Miquel point

Miquels punkt er et af de bemærkelsesværdige punkter på firkanten .

Definition

Lad fire linjer være arrangeret på en sådan måde ( i generel position ), at når de skærer hinanden, dannes fire trekanter. Så har cirklerne , der er afgrænset omkring disse trekanter , et fælles punkt, som kaldes Miquel-punktet for denne linjekonfiguration.

Bemærk

Udsagnet om, at disse fire cirkler skærer hinanden i et punkt, kaldes Michel-Steiners firsidede sætning [1] .

Egenskaber

Centrene af de omskrevne cirkler i de ovenstående fire trekanter (blå prikker i figuren) ligger på den samme (røde) cirkel, der passerer gennem Miquel-punktet (grøn i figuren ovenfor).
En firkant dannet af fire givne linjer , , og , er indskrevet, hvis og kun hvis Miquel-punktet ligger på linjen, der forbinder to af linjernes seks skæringspunkter (dem, der ikke er hjørnepunkter på firkanten), dvs. den ligger på . $ABCD$ $VÆRE$ $BF$ $CE$ $AF$ $M$ $EF$

Historie

Dette resultat blev annonceret af Jakob Steiner [2] . Et fuldstændigt bevis blev givet af Miquel [1] .

Variationer og generaliseringer

Miquels sætning for en femkant (for en femtakket stjerne)

Lad en konveks femkant gives . Lad os fortsætte alle dens fem sider, indtil de skærer hinanden ved fem punkter , , , , (danner en femtakket stjerne). Vi beskriver fem cirkler omkring fem trekanter , , , og . Derefter deres andre punkter med gensidig skæringspunkt (undtagen , , , , ), nemlig de nye punkter: , , , og ligger på samme cirkel (de tilhører samme cirkel) [3] (se fig.). Det omvendte er kendt som fem cirkler-sætningen . $ABCDE$ $F$ $G$ $H$ $jeg$ $K$ $CFD'er$ $DGE$ $EHA$ $AIB$ $BKC$ $EN$ $B$ $C$ $D$ $E$ $M$ $N$ $P$ $R$ $Q$

Miquels sekscirkelsætning

Lad fire punkter , , og , gives på en cirkel , og fire cirkler skærer parvis på disse punkter, såvel som på fire andre punkter , , og . Så ligger de sidste fire punkter også på en fælles cirkel. Denne sætning er kendt som "seks cirkler-sætningen" [4] (se figur). $EN$ $B$ $C$ $D$ $W$ $x$ $Y$ $Z$

Denne sætning kaldes undertiden de fire cirklers sætning og tilskrives Jakob Steiner, selvom det eneste kendte offentliggjorte bevis blev givet af Miquel [5] .

Wells omtaler denne teorem som "Miquels sætning" [6] .

En tredimensionel analog af Miquels sætning

Der er også en tredimensionel analog, hvor fire kugler, der passerer gennem punkter i tetraederet, og punkter på kanterne af tetraederet skærer hinanden i et fælles punkt . Wells, når han refererer til Miquel, refererer til denne teorem som Pivot's teorem . [7] $M$

Se også

Point Poncelet
Miquels sætning - et andet resultat af Miquels
Direkte Ober

Noter

↑ 1 2 Ostermann & Wanner (2012) , s. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), Foreslåede spørgsmål. Théorème sur le quadrilatère komplet, Annales de math. T. 18: 302-304
↑ En gymnasielærer på det franske landskab (Nantua) ifølge Ostermann & Wanner 2012 . - Ostermann & Wanner, 2012. - S. 94-97.
↑ En gymnasielærer på det franske landskab (Nantua) ifølge Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — S. 94.
↑ En gymnasielærer på det franske landskab (Nantua) ifølge Ostermann & Wanner 2012 . — Ostermann & Wanner, 2012. — S. 352.
↑ Wells, David. Penguin - ordbogen for nysgerrig og interessant geometri . - New York: Penguin Books, 1991. - S. 151-152 .
↑ Wells, David. Penguin - ordbogen for nysgerrig og interessant geometri . - New York: Penguin Books, 1991. - S. 184 .

Litteratur

Coxeter G. S. M. , Greitzer S. L. Nye møder med geometri . — M .: Nauka, 1978. — 224 s. - (Udgave 14 af serien " Bibliotek i den matematiske cirkel "). - 148.000 eksemplarer.

Forder, H.G. (1960), Geometry , London: Hutchinson

Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988), Geometry/A Comprehensive Course , Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5. udgave), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6