Grænse (kategoriteori)

En grænse i kategoriteori  er et begreb, der generaliserer egenskaberne af sådanne konstruktioner som et produkt , en kartesisk firkant og en omvendt grænse . Den dobbelte forestilling om en colimit generaliserer egenskaberne af sådanne konstruktioner som usammenhængende forening , coproduct , codecartes square og direct limit .

Grænser og kogrænser, såvel som de nært beslægtede begreber om den universelle egenskab og tilstødende funktioner , er begreber med et højt abstraktionsniveau. For bedre at forstå dem, er det nyttigt først at studere eksempler på konstruktioner, som disse begreber generaliserer.

Definition

Grænser og kogrænser defineres ved hjælp af diagrammer . Et typediagram J i kategori C  er en funktion:

Kategori J er en indekseringskategori, og funktoren F spiller rollen som mærkning af objekter og morfismer af kategori C i forhold til kategorien J . Af størst interesse er tilfældet, når J  er en lille eller begrænset kategori. I dette tilfælde kaldes diagrammet F  : J → C lille eller endeligt.

Lad  F  : J → C være et diagram af type J i kategorien C . En kegle over F  er et objekt N i C sammen med en familie af morfismer ψ X  : N → F ( X ) indekseret af objekter X fra kategorien J , således at det for enhver morfi f  : X → Y i J er sandt, at F ( f ) o ψ X = ψ Y.

Grænsen for et diagram F  : J → C  er en kegle ( L , φ) over F , således at der for enhver kegle ( N , ψ) over F er en unik morfisme u  : N → L , således at φ X o u = ψ X for alle X til J . [en]

Begrebet en colimit  er defineret på lignende måde - alle pile skal vendes om. Nemlig:

Kokonen af ​​et diagram F  : J → C  er et objekt N i kategorien C sammen med en familie af morfismer:

for hvert X i J , således at ψ Y o F ( f ) = ψ X er sandt for enhver morfisme f  : X → Y i J.

Diagrammets kogrænse F  : J → C  er en kokos ( L , φ), således at der for enhver anden kokon ( N , ψ) er en unik morfisme u  : L → N , således at u o φ X = ψ X for alle X i J. _

Som alle universelle objekter eksisterer grænser og kogrænser ikke altid, men hvis de eksisterer, er de defineret op til isomorfi.

Eksempler på grænser

Definitionen af ​​en kategorisk grænse er bred nok til at generalisere andre hyppigt anvendte kategoriske konstruktioner. Eksemplerne betragter grænsen ( L , φ ) for diagrammet F  : J → C.

• terminalobjekter. Hvis J  er en tom kategori, er der kun ét diagram af type J i C , det  tomme. Keglen over det tomme diagram er simpelthen ethvert objekt i kategori C. En grænse over F  er ethvert sådant objekt, hvortil der er en unik morfisme fra ethvert objekt, det vil sige et terminalobjekt.
• Kunstværker . Her er J  en diskret kategori (uden morfismer), og diagrammet defineret af funktoren F  er en familie af objekter C indekseret med J og grænsen er deres produkt sammen med projektioner til faktorer, projektioner danner en familie af morfismer ud fra definitionen af en kegle.
• Equalizer . Her er J  en kategori af to objekter og to parallelle morfismer, så er F  to parallelle morfismer, og grænsen er deres equalizer.
  • Kernen  er et specialtilfælde af equalizeren, hvor en af ​​morfismerne er nul.
• Kartesisk firkant . Her består J af tre objekter og morfismer fra det første og andet objekt til det tredje.
• Hvis J  er en kategori af et element og identitetsmorfismen, så er grænsen det element, som J er afbildet i .
• Topologiske grænser. Funktionsgrænser er et særligt tilfælde af filtergrænser , som er relateret til kategoriske grænser på følgende måde. I et givet topologisk rum X skal du overveje F  , et sæt filtre på X , et punkt x ∈ X , V ( x ) ∈ F  , et filter af kvarterer x , A ∈ F  , et bestemt filter og  et sæt filtre tyndere end A og konvergerer til x . På filtre F kan man definere en kategoristruktur ved at sige, at en pil A → B eksisterer, hvis og kun hvis A ⊆ B . Indlejringen bliver en funktion, og følgende udsagn er sandt: x  er en topologisk grænse for A , hvis og kun hvis A  er en kategorisk grænse. [2]

Egenskaber

Eksistens

En kategori siges at have grænser af type J , hvis et diagram af type J har en grænse.

En kategori kaldes komplet , hvis den har en grænse for et hvilket som helst lille diagram (det vil sige et diagram, hvis elementer udgør et sæt). Endeligt komplette og cocomplete kategorier defineres på samme måde.

Generisk egenskab

Overvej en kategori C med diagram J . Funktionskategorien C J kan opfattes som kategorien af ​​diagrammer af typen J i C . En diagonalfunktor  er en funktor, der afbilder et element N i kategori C til en konstant funktion Δ( N ) : J → C , der afbilder alt til N .

Givet et diagram F : J → C (forstået som et objekt C J ), er den naturlige transformation ψ : Δ( N ) → F (forstået som en morfisme af kategorien C J ) den samme som keglen fra N til F . Komponenterne i ψ  er morfismer ψ X  : N → F ( X ) . Definitionerne af limit og colimit kan omskrives som [3] :

• Grænsen for F  er den universelle pil fra Δ til F .
• Kogrænsen F  er den universelle pil fra F til Δ .

Funktioner og grænser

Funktionen G  : C → D inducerer en mapping fra Cone( F ) til Cone( GF ) . G bevarer grænser i F , hvis ( GL , G φ)  er en grænse for GF , når ( L , φ)  er en grænse for F [4] . En funktion G bevarer alle grænser af type J , hvis den bevarer grænser for alle diagrammer F  : J → C. Eksempelvis kan man sige, at G bevarer produkter, equalizere osv. En kontinuerlig funktor  er en funktor, der bevarer alle små grænser. Lignende definitioner er indført for colimits.

En vigtig egenskab ved adjoint-funktorer  er, at hver højre adjoint-funktionor er kontinuert og hver venstre adjoint-funktionor er endeligt kontinuerlig [5] .

En funktion G  : C → D hæver grænser for et diagram F  : J → C , hvis det faktum, at ( L , φ)  er en grænse for GF , antyder, at der findes en grænse ( L ′, φ′) i F , således at G ( L ′, φ′) = ( L , φ) [6] . En funktion G hæver grænser af type J , hvis den hæver grænser for alle diagrammer af type J . Der er to definitioner for colimits.

Noter

1. ↑ Goldblatt, 1983 , s. 70-71.
2. ↑ Mathematics Stack Exchange, svar fra Stephan F. Kroneck . Hentet 6. april 2014. Arkiveret fra originalen 1. maj 2013. (ubestemt)
3. ↑ McLane, 2004 , s. 81, 83.
4. ↑ McLane, 2004 , s. 137.
5. ↑ McLane, 2004 , s. 140.
6. ↑ Adamek, 1990 , s. 227.

Litteratur

• McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• R. Goldblatt. Topoi. Kategorisk analyse af logik. - M . : Mir, 1983. - 487 s.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst og Strecker, George E. Abstrakte og konkrete kategorier . — 1990. Oprindeligt udg. John Wiley & sønner. ISBN 0-471-60922-6 . (nu gratis online udgave).