Start objekt

(omdirigeret fra " Indledende og terminalobjekter ")

Et initialobjekt ( frastødende objekt , initialobjekt ) er et kategoriobjekt , således at der for ethvert objekt er en unik morfisme . $jeg$ ${\mathcal C}$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ $I\to X$

Det dobbelte koncept er et terminalobjekt ( attraktivt objekt ): et objekt er terminalt, hvis der for noget objekt er en unik morfisme . $T$ $X\in \mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ $X\to T$

Hvis et objekt både er initialt og terminalt, kaldes det et nulobjekt .

Det tomme sæt er det eneste initiale objekt i kategorien sæt , singleton-sæt ( singletons ) er terminalobjekter, der er ingen null-objekter. I kategorien markerede punktsæt er singletons nulobjekter, ligesom i kategorien markerede punkttopologiske rum.

De initiale og terminale objekter eksisterer ikke i nogen kategori, men hvis de eksisterer, så er de entydigt definerede: hvis og er initialobjekter, er der en isomorfi mellem dem , og den eneste ene. $I_1$ $I_{2}$

Terminalobjekterne er grænserne for det tomme diagram , det vil sige de tomme produkter . På samme måde er initialobjekter kogrænser og tomme biprodukter. Det følger heraf, at en funktor, der bevarer grænser (colimits), bevarer henholdsvis terminale (initielle) objekter. $\varnothing \to {\mathcal {C))$

Eksempler

I kategorien af grupper, såvel som i kategorierne af abelske grupper, moduler over en ring og vektorrum, er der et nulobjekt (i forbindelse med hvilket udtrykket "nulobjekt" optrådte).

I kategorien ringe er ringen af heltal det indledende objekt, og nulringen c er terminalobjektet. Der er ingen start- og slutelementer i feltkategorien . Men i den fulde underkategori af felter af karakteristikken er der et indledende objekt - et felt af elementer. $\mathbb {Z}$ $0=1$ $s$ $s$

I kategorien for alle små kategorier (med funktorer som morfismer) er startobjektet den tomme kategori, og terminalobjektet er kategorien med det eneste objekt og morfismer. ${\mathbf 1}$

Ethvert topologisk rum kan betragtes som en kategori, hvis objekter er åbne sæt og mellem to åbne sæt, således at der er en unik morfisme. Det tomme sæt er det indledende objekt i denne kategori, det terminale. For en sådan kategori af et topologisk rum og en arbitrær lille kategori danner alle kontravariante funktorer fra til med naturlige transformationer en kategori kaldet kategorien af presheaves på med koefficienter i . Hvis den har et indledende objekt , så er den konstante funktionsmapping til det indledende objekt i kategorien af presheaves, den dobbelte påstand er også sand. $x$ $U\subset V$ $x$ $x$ ${\mathcal C}$ $x$ ${\mathcal C}$ $x$ ${\mathcal C}$ ${\mathcal C}$ $c$ $x$ $c$

I kategorien kredsløb er spektret det terminale objekt, og det tomme kredsløb er det oprindelige objekt. $\mathbf {Spec} (Z)$

Initial- og terminalobjekter kan også karakteriseres ved hjælp af universelle pile og tilstødende funktorer . For en kategori med et enkelt objekt og en (enkelt) funktor er kategoriens indledende objekt den universelle pil fra til . Den funktion, der sender til , er den venstre adjoint af . Følgelig er kategoriens terminalobjekt den universelle pil fra til , og den funktion, der sender til , er den rigtige adjoint for . Omvendt kan en generisk pil fra til en funktion defineres som et initialobjekt i kommakategorien . Dobbelt er en universel morfisme fra til et terminalobjekt i . ${\mathbf 1}$ $\kugle$ $U\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {1}$ $jeg$ ${\mathcal C}$ $\kugle$ $U$ $\kugle$ $jeg$ $U$ $T$ ${\mathcal C}$ $U$ $\kugle$ $\kugle$ $jeg$ $U$ $x$ $U$ $(X\downarrow U)$ $U$ $x$ $(U\downarrow X)$

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktorer og naturlige transformationer // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .