Faktoriel ring

En faktoriel ring  er et integritetsdomæne , hvor hvert ikke-nul-element x enten er invertibelt eller entydigt repræsenteret som et produkt af irreducerbare elementer x = p 1   ⋯  p n ( n ≥ 1) , op til en permutation af faktorerne og multiplikation med en invertibel element (svarende til nedbrydningen af ​​de hele tal til primtal ). Faktorielle ringe kaldes ofte gaussiske efter Gauss .

Definition

Mere formelt er en faktoriel ring defineret som et domæne af integritet R , hvor hvert ikke-nul element x kan skrives som et produkt (det tomme produkt , hvis x er inverterbart) af irreducerbare elementer pi og et inverterbart element u :

og denne nedbrydning er unik i følgende betydning: Hvis q 1 , … ,  q m  er irreducerbare elementer af R og w  er et inverterbart element, således at

så er m = n , og der eksisterer en bijektiv afbildning φ : {1, … ,  n } → {1, … ,  m } sådan at p i  er elementet forbundet med q φ( i ) for i ∈ {1, … ,  n } .

Eksempler

• Alle euklidiske ringe , især ringen af ​​heltal (se grundlæggende aritmetiske sætning ) og ringen af ​​Gaussiske heltal . Se artiklerne Faktorisering af heltal og faktorisering af gaussiske tal .
• Hvis R er faktoriel, så er polynomeringen R [ x ] også faktoriel, derfor følger det, at ringen R [ x 1 , … ,  x n ] også er faktoriel.
• Auslander-Buxbaums teorem : hver regulær lokal ring er faktoriel.
• Ringen af ​​formelle magtrækker over hovedidealernes domæne er faktoriel.
• Lad R  være et felt med karakteristik og ikke 2. Klein og Nagata viste, at R [ x 1 , … ,  x n ]/ Q er faktoriel, hvis Q  er en ikke-degenereret andengradsform, og n er mindst fem.
• Lokaliseringen af ​​en faktoriel ring er faktoriel. Desuden kan man ved en passende lokalisering og fra en ikke-faktoriel ring opnå en faktoriel ring. For eksempel er en ring ikke faktoriel (fordi ), men dens lokalisering er faktoriel.

Tilsvarende formuleringer

Lad A  være en integreret ring. Følgende udsagn er ækvivalente:

• A er faktoriel.
• Ethvert primtal A , der ikke er nul , indeholder et primtal (det vil sige et element, således at hovedidealet , der genereres af dette element, er primtal).
• A  er en Krull-ring , hvor hvert divisor-ideal er principielt (sådan defineres Bourbakis faktorielle ring ).
• A  er en Krull-ring, og hvert primideal, der ikke indeholder andre primeidealer, der ikke er nul, er principielt.

Egenskaber af faktorielle ringe

1. I faktorielle ringe er begreberne for den største fælles divisor og det mindste fælles multiplum af ethvert endeligt sæt af elementer, såvel som begrebet elementernes coprimeness , veldefinerede .

2. Lemma om leddelelighed. Hvis et element i den faktorielle ring er deleligt med hvert af elementerne , , ... , og disse elementer er parvise coprime, så er det deleligt med deres produkt.

3. Hvis , og elementerne er parvise coprime, så har hver af dem formen , hvor  er de inverterbare elementer i ringen.

4. Enhver fraktion , der er sammensat af elementer i den faktorielle ring, kan skrives i en irreducerbar form , det vil sige, at der er coprime-elementer og (entydigt defineret op til association) sådan at .

5. Gauss' sætning. Hvis brøken er roden af ​​et polynomium med den højeste koefficient lig med 1 (elementerne , såvel som alle koefficienterne i polynomiet er elementer i faktorringen ), så ligger i , det vil sige er deleligt med i ringen . (Denne egenskab ved ringen kaldes integreret lukket ).

Litteratur

• Bourbaki N. Kommutativ algebra. — M .: Mir, 1971.
• Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
• Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
• Leng S. Algebra. - Mir, 1967.