Caseys teorem

Casey eller Caseys sætning er en sætning i euklidisk geometri , der generaliserer Ptolemæus' ulighed . Opkaldt efter den irske matematiker John Casey .

Ordlyd

Lad være en cirkel med radius . Lad være (i den angivne rækkefølge) fire ikke-skærende cirkler, der ligger inde og tangerer den. Betegn ved længden af segmentet mellem kontaktpunkterne for cirklernes ydre fælles tangent . Derefter [1] : $O$ $R$ ${\displaystyle O_{1},O_{2},O_{3},O_{4))$ $O$ ${\displaystyle t_{ij))$ ${\displaystyle O_{i},O_{j))$

t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

I det degenererede tilfælde, når alle fire cirkler reduceres til punkter (cirkler med radius 0), opnås præcis Ptolemæus' sætning .

Noter

Caseys sætning er gyldig for seks parvise tangenter af fire cirkler, der tangerer en fælles cirkel, ikke kun internt, som diskuteret ovenfor, men også eksternt, som vist i fig. under.

I dette tilfælde er den sædvanlige formel for Casey-sætningen opfyldt:

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

I det degenererede tilfælde, når tre af de fire cirkler reduceres til punkter (cirkler med radius 0), og den ene side af firkanten degenererer til et punkt, og de resterende tre sider af firkanten danner en ligesidet trekant, nøjagtigt den generaliserede Pompeys sætning opnås .
I det degenererede tilfælde, hvor alle fire cirkler er reduceret til punkter (cirkler med radius 0), giver sidstnævnte tilfælde også Ptolemæus' sætning .

Bevis

Følgende bevis skal (ifølge Bottem [2] ) af Tzacharias [3] . Lad os betegne cirklens radius som , og kontaktpunktet med cirklen som . Vi vil bruge notationen til cirklernes centre. Bemærk, at Pythagoras sætning antyder $O_{i}$ $R_i$ $O$ $K_{i}$ ${\displaystyle O,O_{i))$

t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j))}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.

Lad os prøve at udtrykke længderne gennem punkter . Ved loven om cosinus i en trekant , ${\displaystyle K_{i},K_{j))$ ${\displaystyle O_{i}OO_{j))$

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=\overline {OO_{i}}^{2}+\overline {OO_{j}}^{2}-2\overline {OO_{i }}\cdot \overline {OO_{j}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}

Siden cirklerne rører hinanden, ${\displaystyle O,O_{i))$

\overline {OO_{i}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\vinkel K_{i}OK_{j}

Lad være et punkt på cirklen . Ifølge loven om sinus i en trekant $C$ $O$ ${\displaystyle K_{i}CK_{j))$

\overline {K_{i}K_{j}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{ 2}}

Så det,

\cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left( {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2 }}{2R^{2}}}

og efter at have erstattet det resulterende udtryk i formlen ovenfor,

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})\left(1-{\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{2R^{2}}}\right)

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i })(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}} {R^{2}}}

\overline {O_{i}O_{j}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})( R-R_{j})\cdot {\frac {\overline {K_{i}K_{j}}^{2}}{R^{2}}}

Til sidst den ønskede længde

t_{{ij}}={\sqrt {\overline {O_{i}O_{j}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac { {\sqrt {R-R_{i))}\cdot {\sqrt {R-R_{j))}\cdot \overline {K_{i}K_{j))}{R))

Nu kan du transformere venstre side ved at bruge Ptolemæus' sætning som anvendt på en indskrevet firkant : $K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}$

t_{{12}}t_{{34}}+t_{{14}}t_{{23}}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{ 1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1} K_{2}}\cdot \overline {K_{3}K_{4}}+\overline {K_{1}K_{4}}\cdot \overline {K_{2}K_{3}}\right)

={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3 ))}{\sqrt {R-R_{4}}}\left(\overline {K_{1}K_{3}}\cdot \overline {K_{2}K_{4}}\right)=t_{ {13}}t_{{24}}

Variationer og generaliseringer

Det kan påvises, at de fire cirkler ikke behøver at ligge inde i storcirklen. Faktisk kan de også røre ved det udefra. I dette tilfælde skal følgende ændringer foretages [4] :

Hvis de rører på samme side (begge indefra eller begge udefra), længden af segmentet af de ydre tangenter.

{\displaystyle O_{i},O_{j))

O

{\displaystyle t_{ij))

Hvis de berører fra forskellige sider (en indefra, den anden udefra), - længden af segmentet af de indre tangenter.

{\displaystyle O_{i},O_{j))

O

{\displaystyle t_{ij))

Det modsatte af Caseys sætning er også sandt [4] . Hvis ligheden holder, rører cirklerne således. For eksempel, for fig. nedenfor har vi :

t_{{\alpha \beta }}t_{{\gamma \delta }}+t_{{\beta \gamma }}t_({\delta \alpha }}=t_{{\alpha \gamma }}t_{{ \beta\delta}}

Begreberne "længden af et segment af eksterne tangenter" og "længden af et segment af interne tangenter" kan være misvisende, fordi disse tangenter kan tegnes både inden for og uden for den fælles forbindelsescirkel, da lignende tangentpar af to cirkler er altid lige. Det er vigtigere at operere her ikke med begreberne "ydre tangenter" og "indre tangenter", men med begreberne om den største og mindste tangent for to cirkler, fordi to par lignende tangenter kan tegnes til to cirkler, altid lig for hvert par, men ikke ens mellem forskellige tangentpar. Dette ses tydeligt, når man sammenligner de to tal. Hvordan et par cirkler er placeret i forhold til en af de to mulige typer fælles tangenter trukket til dem, kan findes ved værdien af deres omvendte afstand I , som kan have 3 værdier: 0, +1 og -1.

Ansøgninger

Caseys sætning og dens inverse kan bruges til at bevise forskellige udsagn i euklidisk geometri . For eksempel bruger det korteste kendte bevis [5] for Feuerbachs sætning det omvendte af Caseys sætning .

Noter

↑ Casey, 1866 .
↑ Bottema, 1944 .
↑ Zacharias, 1942 .
↑ 12 Johnson, 1929 .
↑ Casey, 1866 , s. 411.

Litteratur

John Casey. Om ligningerne og egenskaberne: (1) af systemet af cirkler, der berører tre cirkler i et plan; (2) af systemet af sfærer, der berører fire sfærer i rummet; (3) af systemet af cirkler, der berører tre cirkler på en kugle; (4) af System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1866. - Nr. 9 . - S. 396-423 . — .
M. Zacharias. Der Caseysche Satz // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . - 1942. - T. 52 . - S. 79-89 .
O. Bottema. Hoveddele af Elementaire Meetkunde. - af den anden udvidede udgave udgivet af Epsilon-Uitgaven 1987. - Springer 2008 (oversættelse af Reinie Erné som Topics in Elementary Geometry ), 1944.
Roger A. Johnson. moderne geometri. — Houghton Mifflin, Boston (genudgivet faksimile af Dover 1960, 2007 som Advanced Euclidean Geometry ), 1929.

Caseys teorem

Ordlyd

Noter

Bevis

Variationer og generaliseringer

Ansøgninger

Noter

Litteratur

Links