Firkantet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. juli 2022; kontroller kræver 74 redigeringer .

FIRKANGLER
┌─────────────┼──────────────┐
simpel ikke-konveks	konveks	selvskærende

En firkant er en geometrisk figur ( polygon ) bestående af fire punkter (hjørnepunkter), hvoraf ikke tre ligger på den samme rette linje, og fire segmenter (sider), der forbinder disse punkter i serie. Der er konvekse og ikke-konvekse firkanter; en ikke-konveks firkant kan være selvskærende (se fig.). En firkant uden selvskæringer kaldes simpel , ofte betyder udtrykket "firkant" kun simple firkanter [1] .

Typer af firkanter

Firkanter med parallelle modstående sider

En deltoideus er en firkant, hvis fire sider kan grupperes i to par lige tilstødende sider.
Et kvadrat er en firkant, hvor alle vinkler er rette, og alle sider er lige;
Et parallelogram er en firkant, hvis modsatte sider er lige store og parallelle i par ;
Rektangel - en firkant, hvor alle vinkler er rette;
En rombe er en firkant, hvor alle sider er lige store;
En rhomboid er et parallelogram , hvor tilstødende sider er af forskellig længde, og vinklerne ikke er rette.
Et trapez er en firkant med to modstående sider parallelle;

Firkanter med antiparallelle modsatte sider

Et antiparallelogram eller kontraparallelogram er en flad ikke-konveks (selvskærende) firkant , hvor hver to modstående sider er lig med hinanden, men ikke parallelle, i modsætning til et parallelogram .
Ligebenet trapez eller Ligebenet trapez .
En indskrevet firkant eller indskrevet firkant er en firkant, hvis toppunkter ligger på samme cirkel. Det er også en firkant med antiparallelle modsatte sider.

Firkanter med vinkelrette tilstødende sider

Firkanter med vinkelrette diagonaler

Deltoid
Firkant
En ortodiagonal eller ortodiagonal firkant er en firkant , hvor diagonalerne skærer hinanden i rette vinkler .
Rhombus

Firkanter med parallelle diagonaler

Antiparallelogram

Firkanter med lige modsatte sider

Antiparallelogram
Firkant
Parallelogram
Rektangel
Rhombus
Rhomboid
* Ligebenet trapez eller Ligebenet trapez .

du får ikke brug for det i fremtiden.

Firkanter med lige diagonaler

Firkant
En lige- eller ligediagonal firkant er en konveks firkant , hvis to diagonaler er lige lange.
Rektangel
Ligebenet trapez eller ligebenet trapez .

Firkanter indskrevet om en cirkel

En omskrevet eller omskrevet firkant er en konveks firkant, hvis sider tangerer en enkelt cirkel inde i firkanten.

Fuld quadripartite

Selvom et sådant navn kan være ækvivalent med en firkant, får det ofte yderligere betydning. De fire linjer, hvoraf ikke to er parallelle, og hvoraf ikke tre går gennem det samme punkt, kaldes en komplet firkant . En sådan konfiguration findes i nogle udsagn om euklidisk geometri (for eksempel Menelaus-sætningen , Newton-Gauss- linjen , Auber-linjen , Miquel-sætningen osv.), hvor alle linjer ofte er udskiftelige.

Summen af vinkler

Summen af vinklerne på en firkant uden selvskæringer er 360°.

\sum _{i=1}^{4}\alpha _{i}=(4-2)\cdot 180^{\circ }=2\cdot 180^{\circ }=360^{\ circ}

Metriske forhold

Den firkantede ulighed

Modulet af forskellen mellem to sider af en firkant overstiger ikke summen af de to andre sider.

\left|ab\right|\leq c+d

Tilsvarende: i enhver firkant (inklusive en degenereret) er summen af længderne af dens tre sider ikke mindre end længden af den fjerde side, det vil sige:

a\leq b+c+d

;

b\leq a+c+d

;

c\leq a+b+d

;

d\leq a+b+c

Lighed i den firsidede ulighed opnås kun, hvis den er degenereret , det vil sige, at alle fire hjørner ligger på samme linje.

Ptolemæus' ulighed

For siderne og diagonalerne af en konveks firkant gælder Ptolemæus' ulighed : $a,b,c,d$ $e,f$

|e|\cdot |f|\leq |a|\cdot |c|+|b|\cdot |d|,

desuden opnås lighed, hvis og kun hvis den konvekse firkant er indskrevet i en cirkel, eller dens toppunkter ligger på én ret linje.

Relationer mellem sider og diagonaler af en firkant

Seks afstande mellem fire vilkårlige punkter i flyet, taget i par, er relateret af relationen:

a^{2}c^{2}\venstre(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right )+b^{2}d^{2}\venstre(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2} \right)+

+e^{2}f^{2}\venstre(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\ højre)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}

Dette forhold kan repræsenteres som en determinant :

\left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2} &b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0

Denne determinant, op til en faktor på 288, er et udtryk for kvadratet af volumenet af et tetraeder i form af længderne af dets kanter ved hjælp af Cayley-Menger determinanten . Hvis hjørnerne af et tetraeder ligger i samme plan, har det nul volumen og bliver til en firkant. Længderne af kanterne vil være længderne af siderne eller diagonalerne på firkanten.

Bretschneiders forhold

Bretschneider-relationerne er forholdet mellem siderne a, b, c, d og modsatte vinkler og diagonaler e, f af en simpel (ikke-selv-skærende) firkant: $\vinkel A,\vinkel C$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)

e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\angle A+\angle C}{2))

Særlige rette linjer i firkanten

Mellemlinjer i firkanten

Lad G, I, H, J være midtpunkterne på siderne af en konveks firkant ABCD , og E, F være midtpunkterne på dens diagonaler. Lad os kalde tre segmenter GH, IJ, EF henholdsvis den første, anden og tredje midterlinje af firkanten . De to første af dem kaldes også bimedianer [2] .

Sætning om midtlinjerne af en firkant

Generaliserede Newtons sætning . Alle tre midterste linjer i firkanten skærer hinanden i et punkt (ved tyngdepunktet af spidserne ("vertex centroid") i firkanten) og halverer det.
Midtpunkterne E og F af de to diagonaler, samt tyngdepunktet af toppunkterne K i den konvekse firkant, ligger på samme linje EF . Denne lige linje kaldes Newtons rette linje .
Bemærk, at Newton-Gauss- linjen falder sammen med Newton-linjen , fordi begge passerer gennem diagonalernes midtpunkter.
Varignons sætning :
- Firkanter GIHJ , EHFG, JEIF er parallelogrammer og kaldes Varignon-parallelografier . Den første af dem vil vi kalde Varignons store parallelogram
- Centrene for disse tre Varignon-parallelografier er skæringspunkterne mellem deres diagonalpar.
- Centrene for alle tre Varignon parallelogrammer ligger i det samme punkt - i midten af segmentet, der forbinder midtpunkterne på siderne af den oprindelige firkant (i samme punkt, segmenterne, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider - diagonalerne af Varignon parallelogrammet ) skærer hinanden.
- Omkredsen af det store Varignon parallelogram er lig med summen af diagonalerne af den oprindelige firkant. $GIHJ$
- Arealet af det store Varignon parallelogram er lig med halvdelen af arealet af den oprindelige firkant , dvs. $GIHJ$ $ABCD$ $S_{GIHJ}={\frac {1}{2}}S_{ABCD}$ .
- Arealet af den oprindelige firkant er lig med produktet af den første og anden midterlinje af firkanten og sinus af vinklen mellem dem, dvs. $ABCD$ $GH$ $IJ$ $\phi$ $S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi$ .
- Summen af kvadraterne på de tre midterste linjer i en firkant er lig med en fjerdedel af summen af kvadraterne på alle dens sider og diagonaler: $GH^{2}+IJ^{2}+EF^{2}={\frac {1}{4}}(AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{ 2}+BD^{2}+AC^{2})$ .
Euler-formel : firdoble kvadratet af afstanden mellem diagonalernes midtpunkter er lig med summen af kvadraterne på firkantens sider minus summen af kvadraterne af dens diagonaler.
Matematisk, for figuren øverst til højre med den grå firkant ABCD , er Eulers formel skrevet som: $(2EF)^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-BD^{2}-AC^{2}$ .

Newtons linje

Hvis i en firkant to par af modsatte sider ikke er parallelle, så ligger de to midtpunkter af dens diagonaler på en ret linje, der går gennem midtpunktet af det segment, der forbinder de to skæringspunkter mellem disse to par af modsatte sider (punkter er vist i rød på figuren). Denne rette linje kaldes Newtons rette linje (den er vist med grønt på figuren). I dette tilfælde er Newton-linjen altid vinkelret på Auber-linjen .
Punkter, der ligger på Newtons linje, opfylder Annas sætning .

Ortopolære linjer af ortopoler af tripler af hjørner af en firsidet

Hvis der er givet en fast ret linje ℓ , og en af de tre hjørner af firkanten er valgt , så ligger alle orthopolerne på den givne rette linje ℓ med hensyn til alle sådanne trekanter på den samme rette linje. Denne linje kaldes den ortopolære linje for den givne linje ℓ i forhold til firkanten [3] $ABCD$ $ABCD$

Særlige punkter i firkanten

Centroid af en firkant

Fire segmenter, som hver forbinder firkantens toppunkt med trekantens tyngdepunkt dannet af de resterende tre spidser, skærer hinanden ved firkantens tyngdepunkt og deler det i forholdet 3:1, tællet fra spidserne.
Se også egenskaberne for tyngdepunktet i en firkant.

Poncelet-punktet for firkanten

Der er et Poncelet-punkt inde i firkanten (se afsnittet "Cirkler med ni punkter af trekanter inde i firkanten").

Miquels punkt firkant

Der er et Miquel-punkt inde i firkanten .

Cirkler af nipunkttrekanter inden for en firkant

I en vilkårlig konveks firkant skærer cirklerne af de ni punkter i trekanter , som den er opdelt i med to diagonaler, hinanden i ét punkt - ved Poncelet-punktet [4] . $ABCD$ $ABC,BCD,CDA,DAB$

Særlige tilfælde af firkanter

Indskrevne firkanter

De siger, at hvis en cirkel kan omskrives nær en firkant , så er firkanten indskrevet i denne cirkel , og omvendt.
Især firkanter indskrevet i en cirkel er: rektangel , kvadrat , ligebenet eller ligebenet trapez , antiparallelogram .
Sætning for indskrevne firkanter :
- To sætninger af Ptolemæus . For en simpel (ikke-selv-skærende) firkant indskrevet i en cirkel, der har længden af par af modsatte sider: a og c , b og d , samt længderne af diagonalerne e og f , gælder følgende:

1) Ptolemæus' første sætning

ef=ac+bd

; 2) Ptolemæus' anden sætning

${\frac {e}{f}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{a\cdot b+c\cdot d}}).$ I den sidste formel hviler par af tilstødende sider af tælleren a og d , b og c med deres ender på en diagonal med længden e . Et lignende udsagn gælder for nævneren.

3) Formler for længden af diagonaler (følger af Ptolemæus' første og anden sætning )

{\displaystyle e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

{\displaystyle f={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

- Monges sætning om ortocentret af en indskrevet firkant. 4 linjestykker (4 antimedatriser [5] ) tegnet fra midtpunkterne på 4 sider af den indskrevne firkant vinkelret på de modsatte sider skærer hinanden ved orthocentret H af denne firkant [6] [7] .
- Sætning om indskrift i en cirkel af et par diagonale trekanter . Hvis en konveks firkant er indskrevet i en cirkel, så er et par trekanter, som firkanten er delt i med en hvilken som helst af dens diagonaler (forbindelse med trekantens cirkler), også indskrevet i den samme cirkel.
- Sætning af fire mediatriser . Det følger af det sidste udsagn: hvis tre af de fire mediatrics (eller median perpendiculars ) trukket til siderne af en konveks firkant skærer hinanden i et punkt, så skærer mediatrixen på dens fjerde side også i samme punkt. Desuden er en sådan firkant indskrevet i en bestemt cirkel, hvis centrum er i skæringspunktet mellem de angivne mediatriker [8] .

- Sætning om fire diagonale trekanter og deres indskrevne cirkler [9] . Hvis vi tegner en diagonal i en firkant indskrevet i en cirkel og indskriver to cirkler i de resulterende to trekanter, gør det samme ved at tegne den anden diagonal, så er centrene i de fire dannede cirkler hjørnerne af rektanglet (dvs. , de ligger på samme cirkel). Denne sætning kaldes den japanske sætning. (se fig.). Derudover er ortocentrene i de fire trekanter, der er beskrevet her, hjørnerne af en firkant svarende til den oprindelige firkant ABCD (det vil sige, at de også ligger på en anden cirkel, fordi hjørnerne af den oprindelige indskrevne firkant ligger på en eller anden cirkel). Endelig ligger disse fire trekanters tyngdepunkter på den tredje cirkel [10] .
- Sætningen om fire projektioner af hjørnerne af en indskrevet firkant på dens diagonal [11] . Lade være en indskrevet firkant, være bunden af den vinkelrette faldet fra toppunktet til diagonalen ; punkter er defineret på samme måde . Så ligger punkterne på samme cirkel. $ABCD$ $A_{1}$ $EN$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$
- Brocards sætning . Centrum af den omskrevne cirkel omkring firkanten er skæringspunktet for trekantens højder med toppunkterne i skæringspunktet for diagonalerne og i skæringspunkterne for modstående sider.

Kriterier for indskrevne firkanter :
- Det første kriterium for, at en firkant skal indskrives . En cirkel kan omskrives om en firkant , hvis og kun hvis summen af de modstående vinkler er 180°, det vil sige:

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Det andet kriterium for, at en firkant skal indskrives . En cirkel kan omskrives om en firkant , hvis og kun hvis et par af dens modstående sider er antiparallelle .

- Det tredje kriterium for, at en firkant skal indskrives . En konveks firkant (se figuren til højre) dannet af fire givne Miquel-linjer er indskrevet i en cirkel, hvis og kun hvis Miquel-punktet M på firkanten ligger på linjen, der forbinder to af linjernes seks skæringspunkter (de der er ikke hjørner af firkanten). Altså når M ligger på EF .
- En lige linje, antiparallel til siden af trekanten og skærer den, afskærer en firkant fra den, omkring hvilken en cirkel altid kan omskrives.
- Det fjerde kriterium for, at en firkant skal indskrives . Den betingelse, hvorunder kombinationen af to trekanter med en lige side giver en firkant indskrevet i en cirkel [12] . Således at to trekanter med tredobbelt sidelængde henholdsvis (a, b, f) og (c, d, f), når de kombineres langs en fælles side med en længde lig f, giver som et resultat en firkant indskrevet i en cirkel med en sekvens af sider ( a , b , c , d ), betingelsen [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)))

- Den sidste betingelse giver et udtryk for diagonalen f af en firkant indskrevet i en cirkel i form af længderne af dens fire sider ( a , b , c , d ). Denne formel følger umiddelbart efter, når man multiplicerer og sætter lighedstegn mellem venstre og højre del af formlerne, der udtrykker essensen af Ptolemæus' første og anden sætning (se ovenfor).

Arealet af en firkant indskrevet i en cirkel :
- Arealet af en firkant indskrevet i en cirkel ifølge Brahmaguptas formel er [14] :

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd))),

hvor p er halvperimeteren af firkanten.

- Den sidste formel følger af den generelle formel (1) i boksen i afsnittet "Areal", hvis den tager højde for, at $2\theta =\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$
- Den sidste formel er en generalisering af Herons formel for tilfældet med en firkant.
- Brahmaguptas formel for arealet af en firkant indskrevet i en cirkel kan skrives i form af determinanten [8] :

$S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))$

Radius af en cirkel omskrevet om en firkant:

$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(pa)(pb)(pc)(pd)}} }$

Indskrevne firkanter med vinkelrette diagonaler

Brahmaguptas sætning . For indskrevne ortodiagonale firkanter er Brahmaguptas sætning gyldig : Hvis en indskrevet firkant har vinkelrette diagonaler, der skærer hinanden i et punkt , så passerer to par af dets $M$ antimediatriser gennem punktet . $M$
Bemærkning . I denne sætning forstås antimediatrix [15] som et segment af firkanten i figuren til højre (i analogi med den vinkelrette halveringslinje (mediatrix) på siden af trekanten). Den er vinkelret på den ene side og passerer samtidig gennem midtpunktet af den modsatte side af firkanten. $FE$
Sætningen om cirklen af otte punkter af en ortodiagonal firkant . Der er en velkendt sætning: Hvis diagonalerne er vinkelrette i en firkant, så ligger otte punkter på en cirkel ( cirklen med otte punkter på firkanten ): sidernes midtpunkter og projektionerne af sidernes midtpunkter på modsatte sider [16] . Det følger af denne sætning og Brahmaguptas sætning , at enderne af to par antimediatriser (otte punkter) af en indskrevet ortodiagonal firkant ligger på den samme cirkel ( cirkel af otte punkter af firkanten ).
Delvis indskrevne ortodiagonale firkanter . Private indskrevne ortodiagonale firkanter indskrevet i en cirkel er en firkant , en deltoid med et par vinkelrette modsatte vinkler, en ligesidet ortodiagonal trapezoid og andre.

Beskrevne firkanter

De siger, at hvis en cirkel kan indskrives i en firkant , så er firkanten omskrevet omkring denne cirkel , og omvendt.
Nogle (men ikke alle) firkanter har en indskrevet cirkel. De kaldes omskrevne firkanter .
- Særlige firkanter afgrænset om en cirkel er: rombe , firkant , deltoid .
Kriterier for beskrivelse af firkanter :
- Blandt egenskaberne ved de beskrevne firkanter er det vigtigste, at summen af modstående sider er lige store. Dette udsagn kaldes Pitot-sætningen .
- Med andre ord er en konveks firkant omskrevet om en cirkel, hvis og kun hvis summen af længderne af modstående sider er lige store, det vil sige: . $AB+CD=BC+AD$

Sætning for omskrevne firkanter :
- Sætning om to lige store sider af en vinkel, der tangerer en cirkel . Tangenspunkterne for den indskrevne cirkel med firkanten afskåret lige store segmenter fra firkantens hjørner.
- Sætning om fortsættelsen af to par modsatte sider af en firkant . Hvis en konveks firkant hverken er en trapez eller et parallelogram , og den er omskrevet omkring en cirkel, så er et par trekanter omskrevet omkring den samme cirkel, som fås ved at fortsætte de to par modstående sider, indtil de skærer hinanden (forbindelse med trekantens cirkler).
- Sætning om fire halveringslinjer . Det følger af det sidste udsagn: Hvis tre af de fire halveringslinjer (eller halveringslinjer) tegnet for de indre vinkler af en konveks firkant skærer hinanden i et punkt, så skærer halveringslinjen af dens fjerde indre vinkel også i samme punkt. Desuden beskrives en sådan firkant omkring en bestemt cirkel, hvis centrum er i skæringspunktet mellem de angivne halveringslinjer [17] .
- Newtons sætning . Hvis en firkant er indskrevet omkring en cirkel, så ligger midten af dens indskrevne cirkel på Newtons linje . En mere præcis erklæring er nedenfor.
- Newtons sætning . I enhver afgrænset firkant ligger de to midtpunkter af diagonalerne og midten af den indskrevne cirkel på den samme rette linje. På den ligger midten af segmentet med ender ved skæringspunkterne for fortsættelserne af de modsatte sider af firkanten (hvis de ikke er parallelle). Denne linje kaldes Newtons linje . I figuren (den anden gruppe af figurer fra toppen) er den grøn, diagonalerne er røde, segmentet med ender ved skæringspunkterne for fortsættelserne af de modsatte sider af firkanten er også rødt.
- Brocards sætning . Centrum af den omskrevne cirkel omkring firkanten er skæringspunktet for trekantens højder med toppunkterne i skæringspunktet for diagonalerne og i skæringspunkterne for modstående sider.

Arealet af den omskrevne firkant
- Betingelsen betyder, at . $AB+CD=BC+AD$ $a+c=b+d$

Ved at introducere begrebet en semiperimeter p , har vi . Derfor har vi også . Yderligere kan du bemærke: Derfor, så har vi ifølge formel (1) i boksen i afsnittet "Areal" $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $p=(a+d+b+c)/2=a+c=b+d$ $pa=c;pb=d;pc=a;pd=b.$ $(pa)(pb)(pc)(pd)=abcd.$

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }}=

$={\sqrt {abcd-abcd\cos ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {abcd}}\sin \theta .$

- Da firkanten er beskrevet, er dens areal også lig med halvdelen af omkredsen p gange radius r af den indskrevne cirkel :. $S=pr$

Indskrevet-omskrevne firkanter

Indskrevne-omskrevne firkanter er firkanter, der både kan være omskrevet omkring en cirkel og også indskrevet i en cirkel. Andre navne for dem er bicentriske firkanter, akkordtangente firkanter eller dobbeltcirkelfirkanter.
Private indskrevne-omskrevne firkanter er en firkant og en rhomboid med et par lige modsatte vinkler på 90 grader.

Egenskaber

Kriterier for samtidig inskription og omskrevenhed af en firkant
- Enhver af de to betingelser nedenfor, taget hver for sig, er en nødvendig , men ikke tilstrækkelig betingelse for, at en given konveks firkant kan være indskrevet-omskrevet for nogle cirkler:

AB+CD=BC+AD

og .

\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }

- Opfyldelsen af de to sidste betingelser samtidigt for nogle konvekse firkanter er nødvendig og tilstrækkelig til, at denne firkant er indskrevet-omskrevet .

Sætning for indskrevne-omskrevne firkanter

- Fuss ' teorem. For radierne R og r for henholdsvis de omskrevne og indskrevne cirkler af den givne firkant og afstanden x mellem centrene og af disse cirkler (se fig.), er en relation opfyldt, der repræsenterer en firkantet analog til Eulers sætning (der er en lignende Euler-formel for en trekant) [18] [19] [20 ] : $jeg$ $O$

{\frac {1}{(R+x)^{2}}}+{\frac {1}{(Rx)^{2}}}={\frac {1}{r^{2 }}}

eller

\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})^{2}.

eller

{\displaystyle x^{2}=R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))

eller

x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2))))}.

- Sætning . De følgende tre betingelser for en indskrevet-omskrevet firkant vedrører punkter, hvor en cirkel indskrevet i en tangent-firkant er tangent til siderne. Hvis incirkelen tangerer siderne AB , BC , CD , DA i punkterne W , X , Y , Z hhv figur): [21]
- WY vinkelret på XZ
- ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$
- ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$ .
- Poncelets sætning . For en indskrevet-omskrevet firkant er Poncelet-sætningen gyldig .

Arealet af en indskrevet-omskrevet firkant

- Hvis firkanten både er indskrevet og beskrevet, har vi med formel (1) i boksen i afsnittet "Areal": . $S={\sqrt {abcd))$
- Den sidste formel er opnået fra arealformlen i det foregående afsnit for den omskrevne firkant , givet det (for den indskrevne firkant ). $S={\sqrt {abcd}}\sin \theta$ $\theta =90^{\circ };\sin 90^{0}=1$ $2\theta =~\vinkel A+\vinkel C=\vinkel B+\vinkel D=180^{\cirkel }$
- Da firkanten er omskrevet, er dens areal også lig med halvdelen af dens omkreds p gange radius r af den indskrevne cirkel :. $S=pr$
- En anden formel for arealet af en indskrevet-omskrevet firkant:

S={\frac {p^{2}}{\operatørnavn {tg} {\frac {A}{2}}+\operatørnavn {tg} {\frac {B}{2}}+\operatørnavn {tg} {\frac {C}{2}}+\operatørnavn {tg} {\frac {D}{2}}}}

Opdeling af siderne af en tangent-firkant ved kontaktpunkter med cirklen

De otte "tangenslængder" ("e", "f", "g", "h" i figuren til højre) af en tangent firkant er linjestykker fra toppunktet til de punkter, hvor cirklen rører siderne. Fra hvert hjørne er der to tangenter til cirklen af lige længde (se figur).
Lad os også betegne de to "tangentielle akkorder" ("k" og "l" på figuren) i tangentfirkanten - det er linjestykker, der forbinder punkter på modsatte sider, hvor cirklen rører ved disse sider. De er også diagonalerne af en "kontaktfirkant", der har toppunkter ved firkantens kontaktpunkter med cirklen. $ABCD$

Så er arealet af den indskrevne-omskrevne firkant [21] :s.128

S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h),

såvel som

S=AI\cdot CI+BI\cdot DI.

Hvis der ud over to akkorder for tangenterne k og l og diagonalerne p og q introduceres yderligere to bimedianer m og n af en konveks firkant som segmenter af rette linjer, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider, så er arealet af den indskrevne -omskrevet firkant vil være lig med [22]

S=\left|{\frac {m^{2}-n^{2}}{k^{2}-l^{2}}}\right|kl

S={\frac {klpq}{k^{2}+l^{2))}.

Uomskrevne firkanter

En uomskrevet firkant for en cirkel

En uomskrevet firkant er en konveks firkant, hvis forlængelser af alle fire sider tangerer cirklen (uden for firkanten) [23] . Cirklen kaldes excirkel . Midten af omkredsen ligger i skæringspunktet mellem seks halveringslinjer.
En cirkel findes ikke for hver firkant. Hvis de modsatte sider af en konveks firkant ABCD skærer hinanden i punkterne E og F , så er betingelsen for dens ude af beskrivelse en af de to betingelser nedenfor:

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

En uomskrevet firkant for en parabel

Parabel , udskrevet for en firkant . En sådan parabel findes for enhver konveks firkant, og den berører alle 4 sider af den givne firkant (firkant) eller deres forlængelser. Dens retningslinje falder sammen med Auber-Steiner-linjen [24] .

Firkanter med vinkelrette elementer

Nedenfor er afsnit for firkanter med vinkelrette par af elementer: med 2 vinkelrette sider og med 2 vinkelrette diagonaler.
Disse firkanter degenererer til en retvinklet trekant , hvis længden af en ønsket side (ud af deres 4 sider), der ligger nær den rette vinkel eller hviler med enderne på denne vinkel, har en tendens til nul.

Firkanter med vinkelrette sider

Firkanter med vinkelrette modstående sider

To modstående sider af en firkant er vinkelrette, hvis og kun hvis summen af kvadraterne på de to andre modstående sider er lig med summen af kvadraterne af diagonalerne.
Hvis summen af vinklerne ved en af basene af trapezoidet er 90°, så skærer forlængelserne af de laterale (modsatte) sider sig vinkelret, og segmentet, der forbinder basernes midtpunkter, er lig med den halve forskel på baserne.

Firkanter med 2 par vinkelrette tilstødende sider

Hvis en konveks firkant har to par tilstødende sider, der er vinkelrette (det vil sige to modsatte vinkler er rette), så kan denne firkant indskrives i en eller anden cirkel. Desuden vil diameteren af denne cirkel være den diagonal, hvorpå de angivne to par tilstødende sider hviler i den ene ende.
Private firkanter med vinkelrette sider er: rektangel , kvadratisk og rektangulær trapez .

Firkanter med 3 vinkelrette tilstødende sider

Hvis en konveks firkant har 3 tilstødende sider vinkelrette (det vil sige, 2 indre vinkler er rigtige), så er denne firkant en rektangulær trapez .

Firkanter med vinkelrette diagonaler

Firkanter med vinkelrette diagonaler kaldes ortodiagonale firkanter.
Diagonalerne på en firkant er vinkelrette, hvis og kun hvis summen af kvadraterne på modstående sider er lige store.
Arealet af en ortodiagonal firkant er lig med halvdelen af produktet af dens diagonaler: . $S={\frac {1}{2}}ef$
Midtlinjerne i en firkant er ens, hvis og kun hvis summen af kvadraterne på dens modstående sider er lige store.
Antimediatrixen af en firkant er et linjestykke, der kommer ud af midten af en af dens sider og er vinkelret på den modsatte side.
Brahmaguptas sætning . Hvis en firkant har vinkelrette diagonaler og kan indskrives i en eller anden cirkel, så skærer dens fire antimediatriser hinanden i et punkt. Desuden er dette skæringspunkt for en antimediatris skæringspunktet for dets diagonaler.
Hvis en firkant har vinkelrette diagonaler, og den kan indskrives i en cirkel, så er det firdobbelte kvadrat på dens radius R lig med summen af kvadraterne af ethvert par af dets modstående sider: $a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}.$
Hvis en firkant har vinkelrette diagonaler og kan omskrives omkring en bestemt cirkel, så er produkterne af to par modsatte sider ens: $ac=bd.$
Et Varignon parallelogram med spidser i midtpunkterne på siderne af en ortodiagonal firkant er et rektangel .
Hvis diagonaler er vinkelrette i en firkant, så ligger otte punkter på en cirkel ( cirklen med otte punkter på firkanten ): sidernes midtpunkter og projektionerne af sidernes midtpunkter på modsatte sider [16] .
Særlige ortodiagonale firkanter er: rhombus , square , deltoid .
Hvis en konveks firkant har vinkelrette diagonaler, så er midtpunkterne på dens fire sider rektanglets hjørner (en konsekvens af Varignons sætning ). Det omvendte er også sandt. Derudover er diagonalerne i et rektangel ens. Derfor er diagonalerne på en konveks firkant vinkelrette, hvis og kun hvis længderne af dens to bimedianer (længderne af to segmenter, der forbinder midtpunkterne på modsatte sider) er ens [25] .
Tabel, der sammenligner egenskaberne af den omskrevne og ortodiagonale firkant:

Deres metriske egenskaber er meget ens (se tabel) [25] . Her er angivet: a , b , c , d - længderne af deres sider, R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , og radierne af de omskrevne cirkler tegnet gennem disse sider og gennem skæringspunktet for diagonalerne , h 1 , h 2 , h 3 , h 4 er højderne sænket ned på dem fra skæringspunktet mellem diagonalerne .

omskrevet firkant	ortodiagonal firkant
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Derudover gælder det for medianerne på siderne af en ortodiagonal firkant, sænket fra skæringspunktet mellem diagonalerne :. ${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$

Enhver ortodiagonal firkant kan indskrives med uendeligt mange rektangler, der tilhører følgende to sæt:

(i) rektangler, hvis sider er parallelle med diagonalerne på en ortodiagonal firkant (ii) rektangler defineret af Pascals [26] [27] [28] punktcirkler .

Egenskaber for diagonalerne for nogle firkanter

Følgende tabel viser, om diagonalerne på nogle af de mest basale firkanter har en halvering ved deres skæringspunkt, om diagonalerne er vinkelrette , om længderne af diagonalerne er lige store, og om de deler vinkler [29] . Listen refererer til de mest generelle tilfælde og udtømmer de navngivne delmængder af firkanter.

Firkantet	Opdeling af diagonalerne i to ved deres skæringspunkt	Vinkelrette diagonaler	Ligestilling af længder af diagonaler	Halsdeling af hjørner efter diagonaler
Trapeze	Ikke	Se note 1	Ikke	Ikke
Ligebenet trapez	Ikke	Se note 1	Ja	Mindst to modstående hjørner
Parallelogram	Ja	Ikke	Ikke	Ikke
Deltoid	Se bemærkning 2	Ja	Se bemærkning 2	Se bemærkning 2
Rektangel	Ja	Ikke	Ja	Ikke
Rhombus	Ja	Ja	Ikke	Ja
Firkant	Ja	Ja	Ja	Ja

Note 1: De mest almindelige trapezoider og ligebenede trapezoider har ikke vinkelrette diagonaler, men der er et uendeligt antal (ikke-lignende) trapezoider og ligebenede trapezoider, der har vinkelrette diagonaler og ikke er som nogen anden navngiven firkant .
Note 2: I en deltoid halverer den ene diagonal den anden. En anden diagonal halverer dens modstående hjørner. Den mest almindelige deltoideus har ulige diagonaler, men der er et uendeligt antal (ulignende) deltoider, hvis diagonaler er lige lange (og deltoiderne er ikke nogen af de andre navngivne firkanter) .

Symmetri af firkanter

På fig. nogle symmetriske firkanter er vist, deres overgang ind i hinanden, såvel som deres dualer. Betegnelser i fig.:

Drage (slang) - deltoid (rhomboid)
Parallelogram - parallelogram
Uregelmæssig firkant - uregelmæssig firkant
Rombe - rombe
Rektangel - rektangel
Firkantet - firkantet
Gyrational Square - en roterende firkant
Ligebenet trapez - ligebenet trapez

Område

Arealet af en vilkårlig ikke-selvskærende konveks firkant med diagonaler og en vinkel mellem dem (eller deres forlængelser) er lig med: $S$ $d_{1}$ $d_{2}$ $\alfa$

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2}}$

Arealet af en vilkårlig konveks firkant er lig med produktet af den første og anden midterlinje af firkanten og sinus af vinklen mellem dem, dvs. $GH$ $IJ$ $\phi$

S_{ABCD}=GH\cdot IJ\sin \phi

Bemærkning . Den første og anden midterlinje af en firkant er segmenter, der forbinder midtpunkterne på dens modsatte sider.

Arealet af en vilkårlig konveks firkant er [14] :

16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\venstre(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\ højre)^{2}

, hvor , er længderne af diagonalerne; a, b, c, d er længderne af siderne.

d_{1}

d_{2}

Arealet af en vilkårlig konveks firkant er også lig med

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)-abcd\cos ^{2}\theta }},$ (en)

hvor p er halvomkredsen og er halvsummen af de modsatte vinkler på firkanten (Det er ligegyldigt hvilket par af modsatte vinkler, der skal tages, da hvis halvsummen af et par modsatte vinkler er lig med , så vil halvsummen af de to andre vinkler være og ). Fra denne formel for indskrevne firkanter følger Brahmaguptas formel . $\theta ={\frac {\vinkel A+\vinkel C}{2))$ $\theta$ $180^{\cirkel }-\theta$ $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$

Arealet af en vilkårlig konveks firkant i henhold til formlen (1) i boksen ovenfor, under hensyntagen til en af Bretschneider-relationerne (se ovenfor), kan skrives som:

$S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\textstyle {1 \over 4}((ef)^{2}-(ac+bd)^{2))))))=$ $={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)+\tekststil {1 \over 4}(ef+ac+bd)(ef-ac-bd)))$ hvor p er halvperimeteren, e og f er firkantens diagonaler.

Arealet af en vilkårlig ikke-selvskærende firkant, givet på planet af koordinaterne af dets hjørner i krydsningsrækkefølgen, er lig med: $S$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$

$S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{1}-x_{2})(y_{1}+y_{2})+(x_{2}-x_ {3})(y_{2}+y_{3})+(x_{3}-x_{4})(y_{3}+y_{4})+(x_{4}-x_{1}) (y_{4}+y_{1}){\big |}$

Historie

I oldtiden brugte egypterne og nogle andre folkeslag en forkert formel til at bestemme arealet af en firkant - produktet af halve summer af dens modsatte sider a, b, c, d [30] :

S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}

For ikke-rektangulære firkanter giver denne formel et overvurderet areal. Det kan antages, at det kun blev brugt til at bestemme arealet af næsten rektangulære jordlodder. Med unøjagtige målinger af siderne af et rektangel giver denne formel dig mulighed for at forbedre nøjagtigheden af resultatet ved at beregne et gennemsnit af de oprindelige mål.

Se også

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også

Noter

↑ Yakov Ponarin . Elementær geometri. Bind 1: Planimetri, plantransformationer . — Liter, 2018-07-11. - S. 52. - 312 s.
↑ EW Weisstein. bimedian . MathWorld - En Wolfram-webressource. (ubestemt)
↑ Steve Phelps. Orthopolen// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA
↑ Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , s. 118, opgave 9.
↑ For definitionen af antimedatris, se Ordlisten for planimetri
↑ Bemærkelsesværdige punkter og linjer med firkanter// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Monges sætning// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ 1 2 Starikov, 2014 , s. 38, højre kolonne, punkt 7.
↑ Ayeme , s. 6, eks. 8, fig. 13.
↑ Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), 2.3 Cyclic quads , Mathematical Olympiad Treasures , Springer, s. 44-46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
↑ Ayeme , s. 5, eks. 7, fig. 11, følge.
↑ Se underafsnit "Diagonaler" i artiklen " Indskrevet firkant "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ 1 2 Ponarin , s. 74.
↑ Starikov, 2014 , s. 7-39.
↑ 1 2 Zaslavsky, Permyakova et al., 2009 , s. 118, opgave 11.
↑ Starikov, 2014 , s. 39, venstre spalte, sidste afsnit.
↑ Dorrie, Heinrich. 100 store problemer med elementær matematik : deres historie og løsninger . - New York: Dover, 1965. - S. 188-193. — ISBN 978-0-486-61348-2 .
↑ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [1] (link ikke tilgængeligt) , 1998, s. 158-164.
↑ Salazar, Juan Carlos (2006), Fuss's teorem, Mathematical Gazette bind 90 (juli): 306–307 .
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2010), Characterizations of Bicentric Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 10: 165–173 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf > .
↑ Josefsson, Martin (2011), The Area of a Bicentric Quadrilateral , Forum Geometricorum vol . 11: 155–164 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf > .
↑ Radic, Kaliman, Kadum, 2007 , s. 33-52.
↑ Junko HIRAKAWA. Nogle sætninger om ortopolen. Tohoku Mathematical Journal, første serie. 1933 bind. 36. S. 253, Lemma I// https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
↑ 1 2 Josefsson, Martin (2012), Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals , Forum Geometricorum vol . 12: 13–25 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf > .
↑ David, Fraivert (2019), A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > .
↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals , Forum Geometricorum bind 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > .
↑ Freivert, D. M. (2019), Et nyt emne i euklidisk geometri på planet: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Matematisk uddannelse: State of the Art og Perspectives: Proceedings of the International Scientific Conference , < https:///libr.msu.by/handle/123456789/9675 >
↑ Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas. Geometry: Basic ideas [2] , tilgået 28. december 2012.
↑ G. G. Zeiten Matematikkens historie i antikken og i middelalderen, GTTI, M-L, 1932.

Litteratur

Boltyansky V. , Quadrangles . Kvant , nr. 9, 1974.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTSNMO , 2004. - S. 74. - ISBN 5-94057-170-0 .
Starikov V. N. Geometriforskning // Samling af publikationer fra det videnskabelige tidsskrift Globus baseret på materialerne fra den V. internationale videnskabelig-praktiske konference "Achievements and problems of modern science", St. Petersburg: en samling af artikler (standardniveau, akademisk niveau) // Videnskabeligt tidsskrift Globus . - S-P., 2016.
Starikov V. N. Noter om geometri// Videnskabelig søgning: humaniora og samfundsøkonomiske videnskaber: en samling af videnskabelige artikler / Kap. udg. Romanova I. V. - Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. - Udgave. 1 .
Matematik i opgaver. Indsamling af materialer fra feltskoler fra Moskva-holdet til den all-russiske matematiske olympiade / Redigeret af A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov og A. V. Shapovalov .. - Moskva: MTsNMO, 2009 - ISBN-5-94708 477-4 .
Jean-Louis Ayeme. Feurbachs sætning. Et nyt syntetisk rent bevis. (utilgængeligt link) . Hentet 2. oktober 2016. Arkiveret fra originalen 13. november 2013. (Russisk) En noget udvidet oversættelse - "Around the Problem of Archimedes"
Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. En betingelse om, at en tangentiel firkant også er en kordal // Matematisk kommunikation. - 2007. - Udgave. 12 .
D. Fraivert, A. Sigler og M. Stupel. Fælles egenskaber ved trapezoider og konvekse firkanter // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 38 . — S. 49–71. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .

Firkantet

Typer af firkanter

Firkanter med parallelle modstående sider

Firkanter med antiparallelle modsatte sider

Firkanter med vinkelrette tilstødende sider

Firkanter med vinkelrette diagonaler

Firkanter med parallelle diagonaler

Firkanter med lige modsatte sider

du får ikke brug for det i fremtiden.

Firkanter med lige diagonaler

Firkanter indskrevet om en cirkel

Fuld quadripartite

Summen af ​​vinkler

Metriske forhold

Den firkantede ulighed

Ptolemæus' ulighed

Relationer mellem sider og diagonaler af en firkant

Bretschneiders forhold

Særlige rette linjer i firkanten

Mellemlinjer i firkanten

Sætning om midtlinjerne af en firkant

Newtons linje

Ortopolære linjer af ortopoler af tripler af hjørner af en firsidet

Særlige punkter i firkanten

Centroid af en firkant

Poncelet-punktet for firkanten

Miquels punkt firkant

Cirkler af nipunkttrekanter inden for en firkant

Særlige tilfælde af firkanter

Indskrevne firkanter

Indskrevne firkanter med vinkelrette diagonaler

Beskrevne firkanter

Indskrevet-omskrevne firkanter

Arealet af en indskrevet-omskrevet firkant

Opdeling af siderne af en tangent-firkant ved kontaktpunkter med cirklen

Uomskrevne firkanter

En uomskrevet firkant for en cirkel

En uomskrevet firkant for en parabel

Firkanter med vinkelrette elementer

Firkanter med vinkelrette sider

Firkanter med vinkelrette modstående sider

Firkanter med 2 par vinkelrette tilstødende sider

Firkanter med 3 vinkelrette tilstødende sider

Firkanter med vinkelrette diagonaler

Egenskaber for diagonalerne for nogle firkanter

Symmetri af firkanter

Område

Historie

Se også

Noter

Litteratur

Summen af vinkler