Rektangulær deltoideus

En retvinklet deltoid er en deltoide ( en firkant , hvis sider kan grupperes i to par tilstødende sider af samme længde), der kan indskrives i en cirkel [1] . Det vil sige, at det er en deltoid med en omskrevet cirkel ( indskrevet deltoid). Så er en rektangulær deltoide en konveks firkant og har to modsatrettede rette vinkler [2] .

Indskrevet cirkel

Alle retvinklede deltoider er incircle quadrilaterals (som har en circumcircle og en incircle), fordi alle deltoider har en incircle . En af diagonalerne (som tjener som symmetriaksen ) deler den højre deltoid i to rette trekanter og er også diameteren af den omskrevne cirkel.

I en omskrevet firkant (det vil sige en med en indskrevet cirkel), bryder de fire linjestykker mellem midten af den indskrevne cirkel og firkantens tangentpunkter firkanten i fire rektangulære deltoider.

Særligt tilfælde

Et særligt tilfælde af rektangulære deltoider er kvadrater , hvor diagonalerne er lige lange og de indskrevne og omskrevne cirkler er koncentriske .

Beskrivelse

En deltoid er en højre deltoid, hvis og kun hvis den har en afgrænset cirkel (per definition). Dette svarer til, at en deltoide har to modsatte rette vinkler.

Formler

Da en ret deltoid kan opdeles i to retvinklede trekanter, er følgende formler let afledt af de velkendte egenskaber ved retvinklede trekanter. I retvinklet deltoid ABCD , hvor to modsatte vinkler B og D er rette vinkler, kan de to andre vinkler beregnes ud fra

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {b}{a}},\qquad \tan {\frac {C}{2}}={\frac {a}{b }}

hvor a = AB = AD og b = BC = CD . Arealet af en rektangulær deltoid er

\displaystyle K=ab.

Diagonalen AC , som er symmetriaksen, har længde

{\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2))))

og da diagonalerne er vinkelrette (så en højre deltoid er en ortodiagonal firkant med areal ), har den anden diagonal BD længde $K={\frac {pq}{2))$

q={\frac {2ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2))))

Radius af den omskrevne cirkel er (ifølge Pythagoras sætning )

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

og da alle deltoider er omskrevet , er radius af den indskrevne cirkel givet ved

r={\frac {K}{s}}={\frac {ab}{a+b}}

hvor s er halvperimeteren.

Arealet er givet i form af radius R for den omskrevne cirkel og radius r for den indskrevne cirkel som [3] .

K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}).

Hvis vi betegner segmenterne på diagonalerne fra skæringspunktet til toppunkterne med uret , så ${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4))$

d_{1}d_{3}=d_{2}d_{4}

Dette er en direkte konsekvens af den geometriske middelværdisætning .

Dualitet

Den dobbelte polygon for en rektangulær deltoid er en ligebenet trapezoid [1] .

Alternativ definition

Nogle gange defineres en rektangulær deltoide som en deltoid med mindst én ret vinkel [4] . Hvis der kun er én ret vinkel, skal den være mellem to lige lange sider. I dette tilfælde virker formlerne ovenfor ikke.

Noter

↑ 1 2 de Villiers, 2009 , s. 154, 206.
↑ de Villiers, 1994 , s. 11-18.
↑ Josefsson, 2012 , s. 237-24.
↑ 1728 Software Systems, Kite Calculator , tilgået 8. oktober 2012 . Hentet 29. marts 2019. Arkiveret fra originalen 6. september 2021. (ubestemt)

Litteratur

Michael de Villiers. Nogle eventyr i euklidisk geometri. - Key Curriculum Press, 2009. - ISBN 978-0-557-10295-2 .
Michael de Villiers. Rollen og funktionen af en hierarkisk klassifikation af firkanter // For the Learning of Mathematics. - 1994. - T. 14 , no. 1 . — .
Martin Josephson. Maksimalt areal af en bicentrisk firkant // Forum Geometricorum. - 2012. - T. 12 . — S. 237–241 .