opdeles i dele, der er svære at skelne fra hele tommer, bortset fra at de virker kortere; men opdelingen i dele vil være smertefuld for katte, og denne handling vil alvorligt ændre deres natur.
↑ Mosley, 2001 , s. otte.
↑ Li Ya., 2013 , s. 204.
↑ Så disse egenskaber kaldes i lærebøger for elementære karakterer
↑ Kaplan, 1999 , s. 69-71.
↑ Egenskaber for addition, 2016, Egenskaber for addition, multiplikation, subtraktion og division af heltal , Sum med det modsatte tal, s. en.
↑ Zelvensky, [f. g.] , s. atten.
↑ Black box er et begreb, der bruges til at referere til et system, hvis interne struktur og funktionsmekanisme er meget kompleks, ukendt eller uvigtig inden for rammerne af en given opgave. "Black box-metoden" er en metode til at studere sådanne systemer, når man i stedet for egenskaber og sammenhænge mellem systemets bestanddele studerer systemets reaktion som helhed på skiftende forhold.
↑ Ashby, 1959, Introduction to Cybernetics , s. 127-169.
↑ Zubareva, 2013 , s. 195.
↑ Tilføjelsesalgoritmen , s. en.
↑ Wynn, 1998 , s. 5.
↑ Wynn, 1998 , s. femten.
↑ Wynn, 1998 , s. 17.
↑ Wynn, 1998 , s. 19.
↑ Elefanter er smarte nok til at tegne figurer, 2008 .
↑ Smith F., 2002 , s. 130.
↑ Carpenter et al., 2014 .
↑ 1 2 Henry Valerie D., 2008 , s. 153-183.
↑ At lære matematik i folkeskolen i heltal, 2014 , pp. 1-8.
↑ Learning Sequence, 2002 , s. 1-18.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fosnot og Dolk, 2001 , s. 99.
↑ Wingard-Nelson R., 2014 , s. 21.
↑ Dale, 2008 , s. 155.
↑ Botman, 1837 , s. 31.
↑ Treit og Rogers, 1960 , s. 41-49.
↑ Georges, 2001 , s. elleve.
↑ Margun, 1994 , s. 48.
↑ Tanon, 1963 , s. 62.
↑ Se indlægget om Pascals summeringsmaskine for konkurrerende designs .
↑ Flynn og Overman, 2001 , s. 2-8.
↑ Flynn og Overman, 2001 , s. 1-9.
↑ Sang-Su Yo, 2010 , s. 194.
↑ Karpinski, 1925 , s. 102-103.
↑ Horovets og Hill, 2009 , s. 679.
↑ Blotch, 2006 , s. en.
↑ Enderton, 1977 , s. 4-5.
↑ Sequence of learning, 2002 , s. fire.
↑ Baez, 2000 , s. 37: "Det er klart, at det er lettere at forestille sig et halvt æble end et negativt æble!"
↑ nummerering , Teoretisk grundlag for indførelse af ikke-negative heltal, s. 7.
↑ Istomina, 2009 , s. 71.
↑ Talsystemer, 2006 , s. 3.
↑ Enderton, 1977 , s. 79.
↑ Bergman, 2015 , s. 100: Se i Bergmans bog en version, der gælder for ethvert poset med en faldende kæde af stater ."
↑ Enderton, 1977 , s. 79: "Men vi har brug for en binær operation +, ikke alle disse små et-steds funktioner.".
↑ Ferrius, 2013 , s. 223.
↑ Vygodsky, 2003 .
↑ Barsukov, 1966 , s. 25.
↑ Enderton, 1977 , s. 92.
↑ Gusev, 1988 , s. tyve.
↑ Enderton, 1977 , s. 104.
↑ Fierro, 2012 , s. 87.
↑ Da den lineære ordensrelation allerede er blevet introduceret på mængden af reelle tal, kan vi definere topologien af den reelle linje: som åbne mængder tager vi alle mulige foreninger af intervaller af formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , s. 46.
↑ Grafen er lavet af programmet "3D Grapher Version 1.2", www.romanlab.com. Indtastningsargumenter: x=a, y=b, z=a+b
↑ Conway, 1986 , s. 107.
↑ Aleksandrov, 1956 , s. 304.
↑ Lipshutz, 2001 , s. 201.
↑ Riley, 2006 , s. 253.
↑ Dummit og Foote, 1999 , s. 48.
↑ Rudin, 1976 , s. 178.
↑ Lee J., 2013 , s. 526.
↑ Linderholm, 1972 , s. 49.
↑ Dummit og Foote, 1999 , s. 224: "For at dette skal holde, er det nødvendigt, at addition er en gruppeoperation, og at der er et neutralt element med hensyn til multiplikation."
↑ Loday, 2002 , s. 15: “For et eksempel på venstre- og højrefordeling, se Lodays artikel, især på s. femten".
↑ Viro, 2012 , s. 2.
↑ Enderton, 1977 : "Enderton kalder denne erklæring for 'absorberende lov om aritmetik af kardinaltal'"; det afhænger af sammenligneligheden af kardinaltallene og dermed af valgaksiomet .”.
↑ Enderton, 1977 , s. 164.
↑ Mikhalkin, 2009 , s. en.
↑ Akian et al., 2006 , s. fire.
↑ Mikhalkin, 2009 , s. 2.
↑ Litvinov, 2005 , s. 3.
↑ Viro, 2012 , s. fire.
↑ Martin, 2011 , s. 49.
↑ Stewart, 2010 , s. otte.

Litteratur

på russisk

Barsukov, A. N. Algebra: Lærebog for klasse VI-VIII / Ed. S. I. Novosyolova. - M . : Uddannelse, 1966. - 296 s.
Vygodsky, M. Ya. Håndbog i elementær matematik / M. Ya. Vygodsky. — M .: Astrel: AST, 2003. — 509 s. - ISBN 5-17-009554-6 (LLC Publishing house "AST"). - ISBN 5-271-02551-9 (OOO Forlag "Astrel").
Gusev, V. A. Matematik: Ref. materialer : Bog. for studerende / V. A. Gusev, A. G. Mordkovich. - M . : Uddannelse, 1988. - 476 s. — ISBN 5-09-001292-X .
Zelvensky, I. G. Grupper, ringe, felter: Metodisk. instruktioner om disciplinen "Geometri og algebra" / I. G. Zelvensky. - Sankt Petersborg. : SPbGETU, [f. G.]. - 30 s.
Zubareva, I. I. Matematik: 5. klasse: lærebog. for almenpædagogiske studerende. institutioner / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 14. udg., Rev. og yderligere — M .: Mnemozina, 2013. — 270 s. - ISBN 978-5-346-02573-3 .
Matematik, dens indhold, metoder og betydning: i 3 bind / [Red. Kollegium: Korresponderende Medlem USSR's Videnskabsakademi A. D. Alexandrov og andre]; Acad. videnskaber i USSR. Måtte. in-t im. V. A. Steklova. - M . : Forlaget Acad. Sciences of the USSR, 1956. - T. 3. - 336 s.
Ilyin, V. A. Matematisk analyse: Indledende kursus / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. - 2. udg., overs. - M . : Forlag i Moskva. un-ta, 1985. - 662 s.
Istomina, N. B. Metoder til undervisning i matematik i folkeskolen: Udviklingsundervisning / N. B. Istomina. - 2. udg. - Smolensk: Association XXI århundrede, 2009. - 288 s. — ISBN 978-5-89308-699-7 .
Matematisk encyklopædisk ordbog / Kap. udg. Yu. V. Prokhorov. - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - 847 s. — ISBN 5-85270-278-1 .
Rudnitskaya, V. N. Matematik: 1. klasse: lærebog. for almenpædagogiske studerende. institutioner. Anden halvdel af året / V. N. Rudnitskaya. - 2. udg., revideret. - M. : Ventana-Graf, 2004. - 111 s. - ISBN 5-88717-322-X (i oversættelse).
Ordbog over det russiske sprog : i 4 bind / RAS, Institut for Lingvistik. forskning; Ed. A. P. Evgenieva. - 4. udg., slettet. - M . : Rus. lang. : Polygrafressourcer, 1999. - T. 4. - 797 s. - ISBN 5-200-02672-5 ("russisk sprog"). - ISBN 5-87548-048-3 (polygrafressourcer). - ISBN 5-200-02676-8 ("russisk sprog") (vol. 4).

på engelsk

Akian, M. Min-plus metoder i egenværdiforstyrrelsesteori og generaliseret Lidskii-Vishik-Ljusternik-sætning / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert. - 2006. - 16. februar. - arXiv : math.SP/0402090v3 .
Austein, R. DATE-86, eller The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest: journal. - 1987. - Bd. 4, nr. 45.
Baez, J. Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond : From Finite Sets to Feynman Diagrams / J. Baez, J. Dolan. - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - 1236 s. — ISBN 3-540-66913-2 .
Barody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. Udvikling af aritmetiske begreber og færdigheder = Udviklingen af aritmetiske begreber og færdigheder. - Routledge, 2013. - 520 s. — ISBN 0-8058-3155-X .
Begle, Edward. Matematik i folkeskolen = Folkeskolens matematik. - McGraw-Hill, 1975. - 453 s. — ISBN 0-07-004325-6 .
Bergman, George. En invitation til generel algebra og universelle konstruktioner. - 2. udg. - Springer, 2015. - 572 s. — ISBN 0-9655211-4-1 .
Joshua Bloch. Extra, Extra - Læs alt om det: Næsten alle binære søgninger og sammenlægninger er ødelagte // Official Google Research Blog : Journal . – 2006.
Bogomolny, Alexander. Hvad er addition? (engelsk) = Hvad er tilføjelse?.
Bates Bothman. Almen skoleregning = Den almindelige skoleregning. - Prentice-Hall, 1837. - 270 s.
Bunt, Lucas N.H.; Jones, Philip S.; Bedient, Jack D. De historiske rødder til elementær matematik. - Prentice-Hall, 2012. - 336 s. — ISBN 0-13-389015-5 .
Burrill, Claude. Fundamenter af reelle tal = Fundamenter af reelle tal. - McGraw-Hill, 1967. - 163 s.
Beckmann, S. Den treogtyvende ICMI-undersøgelse: primær matematikundersøgelse om hele tal: tidsskrift . — International Journal of STEM Education, 2014.
Van de Walle, John. Grundskole- og mellemskolematematik: Udviklingsundervisning. - 5. udg. - Pearson Education, 2015. - 576 s. — ISBN 0-205-38689-X .
Weaver, J. Fred. Addition og subtraktion: Et kognitivt perspektiv. Fortolkninger af antallet af operationer og symbolske repræsentationer af addition og subtraktion = Addition og Subtraktion: Et kognitivt perspektiv. Fortolkninger af taloperationer og symbolske fremstillinger af addition og subtraktion. - Taylor & Francis, 2012. - S. 8. - ISBN 0-89859-171-6 .
Williams, Michael. History of Computing = A History of Computing Technology. - Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-389917-9 .
Rebecca Wingard-Nelson. Decimaler og brøker: Det er nemt = Decimaler og brøker: Det er nemt. - Enslow Publishers, 2014. - 64 s. — ISBN 0766042529 .
Wynne, Karen. Udvikling af matematiske færdigheder = Udviklingen af matematiske færdigheder. - Taylor & Francis, 1998. - 338 s. — ISBN 0-86377-816-X .
Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastia, red. European Congress of Mathematics: Barcelona, 10.-14. juli 2000, bind I = European Congress of Mathematics: Barcelona, 10.-14. juli, 2000, bind I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logaritmic Paper. - Birkhäuser, 2012. - T. 1. - 582 s. — ISBN 3-7643-6417-3 .
Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Grundlæggende fakta i første klasse: En undersøgelse af undervisning og læring af en accelereret, efterspurgt memoreringsstandard. - Heinemann, 2008.
Dummit, D.; Foote, R. Abstrakt Algebra. - Wiley, 1999. - 912 s.
Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Mathematics: Explorations & Applications = Mathematics: Explorations & Applications. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1 .
Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Fundamentals of Electronic Digital Systems = Electronic Digital System Fundamentals. - The Fairmont Press, 2008. - 340 s.
Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. Principper og anvendelser af matematik til kommunikationselektronik. - Hovedkvarter, afdelingen for hæren, 1992. - S. afsnit 5.1. — 268 s.
Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Elementær matematik for lærere. - Wiley, 1991.
Jackson, Albert. Analog Computing = Analog Computing. - McGraw-Hill, 1960.
Johnson, Paul. Fra Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. - Science Research Associates, 1975. - 552 s. — ISBN 0-574-19115-1 .
Ifrah, Georges. Computerens universelle historie: fra abacus til kvantecomputeren. - John Wiley, 2001. - 410 s.
Joshi, Kapil D. Grundlag for diskret matematik. - New Age International, 1989. - 748 s. - ISBN 978-0-470-21152-6 .
Dunham, William. Matematisk univers = Det matematiske univers. - Wiley & Sons, 1994. - 314 s. - ISBN 0-471-53656-3 .
Kaplan, Robert. What is Nothing: The Natural History of Zero = The Nothing That Is: A Natural History of Zero (engelsk) . - Oxford University Press, 1999. - 240 s. — ISBN 0-19-512842-7 .
Florian Cajori. History of Mathematical Notations = A History of Mathematical Notations. - Det åbne hofselskab, 1928. - 818 s.
Tømrer, Thomas; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Børns matematik = Børns matematik: kognitivt styret undervisning. - Heinemann, 2014. - 218 s. — ISBN 0325052875 .
Karpinski, Louis. Aritmetikkens historie = Aritmetikkens historie. - Russell & Russell, 1925. - 200 s.
Kilpatrick D. Tilføjelse : Hjælpe børn med at lære matematik = Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. - National Academy Press , 2001. - 454 s. — ISBN 0-309-06995-5 .
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. - Springer Science, 1986. - 322 s. — ISBN 0-387-90328-3 .
Lee, John. Introduktion til glatte manifolder. - Springer, 2013. - 631 s. — ISBN 0-387-95448-1 .
Li, Y., & Lappan, G. Matematikpensum i skoleundervisning. - Springer, 2013. - 663 s. — ISBN 9400775601 .
Linderholm, Carl. Mathematics Made Difficult = Mathematics Made Difficult. - World Pub, 1972. - 207 s. — ISBN 0-7234-0415-1 .
Lipschutz, S., & Lipson, M. Schaums oversigt over teori og problemer i lineær algebra. - Erlangga, 2001. - 424 s. — ISBN 9797815714 .
Litvinov, Grigory; Maslov, Victor; Sobolevskii, Andreii. Idempotent matematik og intervalanalyse = Idempotent matematik og intervalanalyse. - American Mathematical Soc, 2005. - 370 s. — ISBN 0821835386 .
Jean-Louis Loday. Arithmeter (engelsk) = Arithmetree // Journal of Algebra: journal. - 2002. - 22. december ( nr. 258 ). - doi : 10.1016/S0021-8693(02)00510-0 . - arXiv : math/0112034 .
Mazur, Joseph. Oplysende symboler: en kort historie om matematisk notation og dens skjulte kræfter. - Princeton University Press, 2014. - 321 s. — ISBN 1400850118 .
Williams, Michael. History of Computing = A History of Computing Technology. - 2. - IEEE Computer Society Press, 1997. - 426 s. — ISBN 0-13-389917-9 .
Marguin, Jean. Computermaskiners historie = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. - Hermann., 1994. - 206 s. - ISBN 978-2-7056-6166-3 .
Mikhalkin, Grigory; Sanz-Sole, Marta, red. Tropical Geometry and its Applications = Tropical Geometry and its Applications. - 2. udg. - Madryn, Spanien: Springer Science & Business Media, 2009. - 104 s. - ISBN 978-3-03719-022-7 .
Martin, John. Introduktion til sprog og teorien om beregning = Introduktion til sprog og teorien om beregning. - 3. - McGraw-Hill, 2011. - 436 s. — ISBN 0-07-232200-4 .
Mosley, F. Brug af tallinjer med 5-8-årige. - Nelson Thornes, 2001. - 8 s. — ISBN 1874099952 .
Oxford English Dictionary = Oxford English Dictionary (engelsk) . — Oxford University Press, 2005.
Order of Operations (engelsk) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : journal. - 2012. Arkiveret 2. november 2012.
James Randerson. Elefanter er smarte nok til at tegne figurer = Elefanter har et hoved for figurer: dagbog . - Theguardian, 2008. - 21. august.
Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ Matematiske metoder til fysik og teknik: En omfattende vejledning. - Cambridge University Press, 2006. - 437 s. — ISBN 978-0-521-86153-3 .
Rudin, Walter. Fundamentals of Mathematical Analysis = Principper for matematisk analyse. - 3. - McGraw-Hill, 1976. - 342 s. — ISBN 0-07-054235-X .
Yeo, Sang-Soo, et al., red. Algoritmer og arkitekturer til parallel behandling. - Springer, 2010. - 574 s. — ISBN 3642131182 .
Smith, Karl. The Nature of Modern Mathematics = The Nature of Modern Mathematics. - 3. udg. — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. - 620 s. — ISBN 0-8185-0352-1 .
Smith, Frank. Glasvæggen: Hvorfor matematik kan virke svært. - Teachers College Press, 2002. - 163 s. — ISBN 0-8077-4242-2 .
Sparks, F.; Rees C. En undersøgelse af grundlæggende matematik . - 4. - McGraw-Hill, 1979. - 543 s. — ISBN 0-07-059902-5 .
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals = Calculus: Early Transcendentals. - 4. - Brooks / Cole, 2010. - 1344 s. - ISBN 0-534-36298-2 .
Taton, Rene. Beregningsmekanik. Hvad ved jeg? = Le Calcul Mecanique. Que Sais-Je? nr. 367 - Presses universitaires de France, 1963.
Truitt, T.; Rogers, A. Grundlæggende om analoge computere. - John F. Rider, 1960. - 378 s.
Ferreiros, José. Tankens labyrinter: En historie om mængdeteori og dens rolle i moderne matematik. - Birkhäuser, 2013. - 440 s. - ISBN 0-8176-5749-5 .
R. Fierro. Matematik for folkeskolelærere = Matematik for folkeskolelærere. - Cengage Learning, 2012. - 976 s. — ISBN 0538493631 .
Flynn, M.; Oberman, S. Avanceret computeraritmetisk design. - Wiley, 2001. - 325 s. - ISBN 0-471-41209-0 .
Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Unge matematikere på arbejde: Konstruktion af talfornemmelse, addition og subtraktion. - Heinemann, 2001. - 193 s. — ISBN 0-325-00353-X .
Hempel, CG Carl G. Hempels filosofi : studier i videnskab, forklaring og rationalitet . - Oxford University Press, 2000. - 464 s. — ISBN 0195343875 .
Horowitz, P.; Hill, W. The Art of Electronics = The Art of Electronics. - 2. - Binom, 2009. - 704 s. - ISBN 0-521-37095-7 .
Schwartzman, Steven. Mathematical Words: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. - MAA, 1994. - 261 s. - ISBN 0-88385-511-9 .
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Læringssekvens = Et sammenhængende pensum: tidsskrift . - Amerikansk pædagog, 2002.
Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Tilføjelse og subtrahering af brøker i en alder af 5 - 8 år = Addering og subtraktion af brøker, 5. - 8. karakter. - Carson-Dellosa, 2013. - 64 s. — ISBN 162223006X .
Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves Foss. Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Festival = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. - Springer, 1995. - 400 s.
Enderton, Herbert. Elements of Set Theory = Elements of Set Theory. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 s. — ISBN 0-12-238440-7 .

Links

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online) Granatæble
I bibliografiske kataloger	BNF : 11976283t GND : 4296282-1 J9U : 987007292953205171 LCCN : sh85000817 NKC : ph898518