Hovedideal

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. januar 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Hovedidealet er et ideal genereret af ét element.

Der er ingen almindeligt accepteret notation for principielle idealer. Nogle gange bruges notationen , , til henholdsvis venstre, højre og tosidede hovedidealer for et element i en ring . $\mathrm {låg} _{R}a$ $\mathrm {fri} _{R}a$ $\mathrm {id} _{R}a$ $-en$ $R$

Definition

Det venstre ideal af en ring kaldes det primære venstre ideal , hvis det er genereret af et enkelt element . Principielle rigtige idealer og principielle tosidede idealer defineres på samme måde . $R$ $-en$

Hvis er en kommutativ ring , så er disse tre begreber ækvivalente. I dette tilfælde er idealet genereret af betegnet med . $R$ $-en$ $(en)$

I tilfælde af en associativ ring med enhed beskrives de vigtigste idealer som følger.

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_ {n}:r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n},r'_{n}\in R\}$ .

Hvis er en associativ ring (generelt sagt uden enhed), så $R$

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+ \dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n} ,r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$ .

Ikke alle idealer er de vigtigste. Overvej for eksempel en kommutativ polynomialring med komplekse koefficienter i to variable og . Idealet genereret af polynomier og , (det vil sige idealet bestående af polynomier, hvis frie led er lig med nul) vil ikke være principielt. For at bevise dette, antag, at dette ideal er genereret af et eller andet element ; så skal det være deleligt med og . Dette er kun muligt, hvis er en konstant, der ikke er nul. Men i kun én konstant - nul. Vi kommer til en modsigelse. $\mathbb {C} [x,y]$ $x$ $y$ $(x,y)$ $x$ $y$ $a\in \mathbb {C} [x,y]$ $x$ $y$ $-en$ $(x,y)$

Relaterede definitioner

En ring, hvis idealer er principielle, kaldes en principiel idealring .
Den integrerede ring af principielle idealer kaldes også domænet af principielle idealer . I områder med principielle idealer gælder den aritmetiske grundsætning (ethvert element kan entydigt faktoriseres til primfaktorer); beviset for dette faktum er det samme som beviset for tilfældet med heltal .

Eksempler

Alle euklidiske ringe er principielle ideelle domæner; i dem kan man bruge Euklids algoritme til at finde det genererende element i et givet ideal . Generelt har alle to principielle idealer for en kommutativ ring en største fælles divisor i betydningen ideal multiplikation ; på grund af dette er det i hovedidealernes domæner muligt at beregne (op til multiplikation med et invertibelt element ) elementernes GCD og som et genererende element af idealet . $-en$ $b$ $(a,b)$

Litteratur

Vinberg E.B. Algebra kursus. - 3. udg. - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 eksemplarer. — ISBN 5-88688-060-7 .