Firkantet ulighed

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. april 2017; checks kræver 3 redigeringer .

Den firkantede ulighed er en ulighed, der gælder for alle fire punkter i et metrisk rum, hvor trekantens ulighed er sand . Dens geometriske betydning er, at forskellen mellem to sider af en firkant ikke overstiger summen af de to andre sider [1] .

Ordlyd

Lad os betegne afstanden mellem punkterne i det metriske rum og . Så gælder følgende ulighed for alle fire punkter i det metriske rum: . $\rho (x,y)$ $x$ $y$ $x,y,z,u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leqslant \rho (x,y)+\rho (z,u)$

Bevis

Overvej de uligheder, der følger fra trekantens ulighed :

\rho (x,z)\leqslant \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)

\rho (y,u)\leqslant \rho (y,x)+\rho (x,z)+\rho (z,u)

Træk fra begge dele af den første ulighed og fra begge dele af den anden ulighed . $\rho (y,u)$ $\rho (x,z)$

Den anden trekantsulighed

Når , den firkantede ulighed bliver til den anden trekantsulighed: $z=u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,z)\right|\leqslant \rho (x,y)$

Firkantuligheder i planimetri

Firkantet ulighed - modulet af forskellen mellem to sider af en firkant overstiger ikke summen af de to andre sider :. $\left|ab\right|\leq c+d$
Tilsvarende: i enhver firkant (inklusive en degenereret) er summen af længderne af dens tre sider ikke mindre end længden af den fjerde side, det vil sige: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Noter

↑ Shilov G. E. Matematisk analyse. Særligt kursus. — M.: Fizmatlit, 1961. — S. 29

Se også

trekant ulighed