Analytisk geometri

Analytisk geometri  er en gren af ​​geometrien , hvor geometriske figurer og deres egenskaber studeres ved hjælp af algebra .

Denne metode er baseret på den såkaldte koordinatmetode , første gang anvendt af Descartes i 1637. Denne metode forbinder hvert geometrisk forhold med en ligning , der relaterer koordinaterne til en figur eller krop. Denne metode til "algebraisering" af geometriske egenskaber har bevist sin universalitet og er frugtbart brugt i mange naturvidenskaber og teknik [1] . I matematik er analytisk geometri også grundlaget for andre grene af geometri - for eksempel differential , algebraisk , kombinatorisk og beregningsmæssig geometri .

Historisk baggrund

Ideen om koordinater og ligningen af ​​en kurve var ikke fremmed for de gamle grækere . Archimedes , og især Apollonius af Perga , citerede i deres skrifter de såkaldte symptomer på keglesnit, som i nogle tilfælde falder sammen med vores ligninger. Denne idé blev dog ikke videreudviklet på det tidspunkt på grund af det lave niveau af oldgræsk algebra og ringe interesse for andre kurver end en lige linje og en cirkel.

Så i Europa brugte Nikolai Orezmsky (XIV århundrede) et koordinatbillede (til en tidsafhængig funktion ), som kaldte koordinaterne, analogt med geografiske, længde- og breddegrad. På dette tidspunkt eksisterede et udviklet koncept af koordinater allerede inden for astronomi og geografi . Det afgørende skridt blev taget, efter at Viet ( 1500-tallet ) konstruerede et symbolsprog til at skrive ligninger og lagde grundlaget for systemisk (symbolsk) algebra.

Omkring 1637 cirkulerede Fermat gennem Mersenne memoirerne " Introduction to the Study of Plane and Solid Places ", hvor han skrev (i Vieta-symbolik) ligningerne for forskellige 2. ordens kurver i rektangulære koordinater . For at forenkle formen af ​​ligningerne gjorde han udstrakt brug af koordinattransformationer . Fermat viste tydeligt, hvor meget den nye tilgang er enklere og mere frugtbar end den rent geometriske. Men Fermats erindringer var ikke almindeligt kendt. Meget mere indflydelsesrig var Descartes' Geometri [ 2] [3] , udgivet i samme år 1637, som selvstændigt og meget mere fuldt udviklede de samme ideer.

Descartes inkluderede en bredere klasse af kurver i geometri, inklusive "mekaniske" ( transcendentale , ligesom spiraler ), og proklamerede, at hver kurve har en definerende ligning. Han konstruerede sådanne ligninger for algebraiske kurver og udførte deres klassificering (senere grundigt lavet om af Newton ). Descartes understregede, selv om han ikke beviste, at de grundlæggende karakteristika ved en kurve er uafhængige af valget af koordinatsystem .

Descartes' koordinatsystem var inverteret i forhold til det moderne (y-aksen er vandret), og negative koordinater blev ikke taget i betragtning. Begreberne " abscisse " og " ordinat " mødtes lejlighedsvis med forskellige forfattere, selvom de først blev introduceret i bred brug af Leibniz i slutningen af ​​det 17. århundrede, sammen med udtrykket " koordinater ". Navnet " Analytisk geometri " blev etableret i slutningen af ​​det 18. århundrede.

Descartes placerede mange eksempler i geometrien, der illustrerer den nye metodes store kraft, og opnåede mange resultater, der var ukendte for de gamle. Han nævnte også mulige rumlige anvendelser, men denne idé blev ikke udviklet af ham.

Descartes' analytiske metode blev straks vedtaget af van Schouten , Wallis og mange andre fremtrædende matematikere. De kommenterede og supplerede ideerne om " Geometri ", korrigerede dens mangler, anvendte den nye metode i andre problemer. For eksempel betragtede Wallis først keglesnit som plane kurver (1655), og i modsætning til Descartes brugte han allerede negative abscisser og skrå koordinater.

Newton stolede ikke kun på koordinatmetoden i sit arbejde med analyse, men fortsatte også de geometriske undersøgelser af Descartes. Han klassificerede kurver af 3. orden og fremhævede 4 typer og 58 typer; senere tilføjede han yderligere 14. Disse resultater blev opnået omkring 1668, udgivet med hans Optik i 1704. Newtons koordinatsystem er ikke anderledes end det moderne. For hver kurve bestemmes diameter , symmetriakse , toppunkter, centrum, asymptoter , entalspunkter osv.

I sine Elementer forsøgte Newton at bevise alt på de gamles måde, uden koordinater og infinitesimals; der er dog stadig flere anvendelser af nye metoder. Analytisk geometri spiller en meget større rolle i hans " Generelle Aritmetik ", selvom Newton der i de fleste tilfælde ikke anså det for nødvendigt at fremlægge beviser, hvilket gav en hel hær af kommentatorer arbejde i mange år.

I første halvdel af det 18. århundrede fortsatte undersøgelsen af ​​algebraiske kurver af højere orden i hovedsagen; Stirling opdagede 4 nye typer, som Newton ikke havde lagt mærke til. Særlige punkter blev identificeret og klassificeret .

Clairaut i 1729 præsenterede for Paris Academy "Studier on curves of double curvature". Denne bog startede i det væsentlige tre geometriske discipliner: analytisk geometri i rummet, differentialgeometri og beskrivende geometri .

En generel og meget informativ teori om kurver og overflader (hovedsageligt algebraisk) blev foreslået af Euler . I sin " Introduktion til analyse af infinitesimals " (1748) gav han en klassificering af kurver af 4. orden og viste, hvordan man bestemmer krumningsradius . Hvor det var praktisk, brugte han skrå eller polære koordinater . Et separat kapitel er viet til ikke-algebraiske kurver.

I anden halvdel af det 18. århundrede erobrede analytisk geometri, efter at have modtaget kraftig støtte fra moden analyse, nye højder ( Lagrange , Monge ), men betragtes allerede som et apparat til differentialgeometri .

Sektioner

De vigtigste sektioner af analytisk geometri (ifølge N. V. Efimovs bog).

• Koordinatsystemer
  • Rektangulært koordinatsystem
  • Polar koordinatsystem
  • Koordinere transformation
• Elementer i lineær algebra
  • Lineære operationer på vektorer
  • Produkter af vektorer
  • Matricer og operationer på dem
  • Determinanter
  • Invers Matrix og Matrix Rank
  • Systemer af lineære algebraiske ligninger
• Kurver af første orden
  • Lige linje på et fly
  • Linje og plan i rummet
• Kurver af anden orden
  • Cirkel
  • keglesnit
• Spiralformet
• Rumlige legemer
  • Overflader af anden orden
  • Cylinder
  • Kugle
  • Kegle
  • Bold

Se også

• Algebraisk geometri
• Differential geometri
• Lineær algebra
• Vektorregning

Noter

1. ↑ Pogorelov A.V., 1968 , s. 7.
2. ↑ Stillwell, John. Analytisk geometri // Matematik og dens historie. - Anden version. - Springer Science + Business Media Inc., 2004. - S. 105. - ISBN 0-387-95336-1 . . — "de to grundlæggere af analytisk geometri, Fermat og Descartes, var begge stærkt påvirket af denne udvikling."
3. ↑ Cooke, Roger. The Calculus // Matematikkens historie: Et kort kursus  (engelsk) . - Wiley-Interscience , 1997. - S.  326 . — ISBN 0-471-18082-3 . . - "Den person, der populært bliver krediteret for at være opdageren af ​​analytisk geometri, var filosoffen René Descartes (1596-1650), en af ​​de mest indflydelsesrige tænkere i den moderne æra."

Litteratur

• Bortakovskiy A.S., Panteleev A.V. Analytisk geometri i eksempler og problemer: Proc. godtgørelse. - M .: Højere. skole, 2005. - 496 s. (Serie "Anvendt matematik").
• Veselov A. P., Troitsky E. V. Forelæsninger om analytisk geometri . - Sankt Petersborg. : Lan, 2003. - 160 s.
• Delaunay B. N. , Raikov D. A. Analytisk geometri, i to bind. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
• Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 s.
• Matematikkens historie, redigeret af A. P. Yushkevich i tre bind.
  • Matematikkens historie. Fra oldtiden til begyndelsen af ​​den nye tidsalder // Mathematics History / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
  • Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
  • Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
• Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Analytisk geometri. - M . : Forlag af MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 s. — ISBN 5-7038-1671-8 .
• Mordukhai-Boltovskoy D.D. Fra analytisk geometris fortid // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science Acad. Sciences of the USSR, 1952, bind 4, s. 217-235.
• Pogorelov A. V. Analytisk geometri. - 3. udg. - M . : Nauka, 1968. - 176 s.
• Umnov A. E. Analytisk geometri og lineær algebra (pdf) — 544 s. ISBN 978-5-7417-0378-6 (på forfatterens portal)

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer jorden rundt Britannica (online) Moderne Ukraine
I bibliografiske kataloger BNF : 11938440r GND : 4001867-2 J9U : 987007563082805171 LCCN : sh85054141 LNB : 000082628 NDL : 00564622 NKC : ph114037