Ringteori er en gren af generel algebra , der studerer ringes egenskaber - algebraiske strukturer med addition og multiplikation, der i adfærd ligner addition og multiplikation af tal. Der er to grene af ringteori: studiet af kommutative og ikke-kommutative ringe.
Kommutative ringe er bedre undersøgt generelt, idet de er hovedemnet for studier i kommutativ algebra , som er en vigtig del af moderne matematik, der giver værktøjerne til udvikling af algebraisk geometri og algebraisk talteori . Disse tre teorier er så tæt beslægtede, at det ikke altid er muligt at angive, hvilket område et bestemt resultat hører til, for eksempel spiller Hilberts nulsætning en grundlæggende rolle i algebraisk geometri, men er formuleret og bevist i form af kommutativ algebra. Et andet eksempel er Fermat's Last Theorem , som er angivet i form af elementær aritmetik (som er en del af kommutativ algebra), men dets bevis bruger dybe resultater fra både algebraisk geometri og algebraisk talteori.
Opførselen af ikke-kommutative ringe er mere kompliceret, deres teori blev udviklet uafhængigt af kommutativ algebra i ret lang tid, men i slutningen af det 20. århundrede var der en tendens til at bygge denne teori på en mere geometrisk måde i betragtning af sådanne ringe som ringe af funktioner på (ikke-eksisterende) "ikke-kommutative rum". Denne tendens opstod i 1980'erne med fremkomsten af ikke-kommutativ geometri og opdagelsen af kvantegrupper , gennem anvendelsen af metoderne i disse teorier, er der opnået en bedre forståelse af ikke-kommutative ringe, især ikke-kommutative Noetherian ringe . [1] .
Fælles for alle ringe:
Strukturelle teoremer for nogle klasser af ringe: