Naturlig transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

I kategoriteori giver en naturlig transformation en måde at oversætte en funktion til en anden, samtidig med at den interne struktur bevares (såsom sammensætninger af morfismer). Derfor kan en naturlig transformation forstås som en "morfisme af funktorer". Denne intuition kan formaliseres strengt i definitionen af kategorien af funktioner . Naturlige transformationer er den mest grundlæggende definition i kategoriteori, sammen med funktioner, fordi den optræder i de fleste af dens applikationer.

Definition

Lad og være kovariante funktorer fra kategorien til . Derefter tildeler den naturlige transformation hvert objekt i kategorien en morfisme i kategorien kaldet en komponent i , så for enhver morfisme er diagrammet vist i figuren nedenfor kommutativt. I tilfælde af kontravariante funktorer er definitionen nøjagtig den samme (vi behøver kun at vende de vandrette pile, da de er vendt om af den kontravariante morfisme). $F$ $G$ $C$ $D$ $x$ $C$ $\eta_X\kolon F(X) \til G(X)$ $D$ $\eta$ $x$ $f\kolon X\til Y$ $C$ $D$

Hvis η er en naturlig transformation af en funktion F til en funktion G , skriver vi η: F → G. Det siges også, at familien af morfismer η X : F ( X ) → G ( X ) er naturlig i X.

Hvis morfismen η af X for hvert X i C er en isomorfi i D , så kaldes η en naturlig isomorfi (eller nogle gange en naturlig ækvivalens eller funktionsisomorfi ).

En infranaturlig transformation η fra F til G er simpelthen en familie af morfismer η X : F ( X ) → G ( X ). Naturalisereren af η, nat(η), er den største underkategori af C , der indeholder de objekter af C , i den begrænsning, hvortil η er en naturlig transformation.

Hvis η : F → G og ε : G → H er naturlige transformationer, kan vi tage deres sammensætning og opnå en naturlig transformation εη : F → H . Dette gøres komponent for komponent: (εη) X = ε X η X . Denne operation er associativ og har en enhed, som gør det muligt at danne kategorien af funktioner .

Eksempler

Et eksempel på en naturlig transformation

Et eksempel på en naturlig transformation er determinanten . Faktisk, lad være en kommutativ ring , så kvadratiske matricer af orden over danner en monoid med hensyn til multiplikation, og være en multiplikativ monoid af selve ringen . Lad være en funktion, der tager en ring ind i en monoid af matricer over den. Da determinanten udtrykkes i form af multiplikation, addition og subtraktion, som er bevaret af ringens morfismer (hvilket betyder, at morfismen og disse operationer pendler), vil kortlægningen være en naturlig transformation mellem en funktor og en funktor, der tildeler hver ring er identisk med sin multiplikative monoid (begge funktioner fra kategorien af kommutative ringe til kategorien af monoider ). $R$ $n$ $R$ $R'$ $R$ $\mathbf{Mat}_n(R)$ $R$ $R$ $\mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R))$ $\mathbf{Mat}_n(R)$ $R$ $\mathbf{CRing}$ $\mathbf{man}$

Et eksempel på en "unaturlig" transformation

Lad os give et eksempel på en transformation, der ikke er naturlig. Lad være et n - dimensionelt vektorrum over feltet . er dens grundlag, er grundlaget for det dobbelte rum af funktionaler , sådan at $V$ $\mathbb {F}$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $e^1,e^2,\prikker,e^n$ $D(V)$

e^i(e_j) = \delta^i_j

hvor er Kronecker-symbolet . Alle n -dimensionelle rum er isomorfe. Lad os sætte $\delta^i_j$

k(e_i)=e^i

og strække sig lineært til hele rummet . kortlægger den identiske (naturligvis kovariante) funktor til en kontravariant funktor , der kortlægger vektorrummet til det dobbelte rum af funktionaler. Hvis vi tager kategorien endelig-dimensionelle vektorrum, hvor morfismer er isomorfismer (og ikke nogen lineære afbildninger), så kan vi erstatte den kontravariante funktor med en kovariant funktor (hvor , ). Transformationen vil ikke være naturlig selv i det simpleste tilfælde af et endimensionelt rum over feltet af reelle tal. Lad V være endimensionel og isomorfien være en multiplikation med 2: $k$ $V$ $k$ $jeg$ $D$ $f$ $D$ $D'$ $D'(V) = D(V)$ $D'(f) = D(f^{-1})$ $k\kolon V \til D(V)$ $f\kolon V\til V$

f(e_1) = 2 e_1

Så , mens , dvs. diagrammet er ikke -kommutativt. $D'(f)(k(e_{1}))={1 \over 2}e^{1}$ $k(f(e_1)) = 2 e^1$

Årsagen til dette er ret klar - det er bestemt af et helt tilfældigt valgt grundlag. Hvis vi tager det andet dobbelte rum , så er der i tilfælde af et finitdimensionelt rum en isomorfisme (nemlig for enhver og funktionel ). I dette tilfælde definerer isomorfisme en naturlig transformation af identitetsfunktøren til en funktionor . $k$ $D(D(V))$ $h\kolon V \til D(D(V))$ $h(x)(f) = f(x)$ $x\i V$ $f\in D(V)$ $h$ $jeg$ $D^{2}$

Polymorfe funktioner

Et andet vigtigt eksempel på naturlige transformationer er polymorfe funktioner (hvilket betyder parametrisk polymorfi ). Et eksempel på en sådan konvertering er det omvendte :: for alle en funktion. [a] -> [a] , som vender en liste over elementer af en vilkårlig type om. I dette tilfælde er h(T) omvendt T :: [T] -> [T]; og funktionerne F og G er Liste.

Dette faktum kan formuleres som følger: forall f :: a -> b : map f . omvendt a = omvendt b . kort f . Dette er en af de såkaldte "frie teoremer".

Naturligheden af alle parametrisk polymorfe funktioner er en konsekvens af Reynolds sætning .

Litteratur

Dold A. Forelæsninger om algebraisk topologi - M. : Mir, 1976.
McLane S. Homology - M . : Mir, 1966.
McLane S. Kategorier for en arbejdende matematiker - M . : Fizmatlit, 2004.
Wadler, Philip - Teoremer gratis!