Ende ring

En endelig ring i almindelighed algebra er en ring, der indeholder et begrænset antal elementer (kaldet rækkefølgen af ringen). Med andre ord er dette en (ikke-tom) finit mængde , hvorpå operationerne addition og multiplikation er defineret, og med hensyn til addition danner den en kommutativ finit gruppe , og multiplikation er forbundet med addition af de sædvanlige fordelingslove . Eksistensen af en enhed og kommutativiteten af multiplikation i en ring holder ikke altid, nuldelere kan også eksistere . $R$ $R$

Antallet af ringe af små ordrer er angivet i online-leksikonet over heltalssekvenser [1] .

Eksempler på endelige ringe

Det enkleste eksempel er den trivielle ring , der består af et nul. Enhver ring indeholder en triviel subring . Dette er den eneste ring, hvor nul er et multiplikativt et [2] . Alle andre endelige ringe kaldes ikke-trivielle.

Et klassisk eksempel på en endelig ring er restringen modulo en vis naturlig værdi . En restring er et felt, hvis og kun hvis tallet er primtal [3] . Hvis tallet er sammensat, så er der nuldelere i ringen . For eksempel giver et sæt med operationer af addition og multiplikation modulo 8 et eksempel på en ring uden enhed og med nul divisorer: Restringe er vigtige for at studere strukturen af endeligt genererede abelske grupper , de kan også bruges til at konstruere p -adic tal . Denne ring er kommutativ, men ringen af kvadratiske matricer af en given orden, hvis elementer er restklasser modulo , er ikke længere kommutativ. $\mathbb {Z} _{n}$ $n$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0;\ 2;\ 4;\ 6\}$ $2\cdot 4=4\cdot 6=0.$ $n$

Ringen af delmængder af en endelig mængde er en ring, hvis elementer er delmængder i . Additionsoperationen er den symmetriske forskel , og multiplikationen er skæringspunktet mellem mængder : $x$ $x$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \kop (B \setminus A)

A \cdot B = A \cap B

Ringaksiomerne er let verificerede . Nulelementet er det tomme sæt , enhedselementet er alt . Alle elementer i ringen er idempotente , det vil sige . Ethvert element er dets inverse derudover: Ringen af delmængder er vigtig i teorien om boolske algebraer og målteori , især for konstruktionen af sandsynlighedsteori [2] .

x

A\cdot A = A

A+A=0.

Hvert endeligt felt eller endeligt legeme er også en endelig ring.

Nogle egenskaber

I en kommutativ endelig ring med en, er hvert ikke-nul-element enten inverterbart eller er en nul-divisor . Faktisk, lad være et ikke-nul element i ordreringen ; vi sammensætter produkter af alle ikke-nul elementer i ringen :. Hvis der er én blandt disse produkter, så er elementet inverterbart, og hvis ikke, så er enten ét af produkterne lig med nul, eller nogle to produkter er lig: eller I begge tilfælde er en divisor af nul osv. $-en$ $n$ $-en$ ${\displaystyle aa_{1}\dots aa_{n-1))$ $aa_{i}=aa_{k},$ $a(a_{i}-a_{k})=0.$ $-en$

Konsekvens: en ikke-triviel kommutativ endelig ring uden nuldelere er et felt (eksistensen af en enhed i ringen følger af samme ræsonnement).

En ring med ikke-triviel multiplikation (hvor ikke alle produkter af elementer er lig med nul) kaldes simpel , hvis den ikke indeholder tosidede idealer , bortset fra den trivielle subring og sig selv . Ethvert felt er en simpel ring, da feltet ikke har nogen egentlige idealer. En kommutativ ring med identitet er et felt, hvis og kun hvis det er en simpel ring. $R$ $R$ $R$ $R$

Wedderburns sætninger

Wedderburns lille sætning siger, at hvert endeligt legeme er et felt (det vil sige kommutativt ved multiplikation) [4] [5] .

Nathan Jacobson opdagede senere en anden tilstand, der garanterer kommutativiteten af en ring: hvis der for hvert element i ringen er et heltal , sådan at , så er ringen kommutativ [6] . Andre tegn på ringes kommutativitet er også blevet fundet [7] . $-en$ $R$ $n>1$ $a^{n}=a$ $R$

Endnu en Wedderburn-sætning: lad være en simpel ring med identitet og minimale venstreidealer. Så er ringen isomorf med ringen af alle ordensmatricer over en eller anden divisionsring . I dette tilfælde er kroppen entydigt defineret, og kroppen er defineret op til isomorfi. Omvendt er en ring for enhver krop en simpel ring. Det betyder, at enhver finit simpel ring er isomorf til en kvadratisk matrixring over et eller andet endeligt felt [8] . $R$ $R$ $n$ $n$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Noter

↑ OEIS -sekvens A027623 _
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , s. 18-19.
↑ Vinberg, 2011 , s. 28-34.
↑ Herstein, 1972 , s. 70-71.
↑ Prasolov V.V. Polynomier . - M. : MTSNMO, 2003. - S. 113. - 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .
↑ Herstein, 1972 , s. 74.
↑ Pinter-Lucke J. Kommutativitetsbetingelser for ringe: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. - 2007. - T. 25 , no. 2 . - S. 165-174 . - doi : 10.1016/j.exmath.2006.07.001 .
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 372.

Litteratur

Atiyah M. , McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 s.
Belsky A., Sadovsky L. Ringe // Kvant . - 1974. - Nr. 2 .
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : Mir, 1975. - 623 s.
Vinberg E. B. Algebra kursus. — Ny udgave, revideret. og yderligere — M.: MTsNMO, 2011. — 592 s.
Jacobson N. Ringenes opbygning. - M . : Forlag for udenlandsk litteratur, 1961.
Herstein I. Ikke-kommutative ringe. - M . : Mir, 1972. - 190 s.