Nedbrydningsfelt

Nedbrydningsfeltet af et polynomium p over et felt er den mindste forlængelse af feltet, over hvilket det nedbrydes til et produkt af lineære faktorer: $K$ $L$ $K,$ $s$

p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),

hvor

x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.

I dette tilfælde, det vil sige, er dette det maksimalt mulige felt, hvor alle elementer kan dannes ved at addere og gange feltelementer og tal både med hinanden og med hinanden. Derfor omtales nedbrydningsfeltet som en forlængelse opnået ved at lægge til alle rødderne af et givet polynomium. $L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),$ $K$ $x_1,\prikker,x_n$ $L$ $K$

På samme måde introducerer vi begrebet et nedbrydningsfelt for en familie af polynomier , en forlængelse L , således at hver pi dekomponerer i L [ x ] i lineære faktorer og L genereres over K med alle rødder pi . Nedbrydningsfeltet for et endeligt sæt polynomier p 1 , p 2 , …, p n vil naturligvis være dekomponeringsfeltet for deres produkt p=p 1 p 2 …p n . $p_{i}(x),i\in I$

Udvidelsesfeltet er en normal udvidelse . Desuden kan hver normal forlængelse repræsenteres som et nedbrydningsfelt af en eller anden familie af polynomier.

Egenskaber

Nedbrydningsfeltet for en endelig familie af polynomier er en endelig algebraisk forlængelse af feltet . $K$
Nedbrydningsfeltet for et polynomium eksisterer for enhver familie af polynomium pi og er unikt defineret op til en isomorfi , der er identisk på K .

Eksempler

Hvis graden af polynomiet ikke overstiger , så . $s$ $en$ $L=K$
Feltet med komplekse tal $\mathbb {C}$ tjener som ekspansionsfeltet for et polynomium over feltet af reelle tal . $x^{2}+1$ $\mathbb {R}$
Ethvert endeligt felt , hvor , er ekspansionsfeltet af et polynomium over et simpelt underfelt . $GF(q)$ $q=p^{n}$ $x^{q}-x$ $GF(p)\subset GF(q)$

Litteratur

Van der Waerden B.L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967