Funktionel
En funktionel er en funktion defineret på et vilkårligt sæt og med et numerisk værdiområde : normalt et sæt af reelle tal eller komplekse tal . I en bredere forstand er en funktionel enhver kortlægning fra et vilkårligt sæt til en vilkårlig (ikke nødvendigvis numerisk) ring .
Funktionaler studeres som et af de centrale begreber i funktionsanalyse , og hovedemnet for variationsregningen er studiet af variationer af funktionaler.
Definitioner
Det funktionelle domæne kan være et hvilket som helst sæt. Hvis definitionsdomænet er et topologisk rum , kan en kontinuert funktion defineres ; hvis domænet er et lineært rum over eller over , kan en lineær funktion defineres ; hvis domænet er et ordnet sæt , kan en monoton funktion defineres.
En funktionel defineret på et topologisk rum kaldes kontinuert, hvis den er kontinuert som en afbildning til et topologisk rum eller .
En funktionel defineret på et topologisk rum kaldes kontinuert på et punkt, hvis den er kontinuert på dette punkt som en kortlægning til et topologisk rum eller .
En funktional defineret på et lineært rum og bevare addition og multiplikation med en konstant kaldes en lineær funktional . (Kortlægningen af et lineært rum til et lineært rum kaldes en operator ).
En af de enkleste funktionaliteter er en projektion (tildeling til en vektor af en af dens komponenter eller koordinater).
Ganske ofte spiller dette eller hint rum af funktioner rollen som et lineært rum (kontinuerlige funktioner på et interval, integrerbare funktioner på et plan osv.). Derfor, i anvendte områder, forstås en funktionel ofte som en funktion af funktioner , en afbildning, der konverterer en funktion til et tal (reelt eller komplekst).
En funktional på et lineært rum siges at være positiv bestemt, hvis dens værdi er ikke-negativ og kun er lig med nul ved nul.
Kortlægningen, der transformerer en vektor til sin norm , er en konveks positiv-definitiv funktional, dette er en af de mest almindelige funktionaler. I fysikken bruges ofte handling – også en funktionel.
Optimeringsproblemer er formuleret i funktionalernes sprog : find en løsning (ligninger, ligningssystemer, begrænsningssystemer, ulighedssystemer, inklusionssystemer osv.), der leverer et ekstremum (minimum eller maksimum) til en given funktion. Funktioner tages også i betragtning i analysen af variationer .
Funktionel i lineært rum
Senere blev begrebet en funktionel i et lineært rum adskilt fra begrebet en traditionel funktionel , som en funktion, der kortlægger elementer af et lineært rum ind i dets rum af skalarer . Ofte (for eksempel når funktionernes rum er et lineært rum), falder disse to varianter af begrebet "funktionel" sammen, samtidig er de ikke identiske og absorberer ikke hinanden.
En særlig vigtig slags funktionaler er lineære funktionaler .
Eksempler
- funktionsnorm _
- funktionsværdi ved et fast punkt
- maksimum eller minimum af en funktion på et segment
- værdien af funktionens integral
- længden af plottet af en reel funktion af en reel variabel
- længden af en kurve parametrisk defineret af en vektorfunktion af et reelt argument (vejlængde)
- overfladeareal parametrisk defineret af en vektorfunktion af to reelle argumenter
- skalært produkt med en fast vektor
- handling i mekanik
- energi funktionel
Litteratur
- V. I. Sobolev . Funktionel // Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s. - 35.000 eksemplarer.
- Rudin W. Funktionsanalyse. — M .: Mir , 1975. — 443 s.
 Ordbøger og encyklopædier | |
|---|---|
| I bibliografiske kataloger |
|