Indstil strøm

Potensen , eller kardinaltallet , af en mængde ( lat. cardinalis ← cardo "hovedomstændighed; grundlag; hjerte") er en karakteristik af mængder (inklusive uendelige ), der generaliserer begrebet antallet (antallet) af elementer i en endeligt sæt.

Dette koncept er baseret på naturlige ideer om at sammenligne sæt:

alle to sæt, mellem de elementer, som en en-til-en korrespondance ( bijektion ) kan etableres af, indeholder det samme antal elementer (har samme kardinalitet, er lige stærke );
omvendt: ækvipotente sæt skal tillade sådan en-til-en korrespondance;
en del af sættet overstiger ikke det fulde sæt i kardinalitet (det vil sige i antallet af elementer).

Før teorien om mængdens magt blev bygget, adskilte mængder sig med hensyn til funktioner: tom/ikke-tom og finit/uendelig, og endelige mængder var også forskellige i antallet af elementer. Uendelige sæt kunne ikke sammenlignes.

Kraften i sæt giver dig mulighed for at sammenligne uendelige sæt. For eksempel er tællelige sæt de "mindste" uendelige sæt.

Kardinalitet af et sæt er angivet med . Nogle gange er der notationer og . $EN$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#EN$ ${\mathrm {kort}}(A)$

Definition

Hvis det valgte aksiom accepteres som sandt, vil kardinaliteten af et sæt formelt blive defineret som det mindste ordenstal , hvorunder en bijektiv korrespondance kan etableres mellem og . Denne definition kaldes også von Neumann- fordelingen af kardinaltal . $\alfa$ $x$ $\alfa$

Hvis vi ikke accepterer aksiomet om valg, så er en anden tilgang påkrævet. Den allerførste definition af en mængdes kardinalitet (som er implicit i Cantors arbejde og udtrykkeligt angivet i Frege og også i Principia Mathematica ) er klassen af alle mængder, der er ækvivalente i kardinalitet . I aksiomatiske systemer baseret på ZFC-teorien er en sådan definition uanvendelig, fordi for ikke-tom en sådan samling er for stor til at passe til definitionen af et sæt. Mere præcist, hvis , Så er der en injektiv afbildning af det universelle sæt i , hvorunder hvert sæt går til , hvorfra det i kraft af størrelsesbegrænsningens aksiom følger, at er en ordentlig klasse. Denne definition kan bruges i typeteori og "nye fundamenter" , såvel som i relaterede aksiomatiske systemer. I tilfælde af ZFC kan definitionen bruges ved at begrænse samlingen til ens mængder med den mindste rang (dette trick, foreslået af Dana Scott , virker, fordi samlingen af objekter, der har en given rang, er et sæt). $x$ $[X]$ $x$ $x$ $X\neq \varnothing$ $[X]$ $m$ $\{m\}\tid X$ $[X]$ $[X]$

Den formelle rækkefølge blandt kardinalnumre introduceres som følger: betyder, at mængden injektivt kan afbildes til . Ifølge Cantor-Bernstein-sætningen følger det af parret af uligheder og at . Valgaksiomet svarer til påstanden om, at for alle sæt og mindst en af ulighederne eller . $|X|\leq |Y|$ $x$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $x$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

En mængde kaldes uendelig ifølge Dedekind , hvis den har en korrekt delmængde sådan, at . Ellers hedder sættet Dedekind finite. Finite kardinaltal falder sammen med almindelige naturlige tal eller nul, - med andre ord er mængden endelig hvis og kun hvis for et eller andet naturligt tal eller for (hvis mængden er tom ). Alle andre sæt er uendelige . Med forbehold for valgaksiomet kan man bevise, at Dedekind-definitionerne er sammenfaldende med standarddefinitionerne. Derudover kan det bevises, at kardinaliteten af mængden af naturlige tal ( alef-nul , eller alef-0, - navnet er afledt af det første bogstav i det hebraiske alfabet ) er det mindste uendeligt store kardinaltal, dvs. , i enhver uendelig mængde er der en delmængde af kardinalitet . Kardinaltallet næste i rækkefølgen er angivet , og så videre, antallet af alfer er uendeligt. Ethvert ordenstal svarer til et kardinaltal , og på denne måde kan ethvert uendeligt stort kardinaltal beskrives. $x$ $Y$ $|X|=|Y|$ $x$ $|X|=|n|=n$ $n$ $n=0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alfa$ $\aleph _{\alpha }$

Relaterede definitioner

Kardinalitet af sættet af naturlige tal er angivet med symbolet (" aleph - nul"). En mængde kaldes uendelig , hvis dens kardinalitet ikke er mindre (ikke mindre end kardinaliteten af mængden af naturlige tal), så tællige mængder er de "mindste" af uendelige mængder. De næste kardinaltal i stigende rækkefølge er angivet (hvor indekset løber gennem alle ordenstal ). Blandt kardinaltallene er der ingen største: for ethvert sæt af kardinaltal er der et kardinaltal, der er større end alle elementer i dette sæt. ${{\mathbb N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{{\omega +1)),\dots \aleph _{{\omega _{1)) },\prikker$

Mængder, der svarer til mængden af alle reelle tal , siges at have kontinuumskardinalitet , og kardinaliteten af sådanne mængder er angivet med symbolet . Den antagelse, der kaldes kontinuumshypotesen . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

For kardinaliteter, som i tilfældet med endelige mængder, er der begreber: "lighed", "større", "mindre". Det vil sige, for alle sæt, og kun et af de tre er muligt: $EN$ $B$
1. $|A|=|B|$ , eller og er ækvivalente; $EN$ $B$
2. $|A|>|B|$ , eller mere kraftfuld , det vil sige, den indeholder en delmængde, der er lige så kraftig , men ikke lige kraftig; $EN$ $B$ $EN$ $B$ $EN$ $B$
3. $|A|<|B|$ , eller kraftigere - i dette tilfælde indeholder den en delmængde, der svarer til , men ikke lige så kraftig. $B$ $EN$ $B$ $EN$ $EN$ $B$
- En situation, hvor og ikke er lige magtfulde, og på samme tid, ingen af dem har en del, der svarer til den anden, er umulig. Dette følger af Zermelos sætning . Ellers ville dette betyde eksistensen af uforlignelige kræfter (hvilket i princippet er muligt, hvis man ikke accepterer valgaksiomet ). $EN$ $B$
- Den situation, hvor og er umulig ved Cantor-Bernstein-sætningen . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
Sætter og kaldes ækvivalente , hvis der er en en-til-en-tilknytning af et sæt til et sæt . [en] $EN$ $B$ $EN$ $B$

Eksempler

Et sæt kaldes endeligt , hvis det i magt svarer til et segment af den naturlige række for et eller andet ikke-negativt heltal . Tallet udtrykker antallet af elementer i den endelige mængde. For indeholder sættet ingen elementer (det tomme sæt). Hvis , så er der ingen injektiv mapping fra til ( Dirichlets princip ), og der er derfor ingen bijektion mellem dem. Derfor sæt og har forskellige kardinaliteter. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $n$ $n$ $n=0$ $m>n$ $Jeg er}$ $I}$ $Jeg er}$ $I}$

Et sæt kaldes tælleligt , hvis det svarer til mængden af alle naturlige tal . De tællelige sæt er: $\mathbb {N}$
- Et sæt til enhver naturlig . Et bijektivt match , der er knyttet til : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\mathbb {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\højrepil n+k$
- Masser af . Overholdelse: . ${\mathbb {N}}\kop \{0\}$ $n\højrepil n-1$
- Sæt af heltal . En korrespondance opnås, hvis vilkårene for en uendelig række sammenlignes med dens delsummer (seriens vilkår tages uden hensyntagen til tegnet). $\mathbb {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\dots$
- Sættet af par af naturlige tal . ${\mathbb {N}}\ gange {\mathbb {N}}$
- Sættet af rationelle tal er injektivt afbildet til et sæt (det vil sige, at enhver irreducerbar brøkdel af formen injektivt svarer til et talpar ). Derfor kan mængden af rationelle tal højst tælles. Men da det indeholder mængden af naturlige tal, kan det i det mindste tælles. Ifølge Cantor-Bernstein-sætningen kan den nøjagtigt tælles. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Z}}\ gange {\mathbb {N}}$ $p/q$ $(p,q)\in {\mathbb {Z}}\ gange {\mathbb {N}}$

Uendelige mængder, der ikke svarer til mængden, kaldes utallige. Ifølge Cantors sætning er mængden af alle mulige uendelige sekvenser sammensat af tallene 0 og 1 utallige. Styrken af dette sæt kaldes kontinuum . $\mathbb {N}$

Kardinalitet af sættet af reelle tal er lig med kontinuum. $\mathbb {R}$

Egenskaber

To endelige mængder er ækvivalente, hvis og kun hvis de består af det samme antal elementer . Det vil sige, at for et begrænset sæt falder magtbegrebet sammen med det sædvanlige kvantitetsbegreb.
For uendelige mængder kan mængdens kardinalitet være den samme som dens egen (det vil sige ikke den samme som den oprindelige mængde) delmængde, f.eks . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Desuden er en mængde uendelig, hvis og kun hvis den indeholder en lige så kraftig egen undermængde.
Enhver uendelig mængde svarer til mængden af alle dens endelige delmængder. [2] $EN$
Cantors sætning : Boolesk af enhver mængde A har større kardinalitet end A , dvs. $|2^{A}|>|A|$
- Især for ethvert sæt findes der et sæt mere kraftfuldt.
Ved at bruge Cantor-firkanten kan man også bevise følgende: det kartesiske produkt af en uendelig mængde A med sig selv svarer til mængden A selv.
Det kartesiske produkts kraft: $|A\gange B|=|A|\cdot |B|$
Inklusions-ekskluderingsformel for to og tre sæt: $|A\kop B|+|A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\kop B\kop C|+|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+|A\cap B\cap C|$
Effekten af den symmetriske forskel på to og tre sæt: $|A\bigtriangleup B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\bigtriangleup B\bigttriangleup C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Aritmetik af kardinaltal

Almindelige aritmetiske operationer på naturlige tal kan generaliseres til tilfældet med kardinaltal. Det kan også vises, at i tilfælde af endelige kardinaltal falder disse operationer sammen med de tilsvarende aritmetiske operationer på tal. Derudover bevarer operationer på kardinaltal mange af egenskaberne ved almindelige aritmetiske operationer.

Det næste kardinalnummer er

Hvis vi accepterer det valgte aksiom, så er det for hvert kardinaltal muligt at bestemme antallet efter det , og der er ingen andre kardinaltal mellem og . Hvis , selvfølgelig, så er kardinalnummeret næste i rækkefølge det samme som . I tilfælde af uendelig er det næste kardinaltal forskelligt fra det næste ordenstal. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V angiver det tidligere kardinalnummer for tallet, hvis et sådant findes; ellers ,. $\kappa ^{-}$ $\kappa$ $\kappa ^{-}=\kappa$

Tilføjelse af kardinalnumre

Hvis mængderne og ikke har nogen fælles elementer, så er summen af kardinaliteterne bestemt af deres forenings kardinalitet . Hvis der er fælles elementer, kan de originale sæt erstattes af ikke-skærende sæt af samme kardinalitet - for eksempel ved at erstatte med og med . $x$ $Y$ $x$ $X\ gange\{0\}$ $Y$ $Y\ gange\{1\}$

Nul neutralitet med hensyn til addition:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Associativitet :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu)

Kommutativitet :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Monotonicitet (ikke-aftagende) af addition i begge argumenter:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Hvis det valgte aksiom accepteres som sandt, kan summen af to uendelige kardinaltal let beregnes. Hvis et af tallene eller er uendeligt, så $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Subtraktion

Med forbehold af aksiomet for valg, for ethvert uendeligt kardinaltal og vilkårligt kardinaltal , er eksistensen af , hvortil , svarer til uligheden . Dette er unikt (og falder sammen med ), hvis og kun hvis . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Multiplikation af kardinaltal

Produktet af to kardinaltal udtrykkes i form af det kartesiske produkt af mængder: $|X|\cdot |Y|=|X\ gange Y|$

Nul egenskaber:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Enhedsneutralitet med hensyn til multiplikation:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Associativitet :

(\kappa \cdot \mu )\cdot \nu =\kappa \cdot (\mu \cdot \nu)

Kommutativitet :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

Monotonicitet (ikke-aftagende) af multiplikation med hensyn til begge argumenter:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu.

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

Fordeling af multiplikation med hensyn til addition:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

I analogi med addition kan produktet af to uendelige kardinaltal let beregnes, mens det valgte aksiom respekteres. Hvis tal og er forskellige fra nul, og mindst én af dem er uendelig, så $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Division

Med forbehold af aksiom valg, for ethvert par af kardinaltal og , hvor er uendelig og ikke lig med nul, eksistensen af , For hvilke , er ækvivalent med uligheden . Dette er unikt (og falder sammen med ), hvis og kun hvis . $\pi$ $\mu$ $\pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\pi$ $\mu <\pi$

Eksponentiering af kardinaltal

Eksponentiering er defineret som følger:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

hvor angiver mængden af alle funktioner fra til . $X^{Y}$ $Y$ $x$

\kappa ^{0}=1

(især ), se Tom funktion

0^{0}=1

1\leq \mu \rightarrow 0^{\mu }=0

1^{\mu}=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu}\cdot \mu ^{\nu}

Monotone:

{\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\højrepil \nu ^{\kappa}\leq \nu ^{\mu ))

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Bemærk, hvad der er kraften i den boolske og dermed for ethvert sæt (se Cantors diagonale metode ). Dette indebærer, at der blandt kardinaltallene ikke er det største (da for et hvilket som helst kardinaltal kan et større tal angives ). Faktisk er klassen af alle kardinaltal korrekt (selvom det i nogle systemer af mængdeteoriens aksiomer ikke kan bevises - sådan er f.eks. systemet med "Nye Grundlag" ). $2^{{|X|}}$ $x$ $2^{{|X|}}>|X|$ $x$ $\kappa$ $2^{\kappa}$

Alle efterfølgende udsagn i dette afsnit er afhængige af valgaksiomet.

Hvis og er endelige tal større end 1, og er et uendeligt kardinaltal, så Hvis kardinaltallet er uendeligt og endeligt forskelligt fra nul, så . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ $\kappa ^{\nu }=\mu ^{\nu }.$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu }=\kappa$

Hvis og , og mindst én af dem er uendelig, så $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

{\displaystyle \max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu}\leq \max\{2^{\kappa },2^{\mu}\))

Ved at bruge Königs sætning kan man bevise, at for ethvert uendeligt kardinaltal gælder følgende uligheder: $\kappa$

{\displaystyle \kappa </kappa ^{\operatørnavn {cf} (\kappa )))

\kappa <\operatørnavn {cf} (2^{\kappa })

hvor angiver endelighed . $\operatørnavn {cf} (\kappa )$ $\kappa$

Udvinding af rødder

Hvis vi observerer det valgte aksiom, så eksisterer der for enhver uendelig kardinal og endelig kardinal et kardinaltal sådan, at , og . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu }=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmer

Med forbehold for det valgte aksiom eksisterer et kardinaltal , der opfylder betingelsen givet uendelig og endelig , ikke altid. Hvis en sådan findes, så er den uendelig og mindre end , og ethvert endeligt kardinaltal vil også opfylde ligheden . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

Logaritmen af et uendeligt kardinaltal er det mindste kardinaltal , der opfylder betingelsen . På trods af at logaritmerne af uendeligt store kardinaltal mangler nogle af de egenskaber, der er karakteristiske for logaritmerne af positive reelle tal, viser de sig at være nyttige inden for visse områder af matematikken - især i studiet af kardinalinvarianter af topologiske tal. mellemrum. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu }$

Kontinuum hypotese

Ifølge kontinuumshypotesen er der ingen andre kardinaltal mellem og . Kardinaltallet er også betegnet og repræsenterer kardinaliteten af kontinuummet (det vil sige sættet af reelle tal ). I dette tilfælde . Den generaliserede kontinuumhypotese benægter eksistensen af kardinaltal strengt mellem og for ethvert uendeligt sæt af . Kontinuumshypotesen er uafhængig af standardaksiomatiseringen af mængdeteori, det vil sige Zermelo-Fraenkel-aksiomsystemet kombineret med det valgte aksiom (se Zermelo-Fraenkel-mængdeteorien ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $x$

Se også

Ordningsnummer

Noter

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Generel algebra. Bind 1. - M., Nauka, 1990. - s. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Generel algebra. Bind 1. - M., Nauka, 1990. - s. 32

Litteratur

A. A. Bolibrukh, Hilberts problemer (100 år senere), Kapitel 2 Hilberts første problem: kontinuumhypotesen Arkiveret 3. juni 2004 på Wayback Machine , Mathematical Education Library, Issue 2
R. Courant, G. Robbins, Hvad er matematik? Kapitel II, § 4.
Valgfrit kursus i matematik. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 109-110. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Teori om funktioner af en reel variabel. - M. : Nauka, 1971. - 119 s.

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion