Trivielle objekter i algebra

I algebra (en gren af matematik) er mange algebraiske strukturer trivielle , det vil sige de enkleste objekter . Ligesom sæt består de af et enkelt element , angivet med symbolet " 0 ", og selve objektet - som " {0} " eller blot "0" afhængigt af konteksten (f.eks. i nøjagtige sekvenser ). Objekter svarende til trivielle tilfælde er vigtige for ensartet ræsonnement: for eksempel er det mere bekvemt at sige, at "løsninger af ligningen T x = 0 altid danner et lineært rum" end at tage forbeholdet "... eller et sæt { 0 }".

De vigtigste af disse objekter er:

Triviel gruppe , den enkleste af grupper . Det er også den enkleste af de abelske grupper , og alle de objekter, der er anført nedenfor, arver dens struktur, forstået som tilføjelse .
Trivial ring , den enkleste af ringe .
Nul (trivielt eller tomt -genereret ) modul , det enkleste af modulerne over en given ring R ).
Nul (eller nuldimensionalt ) lineært rum over et felt R , det enkleste lineære rum.
Nul algebra , den enkleste algebra over en ring eller over et felt R.

I de sidste tre tilfælde er multiplikation med en skalar defineret som κ0 = 0 , hvor κ ∈ R .

Enhver nul-algebra er også triviel som en ring. Nul-algebraen over et felt er et nul-lineært rum, og over en ring er det et nul-modul.

Fortolkning med kategoriteori

Med hensyn til kategoriteori er et trivielt objekt et terminal , og nogle gange (afhængigt af definitionen af en morfisme ) null (det vil sige både terminal og initial ) objekt.

Et trivielt objekt er unikt op til isomorfi .

Terminaliteten af et trivielt objekt betyder, at morfismen A → {0} eksisterer og er unik for ethvert objekt A i kategorien. Denne morfisme kortlægger hvert element i objektet A til 0 .

2↕ _	${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix))$	=	${\begin{bmatrix}\,\\\,\end{bmatrix))$	[ ]	‹0
	↔ 1		^ 0	↔ 1
Nullrumselementet, skrevet som en tom kolonnevektor (til højre), multipliceres med en tom 2×0 matrix for at opnå en 2-dimensionel nulvektor (venstre). Matrix multiplikationsregler overholdes .

I kategorierne Rng (ringe uden obligatorisk enhed), R - Mod og Vect R , er henholdsvis en triviel ring, et nulmodul og et mellemrum nulobjekter. Nul-objektet er per definition initial, det vil sige, at morfismen {0} → A eksisterer og er unik for ethvert objekt A i kategorien. Denne morfisme kortlægger 0 , det eneste element i objektet {0} , til nul 0 ∈ A . Dette er en monomorfi , og dens billede (et undermodul/underrum i A genereret af nul elementer ) er isomorf til {0}.

Strukturer med en enhed

I strukturer med en enhed ( et neutralt multiplikationselement) er tingene ikke så enkle. Når definitionen af en morfisme i en kategori kræver deres bevarelse, er det trivielle objekt enten kun terminalt (men ikke initialt) eller eksisterer slet ikke (f.eks. når definitionen af en struktur kræver uligheden 1 ≠ 0 ).

I Ring -kategorien af enhedsringe er ringen af heltal Z det indledende objekt, ikke {0}.

Se også

Den tomme semigruppe
Triviel algebra

Trivielle objekter i algebra

Fortolkning med kategoriteori

Strukturer med en enhed

Se også

Links