Dedekind ring

Generelt er en Dedekind -ring en integralring, hvor hvert et egentligt ideal , der ikke er nul, nedbrydes til et produkt af primære idealer . Det kan påvises, at i dette tilfælde er udvidelsen unik op til rækkefølgen af faktorerne. Nedenfor er flere andre beskrivelser af Dedekind ringe, der kan tages som en definition.

Et felt er en integreret ring, hvor der ikke er nogen egentlige idealer, der ikke er nul, så den tidligere egenskab holder strengt taget. Nogle forfattere tilføjer betingelsen "ikke at være et felt" til definitionen af en Dedekind-ring; mange andre forfattere følger den implicitte konvention om, at formuleringerne af alle teoremer for Dedekind-ringe kan trivielt justeres, så de også holder for felter.

Det følger umiddelbart af definitionen, at hvert domæne af principielle idealer er en Dedekind-ring. En Dedekind-ring er faktoriel , hvis og kun hvis den er et principielt ideelt domæne.

Forhistorien om konceptets udseende

I det 19. århundrede blev det en almindelig teknik at bruge algebraiske talringe til at løse diofantiske ligninger . For eksempel, i et forsøg på at bestemme, hvilke heltal der kan repræsenteres som , er det helt naturligt at faktorisere den kvadratiske form i faktorer , nedbrydningen sker i ringen af heltal i kvadratfeltet . Tilsvarende kan et naturligt polynomium (som opstår ved løsning af Fermats ligning ) udvides i annulus , hvor er den primitive th rod af enhed . $x^{2}+my^{2}$ $(x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ $n$ $z^{n}-y^{n}$ $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ $\zeta _{n}$ $n$

For små værdier af og er disse ringe af heltal domæner af hovedidealer; på en måde forklarer dette Fermats ( ) og Eulers ( ) delvise succes med at løse disse to problemer. På dette tidspunkt kendte specialister i studiet af kvadratiske former proceduren for at kontrollere ringen af heltal i et kvadratisk felt for egenskaben "at være et domæne af hovedidealer." Gauss studerede sagen : han fandt ni værdier, der tilfredsstiller ejendommen og antog, at der ikke var andre værdier (Gauss' formodning blev bevist mere end hundrede år efter det). $m$ $n$ $m=1,n=4$ $m=2,3,n=3$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {D)))$ $D<0$ $D$

I det 20. århundrede begyndte matematikere at indse, at den vigtigste idealtilstand var for subtil, mens Dedekind-tilstanden var stærkere og mere stabil. For eksempel foreslog Gauss, at der er uendeligt mange positive primtal , således at ringen af hele felter er domænet for de vigtigste idealer; dog er det den dag i dag ikke engang kendt, om der er uendeligt mange talfelter, hvis ringe af heltal opfylder denne betingelse! På den anden side er ringen af heltal i et talfelt altid Dedekind. $s$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$

Et andet bevis på denne "stabilitet" er, at Dedekindness er en lokal egenskab : en Noetherian ring er Dedekind, hvis og kun hvis dens lokalisering ved et hvilket som helst maksimalt ideal er Dedekind. Men en lokal ring er Dedekind, hvis og kun hvis det er et principielt idealdomæne og en diskret værdiansættelsesring , så for principielle ideelle domæner er Dedekindity en globalisering af den diskrete værdiansættelsesejendom. $R$

Tilsvarende definitioner

For en integralring , der ikke er et felt, er følgende udsagn ækvivalente: $R$

Hvert ikke-nul egentligt ideal nedbrydes til et produkt af primtal;
$R$ er Noetherian og dens lokalisering i forhold til ethvert maksimalt ideal er en diskret værdiansættelsesring;
Ethvert brøksideal af en ring er invertibel; $R$
$R$ er integreret lukket , Noetherian, og dens Krull-dimension er lig med én.

En Krull-ring er en "højere-dimensional" analog af en Dedekind-ring: Dedekind-ringe (som ikke er felter) er præcis Krull-ringe med dimension 1. Denne definition af en Dedekind-ring blev brugt af N. Bourbaki i Commutative Algebra.

Eksempler

Alle domæner af principielle idealer, og dermed alle diskrete værdiansættelsesringe, er Dedekind.

Ringen af algebraiske heltal i et talfelt K er noetherisk, integreret lukket og har dimension 1 (for at bevise sidstnævnte er det tilstrækkeligt at bemærke, at for ethvert ideal I , der ikke er nul, er ringene R , R / I endelige og endelige integraler ringe er felter), så R er Dedekind. Dette er et grundlæggende, motiverende eksempel for teorien om Dedekind ringe. $R={\mathcal {O}}_{K}$

Et andet eksempel, som ikke er mindre vigtigt end det første, er givet af algebraisk geometri. Lad C være en affin algebraisk kurve over et felt k . Så er koordinatringen k [ C ] af regulære funktioner på C Dedekind. Dette er faktisk kun en oversættelse af geometriske termer til algebraisk sprog: koordinatringen af en affin varietet er per definition en endeligt genereret k - algebra (deraf Noetherian); kurven antyder dimension 1, og fraværet af singulariteter antyder normalitet , det vil sige integral lukning.

Begge eksempler er specialtilfælde af følgende grundlæggende sætning:

Sætning: Lad R være en Dedekind-ring med et felt af kvotienter K , L en endelig forlængelse af K , og S en heltalslukning af R i L . Så er S en Dedekind ring.

Ved at anvende denne konstruktion på R = Z får vi ringen af heltal i talfeltet. R = k [ x ] svarer til tilfældet med algebraiske kurver uden singulariteter.

Brøkidealer og den ideelle klassegruppe

Lad R være en integralring med et felt af brøker K . Et brøksideal af en ring R er et R -undermodul K , der ikke er nul, for hvilket der eksisterer et x fra K , som ikke er nul , således at $xI\subset R.$

Givet to brøkidealer I , J , kan deres produkt IJ defineres som mængden af alle endelige summer : produktet IJ er også et brøksideal. Mængden Frac(R) af alle brøkidealer er således en kommutativ semigruppe, og endda en monoid: identitetselementet er brøkidealet R . $\sum _{n}i_{n}j_{n},\ i_{n}\i I,\ j_{n}\i J$

For ethvert brøksideal I kan man definere et brøksideal

I^{*}=(R:I)=\{x\in K\ |\ xI\subset R\}.

Åbenbart . Ligestilling opnås, når I er invertibel (som et element i monoid Frac(R)). Med andre ord, hvis jeg har et omvendt element, så er denne inverse . $I^{*}I\subset R$ $jeg^*$

Et hovedbrøkideal er et brøkideal af formen for et ikke-nul x i K . Alle brøkidealer er reversible: det omvendte for er simpelthen . Betegn undergruppen af hovedbrøkidealer Prin(R). $xR$ $xR$ ${\frac {1}{x}}R$

En integral ring R er en principiel idealring, hvis og kun hvis hvert brøksideal er principal. I dette tilfælde er Frac(R) = Prin(R) = , da og falder sammen hvis og kun hvis er et inverterbart element af R . $K^{*}/R^{*}$ $xR$ $YR$ $xy^{-1}$

For en vilkårlig integral ring R giver kvotienten monoid Frac(R) af submonoiden Prin(R) mening. Generelt er denne faktor kun en monoid. Det er let at se, at den fraktionelle idealklasse I i Frac(R)/Prin(R) er inverterbar, hvis og kun hvis I selv er inverterbar.

Nu bliver betydningen af den tredje definition af en Dedekind-ring klar: I en Dedekind-ring - og kun i en Dedekind-ring - er hvert brøksideal invertibelt. Dedekind-ringe er således den klasse af ringe, for hvilken Frac(R)/Prin(R) er en gruppe kaldet den ideelle klassegruppe Cl(R) i ringen R . Cl(R) er trivielt, hvis og kun hvis R er et principielt ideelt domæne.

En af de grundlæggende teoremer i algebraisk talteori siger, at den ideelle klassegruppe i ringen af heltal i et talfelt er endelig.

Endeligt genererede moduler over Dedekind ringe

Når man husker på eksistensen af en ekstremt nyttig struktursætning for endeligt genererede moduler over domæner af principielle idealer , er det naturligt at finde ud af, om det kan udvides til tilfældet med Dedekind-ringe.

Husk formuleringen af struktursætningen for et modul over et domæne af principielle idealer. Vi definerer et torsionsundermodul som et sæt af elementer i ringen , således at for nogle ikke-nul af . Derefter: $M$ $T$ $m$ $M$ $rm=0$ $r$ $R$

(1) kan dekomponeres i en direkte sum af cykliske torsionsmoduler, som hver har form for et eller andet ideal, der ikke er nul , for ringen . Ifølge den kinesiske restsætning kan hver opdeles i en direkte sum af moduler af formen , hvor er graden af et primært ideal. Den resulterende udvidelse af modulet er unik op til rækkefølgen af faktorerne. $T$ $R/I$ $jeg$ $R$ $R/I$ ${\displaystyle R/P^{i))$ ${\displaystyle P^{i))$ $T$

(2) Der er et komplementært undermodul til modulet, således at . $P$ $M$ $M=T\oplus P$

(3) er isomorf for et entydigt bestemt ikke-negativt heltal . Især er det et endeligt genereret gratis modul. $P$ $R^{n}$ $n$ $P$

Lad nu være et endeligt genereret modul over en Dedekind-ring. Udsagn (1) og (2) forbliver også sande for ham. Det følger dog af (3), at ethvert endeligt genereret torsionsfrit modul er gratis . Især følger det heraf, at alle fraktionsidealer er principielle. Med andre ord modsiger ikke-trivialiteten af den ideelle klassegruppe Cl [ R ] (3). Det viser sig, at antallet af "yderligere" endeligt genererede torsionsfrie moduler kan styres ved at kende den ideelle klassegruppe. For et vilkårligt endeligt genereret modul over en Dedekind-ring er sætningen $M$

(3') er isomorf til den direkte sum af projektive moduler af rang 1: . Desuden for alle projektive moduler af rang 1 $P$ ${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r))$ ${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s))$

{\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s))

udføres hvis og kun hvis

r=s

I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.

Projektive moduler af rang 1 er identificeret med brøkidealer, så den sidste betingelse kan omformuleres som

[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).

Derfor kan et endeligt genereret torsionsfrit rangmodul skrives som , hvor er et projektivt modul af rang 1. Steinitz-klassen af et modul P over R er en ideel klasse i gruppen Cl(R), den er entydigt defineret [ 1] . Derfor $n>0$ $R^{n-1}\oplus I$ $jeg$ $[I]$ $jeg$

Sætning. Lad R være en Dedekind-ring. Så , hvor K 0 ( R ) er Grothendieck-gruppen af en kommutativ monoid af endeligt genererede projektive R -moduler. $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$

Disse resultater blev etableret af Ernst Steinitz i 1912.

Noter

↑ Fröhlich & Taylor (1991) s.95

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - M: Mir, 1972
Bourbaki N. Kommutativ algebra. - M: Mir, 1971
Zarissky O., Samuel P. Commutative Algebra bind 1-2. - M: IL, 1963
Claborn, Luther (1965), Dedekind domæner og ringe af kvotienter , Pacific J. Math. T. 15: 59–64 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102995991 > Arkiveret 7. juni 2011 på Wayback Machine
Claborn, Luther (1966), Hver abelsk gruppe er en klassegruppe , Pacific J. Math. T. 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pjm/1102994263 > Arkiveret 7. juni 2011 på Wayback Machine
Clark, Pete L. (2009), Elliptic Dedekind domains revisited , L'Enseignement Mathematique vol . 55: 213–225 , < http://math.uga.edu/~pete/ellipticded.pdf > Arkiveret 16. maj 2018 på Wayback maskine
Fröhlich, A. & Taylor, MJ (1991), II. Dedekind domæner, Algebraisk talteori , vol. 27, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press , s. 35-101, ISBN 0-521-36664-X
Leedham-Green, C.R. (1972), The class group of Dedekind domains , Trans. amer. Matematik. soc. T. 163: 493-500 , DOI 10.2307/1995734
Rosen, Michael (1976), Elliptic curves and Dedekind domains , Proc. amer. Matematik. soc. T. 57 (2): 197-201 , DOI 10.2307/2041187
Steinitz, E. (1912), Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern , Math. Ann. V. 71 (3): 328–354 , DOI 10.1007/BF01456849