Kombinatorisk geometri

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. juni 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Kombinatorisk eller diskret geometri er en gren af geometri , der studerer de kombinatoriske egenskaber af geometriske objekter og relaterede konstruktioner. I kombinatorisk geometri betragter de endelige og uendelige diskrete sæt eller strukturer af grundlæggende geometriske objekter af samme type ( punkter , linjer , cirkler , polygoner , kroppe med samme diameter , heltalsgitter osv.) og rejser spørgsmål relateret til egenskaberne ved forskellige geometriske strukturer fra disse objekter eller på disse strukturer. Problemerne med kombinatorisk geometri spænder fra specifikke "objekt"-kombinatoriske spørgsmål (dog ikke altid med enkle svar) - tesselleringer , pakning af cirkler på et plan , Picks formel - til generelle og dybe spørgsmål, såsom Borsuk-formodningen , Nelson- Erdős-Hadwiger problem .

Historie

Selvom polyedre , flisebelægninger og pakninger af kugler blev studeret af Kepler og Cauchy , begyndte moderne kombinatorisk geometri at tage form i slutningen af det 19. århundrede. Nogle af de første problemer var: pakningstæthed af cirkler af Axel Thue , projektiv konfiguration Steinitz , geometri af Minkowski- tal og problemet med fire farver af Francis Guthrie .

Eksempler på problemer

De følgende eksempler giver en idé om rækken af problemer i kombinatorisk geometri.

Vitalis dækkende lemma er et kombinatorisk geometrisk resultat. Udbredt i målteori.

Problemet med mulige og mest tætte pakninger af cirkler på et fly og bolde i rummet . De tætteste pakninger af cirkler og kugler virker indlysende. Men et fuldstændigt matematisk bevis for cirkler blev først opnået i 1940 [1] . For bolde dukkede et computerbevis for Keplers formodning op 400 år senere i 1998 i matematikeren Thomas Hales ' arbejde

Erdős-Szekeres sætning om konvekse polygoner siger, at i ethvert tilstrækkeligt stort sæt af punkter i en generel position på planet, kan man finde punkter, der er hjørner af en konveks polygon. Erdős-Szekeres formodning om det mindste antal punkter, der nødvendigvis indeholder en konveks -gon, er ikke blevet bevist til dato. Dette problem er også et problem i Ramsey-teorien . $n$ $n$

Minkowskis konvekse kropssætning . Lade være en lukket konveks krop , symmetrisk med hensyn til oprindelsen af koordinater -dimensionelle euklidiske rum, der har volumen . Så er der et heltalspunkt forskelligt fra . Denne sætning markerede begyndelsen af tallenes geometri . $S$ $O$ $n$ $\geq 2^{n}$ $S$ $O$

Borsuks formodning siger, at ethvert legeme med diameter i det dimensionelle euklidiske rum kan opdeles i dele, således at diameteren af hver del er mindre end . Denne formodning blev bevist for dimensioner og , men tilbagevist for rum af høj dimension. Ifølge det skøn, der kendes i dag, er det forkert for rum med dimension 64 og mere [2] . $d$ $n$ $n+1$ $d$ $2$ $3$

Danzer-Grunbaum- problemet er at finde et begrænset sæt af så mange punkter i et flerdimensionelt rum som muligt, mellem hvilke der kun kan konstrueres spidse vinkler.

Se også

Noter

↑ Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing, arΧiv : 1009.4322v1 [math.MG].
↑ Thomas Jenrich, Et 64-dimensionelt to-distance modeksempel til Borsuks formodning Arkiveret 26. december 2018 på Wayback Machine

Links

Bezdek, Andras; Kuperberg, W. Diskret geometri: til ære for W. Kuperbergs 60 års fødselsdag (engelsk) . — New York, NY: Marcel Dekker, 2003. - ISBN 0-8247-0968-3 .
Bezdek, Karoly. Klassiske emner i diskret geometri (ubestemt) . — New York, NY: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4 .
Messing, Peter; Moser, William; Pach, JanosForskningsproblemer i diskret geometri (ubestemt) . - Berlin: Springer, 2005. - ISBN 0-387-23815-8 .
Pach, Janos; Agarwal, Pankaj K. Kombinatorisk geometri (ubestemt) . — New York: Wiley-Interscience , 1995. — ISBN 0-471-58890-3 .
Goodman, Jacob E. og O'Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, anden udgave . - Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. - ISBN 1-58488-301-4 .
Gruber, Peter M. Konveks og diskret geometri. - Berlin: Springer, 2007. - ISBN 3-540-71132-5 .
Matousek, Jiri. Forelæsninger om diskret geometri. - Berlin: Springer, 2002. - ISBN 0-387-95374-4 .
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Udflugter i kombinatorisk geometri (neopr.) . - Springer, 1997. - ISBN 3-540-61341-2 .

I bibliografiske kataloger	GND : 4130271-0 J9U : 987007539732105171 LCCN : sh2002004432 NKC : ph187935