Fuld kategori

En kategori kaldes lille komplet , hvis et lille diagram i den har en grænse . Det dobbelte koncept er en lille cocomplete kategori, det vil sige en, hvor ethvert lille diagram har en colimit . Endelig fuldstændighed og generelt α-fuldstændighed defineres på samme måde for enhver almindelig kardinal α. Af dem alle er den mest brugte fuldstændighed i de små, derfor kaldes kategorier, der er fuldstændige i de små, simpelthen komplet . Eksistensen af grænser generelt for alle (ikke nødvendigvis små) diagrammer viser sig at være en for stærk betingelse, da en sådan kategori nødvendigvis ville være en forudbestilling , og der ville være højst én morfisme mellem to af dens objekter.

En kategori, der er både komplet og cocomplete, kaldes bicomplete .

En svagere egenskab ved en kategori er endelig fuldstændighed. En kategori siges at være endeligt komplet, hvis alle endelige grænser findes i den (det vil sige grænserne for alle diagrammer indekseret af et endeligt sæt). Endeligt cocomplete kategorier defineres på samme måde.

Eksempler

Følgende kategorier er bi-fuld:
- sæt kategori ; ${\mathcal {S}}et$
- gruppekategori ; ${\mathcal {G}}rp$
- ring kategori ; ${\mathcal {R}}ing$
- kategorien af abelske grupper ; ${\mathcal {A}}b$
- kategorien af topologiske rum ; ${\mathcal {T}}op$
- kategorien af kompakte Hausdorff-rum ; ${\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}$
- kategori af små kategorier ; ${\mathcal {C}}at$
Følgende kategorier er selvfølgelig bikomplet, men ikke komplet eller cokomplet:
- kategori af endelige mængder ; $f{S}et$
- kategorien af endelig-dimensionelle vektorrum over feltet ; $K$ $fd-{\mathcal {V}}ect_{K}$
- kategori af endelige grupper ; $f{\mathcal {G}}rp$
Generelt, hvis er en kategori af modeller af en eller anden algebraisk teori , så er den komplet og cokomplet, da den er reflekterende i . Husk på, at algebraisk teori kun tillader betingelser for operationer, der er identiteter (ingen kvantifikatorer!). Lad os sige, at kategorien af felter ikke er en kategori af modeller for algebraisk teori, så den tidligere erklæring gælder ikke for den. Det er ikke komplet eller komplet. $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathcal{T}$ $\mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)$
( limit theorem with a parameter ) Hvis en kategori er komplet (cocomplete), så er kategorien komplet (cocomplete) for enhver kategori , og grænserne beregnes punktvis. ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Func} ({\mathcal {A}),{\mathcal {C)))$ $\mathcal{A}$
Enhver Abelsk kategori er endeligt komplet og helt sikkert cokomplet.
En forudbestilling er fuldført, hvis den har et største element, og ethvert sæt af elementer har en mindst øvre grænse . På samme måde er det copolon, hvis det har et mindste element, og ethvert sæt af elementer har mindst bundet.
Kategorien af metriske rum Met er endeligt komplet, men den er ikke komplet og har ikke engang endelige biprodukter.

Egenskaber

Der er et teorem om, at en kategori er komplet, hvis og kun hvis alle equalizere og små produkter findes i den . Derfor er en kategori komplet, hvis den indeholder alle co-equalizere og små biprodukter.

Den fulde kategori kan naturligvis også karakteriseres på flere måder. Følgende udsagn er nemlig ækvivalente:

C er helt sikkert fuld,
C har alle equalizere og endelige produkter,
C har alle equalizere, binære produkter og et terminalobjekt .
C har alle kartesiske firkanter og et terminalobjekt.

De dobbelte udsagn er også ækvivalente.

En lille kategori er kun komplet i den lille, hvis det er en forudbestilling. Det samme gælder for kategorien cocomplete; desuden, for en lille kategori, er fuldstændighed og fuldstændighed ækvivalente i den lille. [en]

Hvis en kategori er komplet i en lille kategori, så for enhver lille kategori har enhver funktor en ret Kahn-udvidelse i forhold til enhver funktor , og enhver sådan Kahn-udvidelse er punktvis. Påstanden følger klart af repræsentationen af den punktvise Kahn-udvidelse som en grænse. $C$ $EN$ $F\colon A\to C$ $\mathrm {Ran} _{K}F$ $K\colon A\to B$

Noter

↑ Abstrakte og konkrete kategorier, Jiří Adámek, Horst Herrlich og George E. Strecker, sætning 12.7, side 213

Litteratur

S. McLane Kategorier for en arbejdende matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .
R. Goldblatt Topoi. Kategorisk analyse af logik, - M. : Mir, 1983. - 487 s.
F. Borceux. Håndbog i Kategorisk Algebra 1. Grundlæggende Kategoriteori. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 s. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Horst Herrlich og George E. Strecker. Abstrakte og konkrete kategorier (neopr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .