Ring af private

Ringen af kvotienter S −1 R af en kommutativ ring R (med enhed) ifølge multiplikationssystemet er rummet af brøker med tællere fra R og nævnere fra S med aritmetiske operationer og identifikationer, der er sædvanlige for brøker. $S\subset R$

Udtrykket lokalisering af ringen R i forhold til mængden S bruges også . Dette udtryk kommer fra algebraisk geometri : hvis R er en ring af funktioner på en algebraisk varietet V , så for at studere de lokale egenskaber for denne sort i et punkt p , betragter man sædvanligvis det sæt af funktioner, der ikke er lig med nul ved dette punkt og lokaliserer R langs dette sæt.

Den sædvanlige notation for en lokalisering (eller en ring af kvotienter) er S −1 R , men andre notationer bruges oftere i nogle tilfælde. Således, hvis S er komplementet til et primideal I , betegnes lokaliseringen af R som R I (og kaldes lokaliseringen af ringen ved et primsideal), og hvis S er mængden af alle potenser af elementet f . , bruges notationen Rf . De sidste to cases er grundlæggende for kredsløbsteori .

Definition

Et multiplikativt system i en ring R er en delmængde S i R , der indeholder 1, ikke indeholder nul og er lukket under multiplikation (i ringen R ). For et multiplikativt system S danner mængden et ideal i ringen R. I det tilfælde, hvor mængden S ikke indeholder nuldelere af ringen R , består idealet kun af nul, og systemet S kaldes regulært. Hvis R er en integral ring , så er hvert multiplikativt system i det regelmæssigt. $I_{S}=\{a\in R:\,\exists s\in S,\,as=0\}$ $I_{S}$

Elementerne i ringen af brøkdele af ringen R ved multiplikationssystemet S er formelle brøker af formen r/s , hvor r er et vilkårligt element af R og s er et element i mængden S . To brøker og betragtes som ækvivalente (repræsenterer det samme element i kvotientringen), hvis . Operationerne med addition og multiplikation er defineret som sædvanligt: ${\displaystyle r_{1}/s_{1))$ ${\displaystyle r_{2}/s_{2))$ ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S))$

r_{1}/s_{1}+r_{2}/s_{2}=(r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1})/s_{1}s_{2 }

{\displaystyle r_{1}/s_{1}*r_{2}/s_{2}=r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2))

Det kontrolleres, at hvis brøkerne i summen eller produktet erstattes af ækvivalente, vil det nye resultat blive udtrykt med en brøk, der svarer til den foregående. Med sådanne operationer erhverver sættet strukturen af en kommutativ ring med enhed. Nulet i den er brøken 0/1 , enheden er brøken 1/1 . $S^{-1}R$

Privat felt

Hvis R er et integritetsdomæne , danner sættet af alle dets ikke-nul-elementer et multiplikativt system. Ringen af kvotienter ifølge dette system er et felt og kaldes felt af kvotienter eller feltet af relationer , det betegnes normalt Frac(R) eller Quot(R) . Alle elementer i kvotientfeltet har formen a/b , hvor a, b er elementer af R og b ≠ 0, med de sædvanlige regneregler for tæller- og nævnerreduktion, addition og multiplikation. Det er let at se, at feltet af kvotienter er det mindste felt, hvori R kan indlejres . For eksempel er feltet af kvotienter i et felt isomorf i forhold til selve feltet.

Der er en naturlig indlejring af en ring i dens kvotientfelt, der sender a til a/1 . Feltet af brøkdele af en ring R opfylder følgende universelle egenskab : hvis h : R → F er en injektiv homomorfi af ringe fra R til et felt F , så eksisterer der en unik ringhomomorfi g : Quot( R ) → F der er sammenfaldende med h på elementerne i R . Denne universelle egenskab kan udtrykkes med følgende ord: feltet af kvotienter er en standard måde at gøre elementerne i en ring inverterbare på, henholdsvis ringen af kvotienter er en standard måde at gøre en delmængde af elementerne i en ring inverterbar på .

I forhold til kategoriteori kan kvotientfeltets opbygning beskrives som følger. Overvej en kategori, hvis objekter er integrale ringe, og hvis morfismer er injektiv ringhomomorfismer. Der er en glemmefunktion fra kategorien felter til denne kategori (da alle felthomomorfismer er injektiv). Det viser sig, at denne funktion har en venstre adjoint , og den tildeler en integralring sit felt af fraktioner.

Egenskaber

Ringen af brøker har den kanoniske struktur som en algebra over ringen R, da sammen med ringen S −1 R den kanoniske homomorfi af ringen R til S −1 R umiddelbart defineres (hvert element r fra R svarer til brøken r/1 ). Kernen i denne homomorfi er idealet . Hvis systemet S er regulært (ikke indeholder nuldelere), er denne homomorfi injektiv, og ringen R er således indlejret i sin ring af kvotienter i forhold til systemet S . I dette tilfælde er brøken r/s den eneste løsning på ligningen sx = r . $I_{S}$
Hvis begge grundstoffer r og s hører til S , så indeholder ringen S −1 R brøkerne r/s og s/r . Deres produkt er 1, så de er inverterbare. Omvendt har hvert inverterbart element i ringen S −1 R formen er/s , hvor r og s hører til S og e er et inverterbart element i ringen R .
Hvis R er en euklidisk ring , så er enhver ring mellem R og dens fraktionsfelt en ring af fraktioner af ringen R af et eller andet multiplikativt system S.
Hvis systemet S kun består af inverterbare elementer af ringen R , så bliver den kanoniske homomorfi af ringen R til S −1 R til en isomorfi , da hver brøkdel r/s viser sig at være annullerbar i ringen R .
Der er en bijektion mellem mængden af primidealer S −1 R og mængden af primidealer R , der ikke skærer mængden S (induceret af homomorfien R → S −1 R ). Et vigtigt specialtilfælde af denne egenskab: lokalisering af en ring ved hjælp af et prime ideal p giver en lokal ring, hvis eneste prime ideal er genereret af billederne af elementerne i p .

Eksempler

Feltet af kvotienter af ringen af heltal er feltet af rationelle tal . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$
Potenserne 10 i danner et multiplikativt system. Ringen af kvotienter i forhold til den vil være ringen af endelige decimalbrøker. $\mathbb {Z}$
Feltet af kvotienter af polynomialringen over feltet k vil være feltet for rationelle funktioner . $k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ $k(X_{1},X_{2},...,X_{n})$
Lige tal danner et primideal. Lokaliseringen af ringen ifølge den vil være ringen af rationelle brøker, hvor nævneren i irreducerbar form er et ulige tal. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
Betragt en polynomialring k [ x ] og f = x . Så er R f ringen af Laurent-polynomier k [ x, x −1 ].

Private moduler

Tilnærmelsesvis den samme konstruktion kan anvendes på moduler, og for et vilkårligt A -modul M overvejes modulet af kvotienter S −1 M . Nemlig, lad være sættet af modulelementer tilintetgjort ved multiplikation med et eller andet element i det multiplikative system S , det er nemt at kontrollere, at dette sæt er lukket under addition og multiplikation med et element i ringen. Modulet af brøker S −1 M er mængden af formelle brøker af formen m/s med ækvivalensrelationen , hvis , med den sædvanlige operation af addition af brøker, og også med operationen af multiplikation med elementer i ringen S − 1 A på formen m/s * a/s' = am /ss' . $I_{S}$ ${\displaystyle r_{1}/s_{1}\equiv r_{2}/s_{2))$ ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S))$

Lad være en homomorfi af A -moduler; det inducerer en homomorfi af S −1 A -moduler, der afbilder m/s til u(m)/s . Det er indlysende , at det vil sige operationen S −1 er en funktor . Desuden er denne funktion nøjagtig . [1] Det følger heraf, at hvis er et undermodul af , så er et undermodul af . Hvis vi betragter to undermoduler af et givet modul, så permuterer anvendelsen af S −1 på dem med at tage summen af moduler, skæringspunktet mellem moduler og tage kvotientmodulet. $u:M\to N$ $S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N$ $S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v$ $M'$ $M$ $S^{-1}M'$ $S^{-1}M$

Der er en repræsentation af kvotientmodulet ved hjælp af et tensorprodukt: Af denne repræsentation og af lokaliseringsfunktørens præcision følger, at modulet er fladt . $S^{-1}M\cong S^{-1}A\otimes _{A}M.$ $S^{-1}M$

Lokale ejendomme

En egenskab P for en ring A (eller et A -modul M ) kaldes lokal , hvis følgende udsagn er ækvivalente:

A (hv. M ) har egenskaben P ,
A I (hhv. M I ) har egenskaben P for alle primidealer I i ringen A .

Følgende eksempler på lokale egenskaber kan gives: egenskaben af et modul til at være lig med nul, egenskaben af en homomorfi at være injektiv eller surjektiv (man skal overveje homomorfismer induceret af lokalisering), egenskaben af et modul til at være flad .

Noter

↑ Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. – 2003.