Artins ring

Artins ring (ved navnet E. Artin ) er en associativ ring A med et enhedselement, hvor følgende betingelse for at bryde nedadgående kæder er opfyldt : enhver sekvens af idealer stabiliseres, dvs. $p_{1}\supset p_{2}\supset \dots \supset p_{n}\supset \dots$ $n$

p_{n}=p_{n+1}=\ldots

Det er let at bevise, at dette udsagn svarer til det faktum, at der i ethvert ikke-tomt sæt idealer A findes et minimalt element. I tilfælde af en ikke-kommutativ ring A skelnes der mellem venstre artinske og højre artiniske ringe: førstnævnte opfylder den faldende kæde betingelse for venstre idealer, og sidstnævnte, for højre. Generelt er en venstre Artinian ring ikke nødvendigvis en højre Artinian ring.

Ifølge Artin-Wedderburn-sætningen er alle simple Artinian-ringe matrixringe over en divisionsring . Især er en simpel ring venstre Artinian, hvis og kun hvis den er højre Artinian.

Hvis vi i definitionen erstatter faldende kæder med stigende, så får vi definitionen af en Noetherian ring . På trods af at betingelsen for at afslutte faldende kæder er dobbelt med betingelsen for at afslutte stigende kæder, er den første betingelse faktisk stærkere. Ifølge Hopkins-Levitsky-sætningen er enhver venstre (henholdsvis højre) artinsk ring venstre (henholdsvis højre) Noetherian.

Eksempler

Det artinske integritetsdomæne er et felt .
En ring med et begrænset antal idealer (især en endelig ring ) er artinsk.
Hvis I er et ideal, der ikke er nul i en Dedekind-ring , så er kvotientringen med hensyn til I en artinsk principiel idealring [1] .
For enhver komplet matrixring over en venstre Artinian (hv. venstre Noetherian) ring R er en venstre Artinian (resp. venstre Noetherian) [2] . $n\geq 1$ $M_{n}(R)$

Kommutative artiniske ringe

Lad A være en kommutativ Noether-ring med identitet. Så er følgende betingelser ækvivalente:

A er artinsk;
A er et endeligt produkt af artinske lokale ringe ;
Dimensionen af A er nul;
Spektret af A er diskret [3] .

Noter

↑ Sætning 459 på http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Arkiveret 14. december 2010 på Wayback Machine
↑ Cohn, 2003 , 5.2 Øvelse 11
↑ Atiyah-McDonald, kapitel 8, øvelse 2.

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. — M .: Mir, 1972
Zarissky O., Samuel R. Kommutativ algebra. — M .: IL, 1963
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968
Cohn, Paul Moritz. Grundlæggende algebra: grupper, ringe og felter (engelsk) . - Springer, 2003. - ISBN 978-1-85233-587-8 .