Sommerfuglens sætning
Sommerfuglesætningen er en klassisk sætning inden for planimetri .
Historie
Udgivet i 1803 af Wallace i det engelske tidsskrift The Gentlemen's MathematicalSenere blev den genåbnet flere gange.
Ordlyd
Lad to vilkårlige akkorder AB og CD i samme cirkel trækkes gennem punktet M , som er midtpunktet af akkorden PQ i en eller anden cirkel . Lad akkorderne AD og BC skære akkorden PQ i punkterne X og Y . Så er M midtpunktet af segmentet XY .
Noter
Den omvendte sommerfuglesætning er også sand :
- Lad to vilkårlige akkorder AB og CD trækkes gennem et punkt M inde i en bestemt cirkel . Lad akkorderne AD og BC skære en vilkårlig akkord PQ i punkterne X og Y . Så hvis M er midtpunktet af segmentet XY , så er det også midtpunktet af akkorden PQ .
Om beviser
Sommerfuglesætningen har en lang række forskellige beviser, både inden for rammerne af elementær geometri og ved hjælp af metoder, der rækker ud over det.
- Især i den projektive model af Lobachevsky-planet er trekanten centralt symmetrisk , og sætningen følger let af dette.
- Brug af projektionen af dobbeltforhold: Overvej det dobbelte forhold mellem punkter , og projicer det på cirklen fra punktet . Punkterne og vil gå ind i sig selv, da de hører til cirklen, og punkterne og vil gå ind i punkterne og hhv. Vi får (sidstnævnte skal fortolkes som et dobbelt forhold mellem punkter på det komplekse plan). Vi projicerer tilbage på en lige linje centreret ved det punkt , vi får . Vi udskriver den dobbelte relation per definition, vi opnår den nødvendige lighed.
- Inversionsmetoden bruges også [1]
Variationer og generaliseringer
- Sharygins generalisering [2] : Lad en akkord AB være givet på en cirkel , punkterne M og N på den , og AM = BN . Gennem punkterne M og N trækkes akkorderne henholdsvis PQ og RS . Linjerne QS og RP skærer akkord AB i punkterne K og L , så AK = BL .
Links
- Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nye møder med geometri. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Library of the Mathematical Circle).
- Chentsov N. N., Shklyarsky D. O., Yaglom I. M. Udvalgte problemer og teoremer af elementær matematik. Geometri (planimetri). — M .: Gostekhizdat, 1952.
- Zhizhilkin I. D. Inversion .. - M . : MTsNMO, 2009. - S. 36.