Grothendieck gruppe

Grothendieck-gruppen er et abstrakt algebrakoncept, der har adskillige anvendelser, herunder repræsentationsteori , algebraisk geometri og K-teori. Opkaldt efter den franske matematiker Alexander Grothendieck , der introducerede konceptet i midten af 1950'erne.

Lade være en kommutativ monoid , det vil sige en kommutativ semigruppe med et neutralt element . Lad os kalde operationen derudover . Grothendieck-gruppen af en monoid (sædvanligvis betegnet eller ) er en Abelsk gruppe, som (i en vis forstand) er en udvidelse af en monoid til en gruppe, dvs. den indrømmer driften af ikke kun summen, men også forskellen mellem to elementer. $M$ $M$ $M$ $K$ $K_{0}$ $M$

Generisk egenskab

Uformelt set er Grothendieck-gruppen af en kommutativ monoid en universel måde at lave en abelsk gruppe ud af en monoid, at "gruppere" en monoid.

Lad være en kommutativ monoid. Så må dens Grothendieck-gruppe have følgende universelle egenskab : der er en monoid homomorfi $M$ $K$

i\colon M\rightarrow K

sådan, at for enhver monoid homomorfi

f\colon M\rightarrow A

for en abelsk gruppe er der en unik homomorfi af abelske grupper $EN$

g\colon K\rightarrow A

sådan at

f=g\circ i.

Med hensyn til kategoriteori er en funktor, der tager en kommutativ monoid til sin Grothendieck-gruppe , den venstre adjoint-funktionor af en glemmende funktor fra kategorien af abelske grupper til kategorien af kommutative monoider. $M$ $K$

Eksplicit definition

Overvej et kartesisk produkt, hvis elementer er par , hvor . Per definition svarer par til forskelle , hvis addition er givet af $M\times M$ $(a,b)$ $a,b\in M$ $(a,b)$ $ab$

(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').

Addition defineret på denne måde har egenskaberne associativitet og kommutativitet (følger af lignende egenskaber af monoiden ). $M$

For at definere Grothendieck-gruppen er det nødvendigt at indføre en ækvivalensrelation på sættet , hvorunder elementerne og er ækvivalente , for hvilke ligheden $K$ $M\times M$ $(a,b)$ $(a',b')$

a+b'+c=a'+b+c

med et eller andet element . Opfyldelsen af egenskaberne refleksivitet, symmetri og transitivitet er trivielt verificeret. I kraft af denne definition inkluderer ækvivalensklassen for et element elementer for alle . Denne klasse kaldes den formelle forskel mellem elementer og er betegnet med . $c\in M$ $(a,b)$ $(a+c,b+c)$ $c\in M$ $-en$ $b$ $ab$

Sættet af formelle forskelle (ækvivalensklasser) defineret på denne måde med additionsoperation udgør Grothendieck-gruppen af monoiden . $K$ $M$

Det neutrale (nul) element i en gruppe er en ækvivalensklasse bestående af par af formen for alle mulige . Elementet modsat elementet har formen (både i det første og i det andet tilfælde er de tilsvarende ækvivalensklasser underforstået). $K$ $(a,a)$ $en \i M$ $(a,b)$ $(b,a)$

Der er en naturlig indlejring , der giver os mulighed for at overveje en udvidelse af . Hvert element er nemlig tildelt en formel forskel , dvs. klassen af elementer for alle mulige . $M\to K$ $K$ $M$ $en \i M$ $a-0$ $(a+c,c)$ $c\in M$

Eksempler

Det enkleste eksempel på en Grothendieck-gruppe er konstruktionen af heltal fra naturlige tal. Først tjekker vi, at naturlige tal med almindelig addition faktisk danner en kommutativ monoid. Overvej nu, ved hjælp af konstruktionen af Grothendieck-gruppen, de formelle forskelle mellem naturlige tal med ækvivalensrelationen $(\mathbb {N} ,+)$ $nm$

nm\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.

Lad os nu definere

n:=[n-0],

-n:=[0-n]

for alle . Denne konstruktion definerer heltal . $n \i \mathbb N$ $\mathbb {Z}$

Grothendieck gruppe

Generisk egenskab

Eksplicit definition

Eksempler

Links