Fortsat brøkdel

En fortsat brøk (eller fortsat brøk ) er et endeligt eller uendeligt matematisk udtryk for formen

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1 }{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ldots )))))),

hvor er et heltal , og alle resten er naturlige tal (positive heltal) [1] . I dette tilfælde kaldes tallene ufuldstændige kvotienter eller elementer af den fortsatte brøk [2] . $a_{0}$ $a_n$ $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$

Ethvert reelt tal kan repræsenteres som en fortsat brøk (endelig eller uendelig). Et tal er repræsenteret som en endelig fortsat brøk, hvis og kun hvis det er rationelt .

Hovedformålet (men på ingen måde det eneste) med fortsatte brøker er, at de giver dig mulighed for at finde gode tilnærmelser af reelle tal i form af almindelige brøker. Fortsatte brøker er meget udbredt i talteori og beregningsmatematik , og deres generaliseringer har vist sig ekstremt nyttige i calculus og andre grene af matematikken. De bruges også i fysik, himmelmekanik , teknik og andre anvendte aktivitetsområder.

Fortsat brøkudvidelse

Ethvert reelt tal kan repræsenteres af en (endelig eller uendelig, periodisk eller ikke-periodisk) fortsat brøk , hvor $x$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

a_{0}=\lgulv x\rgulv ,\quad x_{0}=x-a_{0},

a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{0}}}\right\rfloor ,\quad x_{1}={\frac {1}{x_{0}}} -a_{1},

\prikker

a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x_{n-1}}}\right\rfloor ,\quad x_{n}={\frac {1}{x_{n- 1}}}-a_{n},

\prikker

hvor angiver heltalsdelen af tallet . $\lgulv x\rgulv$ $x$

For et rationelt tal slutter denne udvidelse, når den når nul for nogle . I dette tilfælde er det repræsenteret af en endelig fortsat brøk . En effektiv algoritme til at konvertere en fælles brøk til en fortsat brøk er Euklids algoritme . Den fortsatte brøkrepræsentation af et rationelt tal er tvetydig: hvis den her angivne algoritme producerer en fortsat brøk , så svarer den fortsatte brøk til det samme tal. $x$ $x_{n}$ $n$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}]$ $[\dots ,a_{n}-1,1]$

For det irrationelle vil alle mængder være ikke-nul, og udvidelsesprocessen kan fortsættes på ubestemt tid. I dette tilfælde er det repræsenteret af en uendelig fortsat brøk . Hvis sekvensen består af et uendeligt gentaget sæt af de samme tal (punktum), så kaldes den fortsatte brøk periodisk. Et tal er repræsenteret af en uendelig periodisk fortsat brøk, hvis og kun hvis det er en andengradsirrationalitet , det vil sige en irrationel rod af en andengradsligning med heltalskoefficienter. $x$ $x_{n}$ $x$ $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$

Passende brøker

Den n'te ("nte") passende brøk for en fortsat brøk kaldes en finit fortsat brøk , hvis værdi er et rationelt tal . Passende brøker med lige tal danner en stigende sekvens, hvis grænse er . På samme måde danner konvergenter med ulige numre en faldende sekvens, hvis grænse også er lig med . Værdien af en fortsat brøk er således altid mellem værdierne af nabokonvergenter. $x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]$ $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]$ $p_{n}/q_{n}$ $x$ $x$

Euler afledte rekursive formler til beregning af tællere og nævnere af konvergenter:

p_{{-1}}=1,\quad p_{0}=a_{0},\quad p_{n}=a_{n}p_{{n-1}}+p_{{n-2}} ;

q_{{-1}}=0,\quad q_{0}=1,\quad q_{n}=a_{n}q_{{n-1}}+q_{{n-2}}.

Således er mængderne og polynomier i , kaldet kontinuanter : $p_n$ $q_{n}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n))$

p_{n}=K_{n+1}(a_{0},a_{1},\dots,a_{n}),

q_{n}=K_{n}(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}).

Sekvenserne af både tællere og nævnere af konvergenter er strengt stigende. $\{p_{n}\}$ $\{q_{n}\}$

Tællerne og nævnerne af nabokonvergenter er relateret af relationen

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.

(en)

Passende brøker, som det kan ses af denne relation, er altid irreducerbare . Lad os omskrive relationen i skemaet

{\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}={\frac {(-1) ^{{n-1}}}{q_{{n-1}}q_{n}}}.

Heraf følger [3] at

\left|x-{\frac {p_{{n-1}}}{q_{{n-1}}}}\right|<{\frac {1}{q_{{n-1}}q_{ n}}}<{\frac {1}{q_{{n-1}}^{2}}}.

Approksimation af reelle tal ved rationelle tal

Fortsatte brøker giver dig mulighed for effektivt at finde gode rationelle tilnærmelser af reelle tal. Nemlig, hvis et reelt tal udvides til en fortsat brøk, så vil dets konvergenter tilfredsstille uligheden $x$

\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|<{\frac {1}{q_{n}^{2}}}.

Konsekvenser [4] :

En passende brøk er den bedste tilnærmelse af det oprindelige tal blandt alle brøker, hvis nævner ikke overstiger $p_{n}/q_{n}$ $q_{n}.$
Målet for irrationalitet af ethvert irrationelt tal er mindst 2.

Eksempler

Lad os udvide tallet til en fortsat brøk og beregne dets konvergenter: $\pi =3{,}14159265\dots$

3,\ {\frac {22}{7)),\ {\frac {333}{106)),\ {\frac {355}{113)),\ {\frac {103993}{33102 }},\ \dots

Den anden konvergent er den velkendte arkimediske tilnærmelse. Den fjerde passende fraktion blev først opnået i det gamle Kina . $22/7$ $355/113$

Egenskaber for det gyldne snit

Følgende er en nedbrydning af det gyldne snit :

\Phi =[1;1,1,1,\dots ].

Et interessant resultat, som følger af, at det fortsatte brøkudtryk for ikke bruger tal større end 1, er, at det er et af de mest "dårligt" tilnærmende tal. Mere præcist siger Hurwitz-sætningen [5] , at ethvert reelt tal kan tilnærmes med en brøk på en sådan måde, at $\Phi$ $\Phi$ $r$ $m/n$

\left|r-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{n^{2}{\sqrt {5}}}}.

Selvom stort set alle reelle tal har uendeligt mange tilnærmelser , der er meget mindre end denne øvre grænse, er tilnærmelserne for (det vil sige tallene 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 osv.) i den grænse, de nå denne grænse [6] , holde afstanden på næsten nøjagtigt fra , og derved aldrig producere så gode tilnærmelser som for eksempel 355/113 for π. Det kan vises, at ethvert reelt tal i formen har denne egenskab , hvor og er heltal, og ; og også at alle andre reelle tal kan tilnærmes meget bedre. $r$ $m/n$ $r$ $\Phi$ $1/(n^{2}{\sqrt {5)))$ $\Phi$ $(a+b\Phi )/(c+d\Phi )$ $a,b,c$ $d$ $ad-bc=\pm 1$

Egenskaber og eksempler

Ethvert rationelt tal kan repræsenteres som en finit fortsat brøk på to måder, for eksempel: $9/4=[2;3,1]=[2;4].$
Lagranges sætning : Et tal er repræsenteret som en uendelig periodisk fortsat brøk, hvis og kun hvis det er en irrationel løsning på en andengradsligning med heltalskoefficienter.

For eksempel:

{\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ],

{\sqrt {42}}=[6;2,12,2,12,2,12\dots ],

gyldne snit

\Phi =[1;1,1,1,\dots ].

Gauss-Kuzmin-sætning : for næsten alle (undtagen et sæt med mål nul) reelle tal, adlyder fordelingen af elementerne i deres tilsvarende fortsatte brøker Gauss-Kuzmin-statistikken ; især er der et geometrisk gennemsnit af alle elementer, og det er lig med Khinchins konstant .
Marshall Halls teorem . Hvis der i udvidelsen af et taltil en fortsat brøk, startende fra det andet element, ingen tal er store, så siger de, at tallethører til klassen. Ethvert reelt tal kan repræsenteres som summen af to tal fra klassenog som et produkt af to tal fra klassen [7] Yderligere blev det vist, at ethvert reelt tal kan repræsenteres som summen af tre tal fra klassenog som summen af fire tal fra klasse. Antallet af påkrævede led i denne teorem kan ikke reduceres - for at repræsentere nogle tal på denne måde er færre led ikke nok [8] [9] . $x$ $n$ $x$ $F(n)$ $F(4)$ $F(4).$ $F(3)$ $F(2)$

Åbne numre

Der er blevet gjort forsøg på at finde mønstre i fortsatte brøkudvidelser af kubiske irrationaliteter [10] såvel som andre algebraiske tal med grader større end 2 og transcendentale tal [11] . For nogle transcendentale tal kan der findes et simpelt mønster. For eksempel kan basis af den naturlige logaritme repræsenteres som [12]

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ] ,

og tangenten af en vinkel på 1 radian er på formen [13]

\operatorname {tg} 1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ].

Nummeret på et simpelt mønster er ikke synligt [14] : $\pi$

\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1, 1,15,\prikker ]

For den generaliserede fortsatte fraktion (se afsnittet Variationer og generaliseringer nedenfor ) kan der dog spores et klart mønster.

Det vides ikke, om ufuldstændige partielle udvidelser af tal som eller [11] [15] er afgrænset ovenfra . ${\sqrt[ {3}]{2}}$ $\pi$

Anvendelser af fortsatte fraktioner

Kalenderteori

Når du udvikler en solkalender , er det nødvendigt at finde en rationel tilnærmelse for antallet af dage i et år , som er 365.2421988 ... Lad os beregne de passende brøker for brøkdelen af dette tal:

\frac{1}{4};\ \frac{7}{29};\ \frac{8}{33};\ \frac{31}{128};\ \frac{132}{545} \cdots

Den første fraktion betyder, at du hvert 4. år skal tilføje en ekstra dag; dette princip dannede grundlaget for den julianske kalender . I dette tilfælde akkumuleres en fejl på 1 dag over 128 år. Den anden værdi (7/29) blev aldrig brugt, fordi den adskiller sig lidt fra den næste, hvilket er meget mere nøjagtigt. Den tredje fraktion (8/33), det vil sige 8 skudår over en periode på 33 år, blev foreslået af Omar Khayyam i det 11. århundrede og lagde grundlaget for den persiske kalender , hvor fejlen pr. dag akkumuleres over 4500 år (i det gregorianske - over 3280 år). En meget nøjagtig version med en fjerde brøk (31/128, fejlen pr. dag akkumuleres kun i 100.000 år [16] ) blev fremmet af den tyske astronom Johann von Medler (1864), men han vakte ikke den store interesse.

Musikteori

I musikteori kræves det, når man bygger et ensartet temperamentsystem , at oktavintervallet opdeles i lige store dele, og samtidig skal intervallet af sådanne dele være så tæt som muligt på det femte interval . Disse krav fører til problemet med at finde en rationel tilnærmelse til . Den tredje passende fraktion giver den lige-tempererede pentatoniske skala . Den fjerde konvergens fører til den klassiske opdeling af oktaven i 12 lige store halvtoner [17] . $2:1$ $n$ $m$ $3:2$ $\log _{2}1{,}5\ca. 0{,}585$ $3/5$ $7/12$

Løsning af sammenligninger af første grad

Overvej sammenligningen : , hvor er kendt, og vi kan antage, at det er coprime med . Skal findes . $ax\equiv b{\pmod m}$ $a, \ b$ $-en$ $m$ $x$

Lad os udvide det til en fortsat brøkdel. Det vil være endeligt, og den sidste passende fraktion . Erstat i formel (1): ${\frac {m}{a))$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}$

mq_{n-1}-ap_{n-1}=(-1)^{n-1}.

Det følger heraf:

ap_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m)),

eller

\ a(-1)^{n}p_{n-1}\equiv 1{\pmod {m)).

Konklusion: Restklassen er løsningen på den oprindelige sammenligning. $x\equiv (-1)^{n}p_{{n-1}}b{\pmod m}$

Andre applikationer

Bevis for tallenes irrationalitet. For eksempel, ved at bruge fortsatte brøker, blev irrationaliteten af værdien af Riemann zeta-funktionen ( Aperis konstant ) bevist $\zeta (3)$
Løsning i heltal af Pells ligning [18] : og andre ligninger af diophantinanalyse $\;x^{2}-ny^{2}=1\;$
Definition af et kendt transcendentalt tal (se Liouvilles sætning )
Faktoriseringsalgoritmer SQUFOF og CFRAC . _
Karakterisering af ortogonale polynomier
Karakterisering af stabile polynomier

Variationer og generaliseringer

En række kilder giver en generaliseret definition af en fortsat brøk, der tillader tællere i dens links ikke kun 1, men også andre heltal (selv komplekse er tilladt i nogle kilder ) [1] :

[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\ cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\ldots }}}}}}.

Denne generalisering øger teoriens fleksibilitet, men har to ulemper: udvidelsen af et reelt tal til en fortsat brøk bliver tvetydig, og derudover er eksistensen af en grænse af konvergenter ikke længere garanteret - grænsen kan være uendelig eller endda fraværende.

For generaliserede fortsatte fraktioner har Euler-formlerne formen [19] :

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + b_n p_{n-2};

q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + b_n q_{n-2}.

Hvori

p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}b_{1}b_{2}\dots b_{n}.

Et særligt tilfælde, hvor alle kaldes Hirzebruch- fortsatte fraktion [20] . $b_{n}=-1$

Det blev sagt ovenfor, at udvidelsen af et tal til en klassisk fortsat brøk ikke indeholder et synligt mønster. For en generaliseret fortsat fraktion finder Braunker-formlen [21] sted : $\pi$

{\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}} }}}

En anden generaliseringsretning består i at konstruere og anvende apparatet med fortsatte brøker ikke for tal, men for polynomier - det faktum bruges, at polynomiers delelighed i dets egenskaber er tæt på deleligheden af heltal [22] . Enhver polynomisk eller brøk-rationel funktion kan udvides til en fortsat brøk [23] :

{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}x}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}x}{a_{3}+ \ldots }}}}}}.

Eksempel: få dekomponeringen for funktionen : ${\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2))))$

f(x)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {4x}{1-{\cfrac {2x}{-4+6x)))))))

Du kan etablere en overensstemmelse mellem fortsatte brøker og vinkler på gitter i planet. I denne henseende er der forskellige varianter af "multidimensionelle fortsatte fraktioner" [24] .

Historisk baggrund

Gamle matematikere var i stand til at repræsentere forhold mellem usammenlignelige mængder i form af en kæde af successive passende forhold, opnå denne kæde ved hjælp af Euclid-algoritmen . Det er tilsyneladende den måde, Arkimedes fik tilnærmelsen på - dette er den 12. passende brøk for eller en tredjedel af den 4. passende brøk for . ${\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}$ $\sqrt{3}$ ${\sqrt {27}}$

I det 5. århundrede brugte den indiske matematiker Aryabhata en lignende "raffineringsmetode" til at løse ubestemte første- og andengradsligninger. Ved hjælp af samme teknik er der sandsynligvis opnået den velkendte tilnærmelse for tallet (355/113). I det 16. århundrede udtog Rafael Bombelli kvadratrødder ved hjælp af fortsatte brøker (se hans algoritme ). $\pi$

Begyndelsen til den moderne teori om fortsatte fraktioner blev lagt i 1613 af Pietro Antonio Cataldi . Han noterede deres hovedegenskab (positionen mellem passende brøker) og indførte en betegnelse, der minder om den moderne. Senere blev hans teori udvidet af John Vallis , der foreslog udtrykket "fortsat fraktion" . Det tilsvarende udtryk " fortsat skud " dukkede op i slutningen af det 18. århundrede.

Disse brøker blev primært brugt til den rationelle tilnærmelse af reelle tal; for eksempel brugte Christian Huygens dem til at designe gearene til sit planetarium . Huygens vidste allerede, at konvergenter altid er irreducerbare, og at de repræsenterer den bedste rationelle tilnærmelse til det oprindelige tal.

I det 18. århundrede blev teorien om fortsatte fraktioner afsluttet i generelle vendinger af Leonhard Euler og Joseph Louis Lagrange .

Se også

Noter

↑ 1 2 Fortsat brøk // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5.
↑ Arnold, 2000 , s. 12.
↑ Vinogradov, 1952 , s. atten.
↑ Vinogradov, 1952 , s. 22, stk.
↑ Hardy, G.H.; Wright, EM -sætning 193 // En introduktion til talteorien . — Femte. — Oxford, 1979.
↑ Davenport, 1965 , s. 93-95.
↑ M. Hall, Om summen og produktet af fortsatte brøker, Annals of Math. 48 (1947) 966-993.
↑ B. Diviš, Om summer af fortsatte brøker, Acta Arith. 22 (1973) 157-173.
↑ TW Cusick og R.A. Lee, Summer af sæt af fortsatte fraktioner, Proc. amer. Matematik. soc. 30 (1971) 241-246.
↑ Calculations in Algebra and Number Theory, 1976 , H. M. Stark. En forklaring på nogle af de eksotiske fortsatte fraktioner fundet af Brillhart, s. 155-156.
↑ 1 2 P. Shiu. Beregning af fortsatte brøker uden inputværdier . - 1995.
↑ OEIS -sekvens A003417 : fortsat brøkudvidelse af e .
↑ OEIS -sekvens A093178 : fortsat fraktionsudvidelse . $\operatørnavn{tg}\,1$
↑ OEIS -sekvens A001203 : fortsat fraktionsudvidelse . $\pi$
↑ OEIS -sekvens A002945 : fortsat fraktionsudvidelse . ${\sqrt[ {3}]{2}}$
↑ På grund af den gradvise opbremsning af Jordens rotation og følgelig det gradvise fald i antallet af dage i et år, ville en sådan kalender have akkumuleret en faktisk fejl på én dag efter 4000 år.
↑ Shilov G. E. Simpel gamma. Musikvægt enhed . — Populære Forelæsninger om Matematik . - M. : Fizmatgiz , 1963. - S. 14-15. — 20 sek.
↑ Bugaenko V. O. Pell - ligninger _ _ _
↑ Fundamentals of Computational Mathematics, 1963 , s. 57.
↑ E. Yu. Smirnov. Friser og fortsatte fraktioner . MCNMO (17. marts 2020). Hentet 17. april 2020. Arkiveret fra originalen 21. april 2021. (ubestemt)
↑ John Wallis , Arithmetica Infinitorum (Oxford, England: Leon Lichfield, 1656), side 182 . Arkiveret 24. april 2021 på Wayback Machine . Brouncker udtrykte, som en fortsat brøk, forholdet mellem arealet af en cirkel og arealet af det omskrevne kvadrat (dvs. 4/ π ). Den fortsatte brøk vises øverst på side 182 (omtrent) som: ☐ = 1 1/2 9/2 25/2 49/2 81/2 &c, hvor firkanten angiver forholdet, der søges. (Bemærk: På den foregående side navngiver Wallis Brounker som: "Dom. Guliel. Vicecon, & Barone Brouncher " (Lord William Viscount og Baron Brounker).)
↑ Khovansky A. N. Anvendelser af fortsatte brøker og deres generaliseringer på spørgsmål om tilnærmet analyse (kapitel 1 og 2). — M .: Gostekhizdat, 1956.
↑ Fundamentals of Computational Mathematics, 1963 , s. 70-73.
↑ Karpenkov, 2013 .

Litteratur

Arnold V. I. Fortsatte brøker . - M. : MTsNMO , 2000. - T. 14. - 40 s. - ( Bibliotek "Matematisk uddannelse" ).
Beskin NM Fortsat fraktioner // Kvant . - 1970. - T. 1 . - S. 16-26.62 .
Beskin NM Infinite fortsatte fraktioner // Kvant . - 1970. - T. 8 . - S. 10-20 .
Bodnar D.I. Forgrening fortsatte fraktioner. - K . : Nauka, 1986. - 174 s.
Bukhshtab A. A. Talteori . - M . : Uddannelse, 1966. - 384 s.
Vinogradov I.M. Grundlæggende om talteori . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 s.
Beregninger i algebra og talteori / Pr. fra engelsk. E. G. Belagi, red. B.B. Venkova og D.K. Faddeeva. - M .: Mir , 1976. - (Matematik. Nyt i udenlandsk videnskab).
Gladkovsky S. N. Analyse af betinget periodiske fortsatte fraktioner, del 1 . - Gentle, 2009. - 138 s.
Demidovich B. P., Maron I. A. Fundamentals of Computational Mathematics. - Ed. 2. - M. : Fizmatlit, 1963. - S. 53-73. — 660 s.
Depman I. Ya. Aritmetikkens historie. En guide til lærere . - Anden udg. - M . : Uddannelse, 1965. - S. 253-254.
Davenport G. Højere aritmetik. En introduktion til talteori . — M .: Nauka, 1965.
Siziy SV Forelæsninger om talteori . - Jekaterinburg: Ural State University opkaldt efter. A. M. Gorky , 1999.
Skorobogatko V. Ya. Teorien om forgrenede fortsatte brøker og dens anvendelse i beregningsmatematik. — M .: Nauka, 1983. — 312 s.
Khinchin A. Ya. Fortsat fraktioner . — M .: GIFML, 1960.
Khovansky AN Anvendelse af fortsatte brøker og deres generaliseringer på spørgsmål om tilnærmet analyse. — M.: Gostekhizdat, 1956. — 204 s.
Brezinski C. Historie om fortsatte fraktioner og Padé-approksimanter. NY: Springer, 1980.
Karpenkov O. Geometri af fortsatte brøker. - Springer, 2013. - ISBN 978-3-642-39367-9 .

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Stor russer jorden rundt Lille Brockhaus og Efron Ny Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	J9U : 987007548245805171 LCCN : sh85051149 NDL : 00569391 NKC : ph441076