Noetherske rum

Et Noetherisk rum (opkaldt efter Emmy Noether ) er et topologisk rum X , der opfylder betingelsen om terminering af nedadgående kæder af lukkede delmængder [1] [2] . Det vil sige for hver sekvens af lukkede delmængder af rummet X , således at: $Y_i$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

der er et heltal r sådan, at $Y_s = Y_r ~ \forall s>r.$

Denne betingelse svarer til, at hver delmængde er kompakt . $x$

Tilsvarende definitioner

Et topologisk rum kaldes Noetherian, hvis et af følgende ækvivalente udsagn gælder: $x$

$x$ opfylder termineringsbetingelsen for faldende kæder af lukkede delmængder [1] [2] ;
$x$ opfylder betingelsen om at bryde stigende kæder af åbne delmængder [3] ;
hver ikke-tom familie af lukkede delmængder i , sorteret efter inklusion, har et minimumselement [1] [3] ; $x$
hver ikke-tom familie af åbne delmængder i , sorteret efter inklusion, har et maksimumelement [3] ; $x$
hver delmængde er kompakt ( med underrumstopologien ) ; $x$
hver åben undergruppe er kompakt [1] . $x$

Egenskaber

Et Hausdorff-rum er Noethersk, hvis og kun hvis det er endeligt (og samtidig vil det være diskret ) [3] .
Hvert underrum i et Noether-rum er igen et Noether-rum [1] [3] .
Hvis et rum kan dækkes af et begrænset antal noetherske underrum, så er det i sig selv noethersk [1] . $x$ $x$
Et noetherisk rum kan repræsenteres som en forening af et endeligt antal af dets irreducible komponenter [1] [2] . $x$

Eksempler

Noetherske rum forekommer ofte i algebraisk geometri .

Et rum ( et affint n-dimensionelt rum over et felt k ) med Zariski-topologien er et topologisk Noether-rum [2] . Ifølge definitionen af Zariski-topologien i hvis: $\mathbb {A} ^ n_k$ $\mathbb {A} ^ n_k$

Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq Y_3 \supseteq \cdots

er en faldende sekvens af lukkede sæt, så:

I (Y_1) \subseteq I (Y_2) \subseteq I (Y_3) \subseteq \cdots

er en stigende sekvens af idealer ( betegner idealet om polynomielle funktioner, der forsvinder ved hvert punkt ). Da det er en Noether-ring, er der et heltal , således at: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $I (Y_i)$ $(Y_i)$ $k[x_1, \ldots, x_n]$ $m$

I (Y_m) = I (Y_ {m + 1}) = I (Y_ {m + 2}) \cdots.

I betragtning af en-til-en-korrespondancen mellem radikale idealer og lukkede (i Zariski-topologien) sæt , gælder det for alle i . Derfor: $k[x_1, \ldots, x_n]$ $\mathbb {A} ^ n_k$ $V(I(Y_i)) = Y_i$ $Y_m = Y_{m +1} = Y_{m + 2} = \cdots$

Eksempler på Noetheriske rum er spektrene af kommutative ringe. Hvis er en Noether-ring , så er rummet (spektrum ) Noethersk [1] . $R$ $\operatørnavn{Spec}(R)$ $R$

Se også

noetherianitet

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Kuzmin, 1982 .
↑ 1 2 3 4 Hartshorne, 1981 , s. 21.
↑ 1 2 3 4 5 Hartshorne, 1981 , s. 25.

Litteratur

Kuzmin L. V. . Möbius-serien // Mathematical Encyclopedia. bind 3 / kap. udg. I. M. Vinogradov . - M. : Sov. encyklopædi , 1982. - 1184 stb. - Stb. 1028.
Hartshorne R. . Algebraisk geometri. — M .: Mir , 1981. — 597 s.