Grundlæggende rækkefølge
En fundamental sekvens , eller en selvkonvergerende sekvens , eller en Cauchy-sekvens er en sekvens af punkter i et metrisk rum, således at der for enhver given afstand, der ikke er nul, er et element i sekvensen, startende fra hvilket alle elementer i sekvensen er mindre end en given afstand fra hinanden.
Definition
En sekvens af punkter i et metrisk rum kaldes fundamental , hvis den opfylder Cauchy-kriteriet :
For alle er der sådan en naturlig , at for alle .
Relaterede definitioner
- Et metrisk rum, hvor hver grundlæggende sekvens konvergerer til et element i det samme rum, kaldes komplet .
Egenskaber
- Hver konvergent sekvens er fundamental, men ikke enhver fundamental sekvens konvergerer til et element fra dets rum.
- Et metrisk mellemrum er komplet, hvis og kun hvis et system af indlejrede lukkede kugler med uendeligt faldende radius har et ikke-tomt skæringspunkt bestående af et punkt.
- Hvis en sekvens er fundamental og indeholder en konvergent undersekvens, så konvergerer sekvensen selv.
- Hvis en sekvens er fundamental, så er den afgrænset.
Litteratur
- Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse, - M. : Nauka, 2004. - 7. udg.
- Shilov G. E. Matematisk analyse. Funktioner af en variabel. Del 3, - M . : Nauka, 1970.
| Sekvenser og rækker | |
|---|---|
| Sekvenser | |
| Rækker, grundlæggende | |
| Talserier ( operationer med talserier ) | |
| funktionelle rækker | |
| Andre rækketyper | |