Koordinere transformation

Koordinattransformation er erstatningen af et koordinatsystem på et plan, i rummet eller i det mest generelle tilfælde på en given dimensionel manifold . $n$

Et eksempel på overgangen fra polære koordinater til kartesiske i det euklidiske plan : ${\displaystyle \{r,\varphi \))$ $\{x,y\}$

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases))

Oftest udføres koordinattransformation for at flytte til en enklere eller mere bekvem matematisk model til analyse . For eksempel er ligningerne for nogle plane kurver i polære koordinater meget enklere end i kartesiske, og for at studere aksesymmetriske legemer er det praktisk at rette en af koordinatakserne langs symmetriaksen.

Definition

Koordinattransformation er et sæt regler [1] , der forbinder hvert sæt koordinater på en eller anden dimensionel manifold med et andet sæt koordinater : $\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}$ $n$ $\{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}$

{\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2} '(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\\dots \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\dots x_ {n})\end{cases}}

I dette tilfælde, efter transformationen, skal en en-til-en-korrespondance mellem manifoldens punkter og sæt af koordinater bevares (undtagelser er tilladt for nogle entalspunkter).

Denne transformation kan fortolkes på to måder [2] .

Passivt synspunkt - der er en ændring i koordinaterne for manifoldens punkter. Alle point forbliver på deres pladser.
Aktivt synspunkt - transformationen tildeler hvert punkt i manifolden et andet punkt. Koordinatsystemet ændres ikke.

Eksempel på det euklidiske plan :

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases))

Denne transformation kan fortolkes på en af to måder.

Koordinatsystemændring, der øger abscissen af alle punkter med 1.
Oversæt alle punkter i planet med 1 parallelt med aksen $x.$

For en oversigt over de grundlæggende transformationsformler for koordinatsystemer af praktisk betydning, se artiklen Koordinatsystem .

Klassifikation

Alt efter formlertypen kan alle koordinattransformationer grupperes i forskellige klasser med almindelige typiske egenskaber. Det følgende er nogle praktisk vigtige klasser af transformationer, der kan kombineres med hinanden.

Isometri - transformationer, der bevarer alle længder. Inklusive:
- Rotation omkring et punkt eller en akse.
- Parallel overførsel .
- Refleksion . Kombinationen af disse tre typer kaldes bevægelse .
En konform kortlægning , der bevarer alle vinkler. Inklusive:
- Lighed - vinkler bevares, men alle længder ganges med et eller andet konstant stræk/kompressionsforhold.
Affin transformation .

Normalt er en fornem klasse en gruppe af transformationer i betydningen generel algebra , dvs. sammensætningen af to transformationer tilhører den samme klasse, og for hver transformation er der en invers. Studiet af denne gruppe gør det muligt at udskille symmetrier og invarianter af transformationer.

Invarianter

En invariant af denne koordinattransformation er en funktion af koordinater, hvis værdier ikke ændres efter transformationen [3] . For eksempel ændrer rotationer og translationer ikke afstanden mellem punkter i det euklidiske rum. Invarianter er et vigtigt kendetegn ved en transformationsgruppe.

Se også

Litteratur

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved højere uddannelsesinstitutioner. - udg. 13. — M .: Nauka, 1986. — 544 s.
Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Yaglom I. M. Geometriske transformationer. Bind 1, 2. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 s.

Noter

↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 362..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 363..