Koprodukt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 3. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Koproduktet ( kategorisk sum ) af en familie af objekter er en generalisering i kategoriteori af begreberne om en disjunktiv forening af mængder og topologiske rum og en direkte sum af moduler eller vektorrum . Biproduktet af en familie af objekter er det "mest generelle" objekt, hvori der er en morfisme fra hvert objekt i familien. Biproduktet af objekter er dobbelt til deres produkt, det vil sige, at definitionen af biproduktet kan fås ud fra definitionen af produktet ved at vende alle pilene om. Men i mange kategorier er produktet og biproduktet af objekter slående forskellige.

Definition

Lad være en kategori og være en indekseret familie af dens objekter. Biproduktet af denne familie er et objekt , sammen med morfismer kaldet kanoniske indlejringer , således at der for ethvert objekt i en kategori og familie af morfismer er en unik morfisme , således at det følgende diagram er kommutativt for hver : ${\mathcal C}$ $\{X_{j}|j\in J\}$ $x$ $i_{j}\colon \,X_{j}\to X$ $Y$ ${\mathcal C}$ $f_{j}\colon \,X_{j}\til Y$ $f\kolon \,X\til Y$ $f_{j}=f\circ i_{j}$ $j$

Biproduktet af en familie betegnes normalt $\{X_{j}\}$

X=\coprod _{{j\in J}}X_{j}

eller

X=\bigoplus _{{j\in J}}X_{j}.

Nogle gange betegnes en morfisme $f$

f=\coprod _{{j\in J}}f_{j}:\coprod _{{j\in J}}X_{j}\to Y

at understrege sin afhængighed af . $f_{j}$

Biproduktet af to objekter er normalt betegnet med eller , så antager diagrammet formen $X_{1}\coprod X_{2}$ $X_{1}\oplus X_{2}$

Betegn derfor samtidig , eller . $f$ $f_{1}\coprod f_{2}$ $f_{1}\oplus f_{2}$ $[f_{1},f_{2}]$

Det unikke i resultatet af operationen kan alternativt udtrykkes som en lighed sandt for enhver . [en] $[-,-]$ $[h\cirkel i_{1},h\cirkel i_{2}]=h$ $h$

Der er en tilsvarende definition af et biprodukt. Biproduktet af en familie er et objekt , således at for ethvert objekt er funktionen givet som bijektiv. [2] $\{X_{j}|j\in J\}$ $x$ $Y\in C$ ${\text{Hom}}(X,Y)\rightarrow \prod _{{j\in J}}{\text{Hom}}(X_{j},Y)$ $u\mapsto \{u\circ i_{j}\}$

Eksempler

I kategorien sæt er biproduktet af en familie af sæt deres usammenhængende forening , de kanoniske kortlægninger er indlysende indlejringer . I dette tilfælde kan den universelle egenskab udtrykkes som følger: For at definere en funktion på en usammenhængende forening er det tilstrækkeligt (og nødvendigt) at definere en funktion på hver af dens komponenter. $i_{j}$
I kategorierne vektorrum , moduler og abelske grupper kaldes et coprodukt en direkte sum .
I kategorien for alle grupper er et biprodukt et gratis produkt .
I kategorien topologiske rum er coproduktet den usammenhængende forening af bæresættene af de oprindelige rum, og topologiens base opnås ved foreningen (mere præcist, billederne under kanoniske indlejringer) af de originale baser.

Egenskaber

Hvis summen af objekter eksisterer, så er den unik op til isomorfisme .
Kommutativitet : $a+b\simeq b+a.$
Associativitet : $(a+b)+c\simeq a+(b+c)$
Hvis der er et indledende objekt i kategorien , så $\0$ $a+0\simeq 0+a\simeq a.$
En kategori, hvor der er biprodukter af ethvert sæt af objekter, er et eksempel på en symmetrisk monoidal kategori .

Distributivitet

Generelt er der en kanonisk morfisme , hvor plus betegner et biprodukt af objekter. Dette følger af eksistensen af kanoniske projektioner og indlejringer og fra kommutativiteten af følgende diagram: $X\ gange Y+X\ gange Z\til X\ gange (Y+Z)$

Den universelle egenskab garanterer eksistensen af den ønskede morfisme. En kategori kaldes distributiv, hvis denne morfisme i den er en isomorfisme . $X\ gange (Y+Z)$

Se også

Transformationsmatrixen er en kategorisk analog til den lineære transformationsmatrix.
Grænser og kogrænser

Noter

↑ Lambek J., Scott PJ Introduction to Higher-Order Categorical Logic. - Cambridge University Press, 1988. - S. 304.
↑ Bucur I., Deleanu A. Introduktion til teorien om kategorier og funktioner. - M . : "Mir", 1972.

Litteratur

McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker. - M. : Fizmatlit, 2004 [1998].