Ortopol

Ortopolen i systemet bestående af trekanten ABC og den rette linje ℓ (i figuren til højre svarer denne linje ℓ til linjen A  ′ C  ′ ) i den givne plan er et punkt defineret som følger. [1] . Lad A  ′, B  ′, C  ′ være grundfladerne for perpendikulærerne tegnet til linjen ℓ fra hjørnerne af henholdsvis trekanten A , B , C . Lad A  ", B  ", C  "- grundene af perpendikulerne tegnet til de tilsvarende modstående sider A , B , C i den specificerede trekant eller til forlængelserne af disse sider. Derefter skærer tre lige linjer A  "  A  ", B  "  B  ", C  "  C  ", et punkt - ved orthopolen H . [2] På grund af deres mange egenskaber [3] er ortopoler blevet genstand for seriøs undersøgelse [4] . Nogle nøglebegreber blev undersøgt - definitionen af ​​linjer med en given orthopol [5] og ortopolcirkler. [6]

Egenskaber

Bemærk

Overalt nedenfor i teksten svarer orthopol P til orthopol H i ​​fig. til højre, og den lige linje ℓ af orthopolen P i samme fig. svarer til linjen A  ′ C  .

Ortopol og ortocenter

• Hvis den passerer gennem trekantens orthocenter Q , så ligger punktet, der er placeret på fortsættelsen af ​​segmentet PQ , der forbinder orthopolen med orthocenteret, på den anden side i en afstand lig med PQ , på Euler-cirklen i denne trekant. [7]
• Ortocentret Q i en trekant er orthopolen af ​​dens sider i forhold til selve trekanten. [otte]

Orthopol som radikalt center

• Ortopolen P i trekantens rette linie ℓ er det radikale centrum af tre cirkler, der tangerer den rette linie ℓ og har centre ved spidserne af den antikomplementære trekant i forhold til den givne trekant. [9]

Ortopol og omskrevet cirkel

• Hvis linjen ℓ af orthopolen passerer gennem midten af ​​trekantens omskrevne cirkel , så ligger orthopolen selv på Euler-cirklen i denne trekant. [3] [10]
• Det følger af den sidste egenskab, at for en given trekant er stedet for punkter - alle orthopoler P af alle linjer ℓ , der går gennem midten af ​​trekantens omskrevne cirkel , Euler-cirklen i denne trekant.
• Hvis linjen ℓ af orthopolen skærer trekantens omskrevne cirkel i to punkter P og Q , så ligger selve orthopolen i skæringspunktet mellem de to Simson-linjer i de sidste to punkter P og Q. [elleve]
• For en given trekant er stedet for punkter - alle orthopoler P af alle linjer ℓ , der går gennem et fast punkt, der ligger på trekantens omskrevne cirkel , en linje (segment).

Orthopole og Simsons linje

• Hvis orthopolen ligger på Simsons linje , så er dens linje ℓ vinkelret på den. [3]
• Hvis linjen ℓ af orthopolen er Simson-linjen i punktet P , så kaldes punktet P for Simson-linjens pol ℓ [3]

Ortopoler af parallelle linjer

• Hvis linjen ℓ af orthopolen bevæger sig parallelt med sig selv, så bevæger dens orthopol sig langs linjen vinkelret på ℓ med en afstand svarende til forskydningen. [3]
• Ortopolerne af to parallelle linjer ligger på deres fælles vinkelret på de to linjer i en afstand svarende til afstanden mellem linjerne. [12]

Ortopoler af tripler af hjørner af en firsidet

Hvis der er givet en fast ret linje ℓ , og en af ​​de tre hjørner af firkanten er valgt , så ligger alle orthopolerne på den givne rette linje ℓ med hensyn til alle sådanne trekanter på den samme rette linje. Denne linje kaldes den ortopolære linje af den givne linje ℓ i forhold til firkanten. [13]

Kegleformet (ellipse) genereret af ortopoler

• Det er kendt (se [14] [15] ), at finde for en given fast trekant alle ortopoler for alle linjer, der går gennem et fikspunkt, genererer en kegle, som altid er en ellipsetangens ved 3 punkter til Steiner -deltoiden i den givne trekant . En kegle udarter sig til en linje (linjestykke), når punktet er på trekantens omskrevne cirkel . Denne kegle generaliserer egenskaben diskuteret i [16] , ifølge hvilken, for et punkt, der falder sammen med midten af ​​trekantens omskrevne cirkel , bliver keglen til Euler-cirklen [17]
• Bemærkning . I denne artikel, i afsnittet "Orthopol og den omskrevne cirkel ", lyder den ovennævnte egenskab sådan:

Feuerbach peger som ortopoler

I engelsk litteratur kaldes 4 centre af 4 cirkler: 1 indskrevne og 3 cirkler med centre, der berører henholdsvis 3 forskellige sider af trekanten eller deres forlængelser, 4 tritangenscentre af trekanten ( de tritangentcentre ) [19] . Denne bemærkning er vigtig for den næste påstand.

Feuerbach-punkterne i en trekant er orthopolerne i denne trekant, hvis diametrene af den omskrevne cirkel, der passerer gennem de tilsvarende tre-tangentcentre, tages som de rette linjer ℓ for disse ortopoler [20] . Den sidste påstand er en konsekvens af påstanden angivet nedenfor.

Feuerbach-punktet for en given indskrevet eller omkreds (tre-tangent cirkel - på engelsk "a tritangent cirkel") er skæringspunktet for 2 Simson-linjer , bygget til enderne af diameteren af ​​den omskrevne cirkel, der går gennem det tilsvarende centrum af den indskrevne eller udelukke. Feuerbach-punkterne kan således konstrueres uden at bruge den tilsvarende incirkel eller excirkel og Euler-cirklen, der tangerer den [21] .

Generalisering

Eksistensen af ​​en ortopol følger af en mere generel sætning, den såkaldte Steiner -sætning om ortologiske trekanter [22] .

Steiners ortologe trekantsætning siger (se Steiners orthologe trekantsætning ), at hvis ΔABC er ortolog til ΔA'B'C' , så svarer det til, at ΔA'B'C' er ortolog til ΔABC . I tilfælde af en ortopol kan projektionerne af hjørnerne af trekanten ABC på den rette linie ℓ — punkterne A' , B' , C' — betragtes som hjørnerne af en degenereret trekant, og de parallelle perpendikulærer skærer hinanden ved en uendeligt fjernt punkt.

• Ortologiske  trekanter er trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 , for hvilke perpendikulerne faldt fra punkterne A, B og C til linjerne B 1 C 1 , C 1 A 1 og A 1 B 1 skærer hinanden i et punkt. I dette tilfælde faldt perpendikulerne fra punkterne A 1 , B 1 og C 1 til linjerne BC, CA og AB skærer også i et punkt.

Historie

Ortopolen blev opdaget af matematikeren M. Soons i 1886 i en artikel på s. 57 i det belgiske videnskabelige tidsskrift om elementær matematik Mathesis (tidsskrift), grundlagt i 1881 af Paul Mansion ( Paul Mansion ) og Joseph Jean Baptiste Neuberg ( Joseph Jean Baptiste Neuberg ), og betegnelsen orthopol (orthopol) blev foreslået af nævnte Neuberg i tidsskriftet "Mathesis" for 1911 på s. 244 ifølge kilder [23] , [24]

Se også

Pol og polar

Links

1. ↑ MathWorld: Orthopole . Hentet 20. juni 2020. Arkiveret fra originalen 31. december 2019. (ubestemt)
2. ↑ Arkiveret kopi . Hentet 20. juni 2020. Arkiveret fra originalen 25. februar 2017. (ubestemt)
3. ↑ 1 2 3 4 5 6 Ortopolen (21. januar 2017). Hentet 20. juni 2020. Arkiveret fra originalen 22. juni 2020. (ubestemt)
4. ↑ "The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle" Forfatter(e): OJ Ramler The American Mathematical Monthly , Vol. 37, nr. 3 (Mar., 1930), s. 130–136 Udgivet af: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2299415 Arkiveret 27. juni 2020 på Wayback Machine
5. ↑ "The Projective Theory of Orthopoles", Sister Mary Cordia Karl, The American Mathematical Monthly , Vol. 39, nr. 6 (juni-juli, 1932), s. 327–338 Udgivet af: Mathematical Association of America Stable URL: https://www.jstor.org/stable/2300757 Arkiveret 24. juni 2020 på Wayback Machine
6. ↑ Goormaghtigh, R. (1. december 1946). "1936. Ortopolen” . Den matematiske Tidende . 30 (292): 293. doi : 10.2307/ 3610737 . JSTOR 3610737 . Arkiveret fra originalen 2017-02-25 . Hentet 2020-06-20 via Cambridge Core.  Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
7. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. §699. Sætning. Fig. 156. S. 290-291.
8. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. §Øvelser. §en. S. 291.
9. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. §Øvelser. §6. S. 291.
10. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §694, Fig. 155, s. 288.
11. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §697. Sætning, Fig. 155, s. 289-290.
12. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §693, Fig. 154, s. 287-288
13. ↑ Steve Phelps. The Orthopole// https://www.geogebra.org/m/CKKH9ZZA Arkiveret 22. juni 2020 på Wayback Machine
14. ↑ Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington D.C., Math. Assoc. Ammer., 1995, s. 106-110.
15. ↑ Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, s. 17.
16. ↑ Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html Arkiveret 5. august 2020 på Wayback Machine
17. ↑ "5. Conic generated by orthopoles" I: Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html Arkiveret 8. juli 2020 på Wayback Machine
18. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen, §694. Fig. 155, s. 288.
19. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §b. Tritangentcentrene. P.73-78// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ# v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiveret 30. juni 2020 på Wayback Machine
20. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §698. følge. P.290// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiveret 30. juni 2020 på Wayback Machine
21. ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Bemærkning. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v= onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Arkiveret 30. juni 2020 på Wayback Machine
22. ↑ Myakishev A. Gå i cirkler: fra Euler til Taylor // Matematik. Alt for læreren! nr. 6 (6). Juni. 2011. s. 6, Definition af ortopolen, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf
23. ↑ Ion Pătrașcu. THE DUAL OF THE ORTHOPOLE THEOREM// https://rxiv.org/pdf/1404.0148v1.pdf Arkiveret 28. juli 2020 på Wayback Machine
24. ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. En introduktion til trekantens og cirklens moderne geometri. anden version. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. S. 306, §692, §694

Litteratur

• Atul Dixit, Darij Grinberg. Ortopoler og Pappus-sætningen// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
• College Geometry: En introduktion til den moderne geometri af trekanten og cirklen. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. Ortopolen. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ #v=onepage&q=I%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
• Bogomolny, A. "Orthopole." https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml .
• Goormaghtigh R. Analytisk behandling af nogle ortopolsætninger// Amer. Matematik. Maanedlig 46. 1939. S. 265-269,
• Gallatly W. The Modern Geometry of the Triangle, 2. udg. London: Hodgson, 1913. - Kapitel 6. Orthopolen. S. 46-54.
• Honsberger , R. Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri. Washington, DC: Matematik. Assoc. Amer., 1995. - Kapitel 11. Ortopolen. S. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
• Johnson RA Modern Geometry: En elementær afhandling om trekantens og cirklens geometri. Boston, MA: Houghton Mifflin, s. 247, 1929.
• Ramler OJ Orthopole loci af nogle en-parameter systemer af linier refereret til en fast trekant// Amer. Matematik. Månedsskrift 37, 1930, s. 130-136.
• Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris: Jacques Gabay, 1987, s. 17.
• Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html
• Orthopole af en akkord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
• Junko HIRAKAWA. Nogle sætninger om ortopolen. Tohoku Mathematical Journal, første serie. 1933 bind. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
• Myakishev A. Gå i cirkler: fra Euler til Taylor // Matematik. Alt for læreren! nr. 6 (6). Juni. 2011. s. 6, Definition af ortopolen, fig. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf