Homogen funktion

En homogen gradfunktion er en numerisk funktion, således at for et hvilket som helst af funktionens domæne og for enhver , er ligheden sand: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $\lambda \in \mathbb {R}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)

Parameteren kaldes homogenitetsordenen . Det er underforstået, at hvis det er inkluderet i funktionens domæne, så er alle synspunkter også inkluderet i funktionens domæne. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \mathbf {v}$

Der er også

positivt homogene funktioner, for hvilke lighed kun gælder for positive $(*)$ $\lambda$ $(\lambda >0),$
absolut homogene funktioner , som ligheden gælder for
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
afgrænset homogene funktioner , for hvilke lighed kun gælder for nogle fornemme værdier $(*)$ $\lambda ,$
komplekse homogene funktioner, for hvilke lighed er sand for og eller (såvel som for komplekse eksponenter ). $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $q\in \mathbb {C}$

Alternativ definition af en homogen funktion

I nogle matematiske kilder kaldes funktioner homogene, som er løsningen af den funktionelle ligning

f ( λ v ) = g ( λ ) f ( v ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

med en forudbestemt funktion, og først derefter er det bevist, at løsningens unikke karakter kræver en yderligere betingelse, at funktionen ikke er identisk lig med nul, og at funktionen tilhører en bestemt klasse af funktioner (f.eks. var kontinuert eller var monoton) . Men hvis en funktion er kontinuert i det mindste på ét punkt med en værdi, der ikke er nul, skal den være en kontinuerlig funktion for alle værdier , og for en bred klasse af funktioner er sagen den eneste mulige.

g(\lambda )

g(\lambda )=\lambda ^{q}.

{\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q))

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

\lambda ,

f(\mathbf {v} )

{\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q))

Begrundelse:

En funktion, der er identisk lig med nul, opfylder den funktionelle ligning for ethvert valg af funktion, men dette degenererede tilfælde er ikke af særlig interesse. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ $g(\lambda ),$

Hvis værdien på et tidspunkt er : ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2 })f(\mathbf {v} _{0})$ , hvor: ∀ λ en , λ 2 : g ( λ en λ 2 ) = g ( λ en ) g ( λ 2 ) ; {\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});} $\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});$
$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ hvor $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu)).$

Den funktionelle Cauchy-ligning har en løsning i form af en lineær funktion: Desuden er denne løsning unik for en klasse af kontinuerlige eller en klasse af monotone funktioner. Derfor, hvis det er kendt, at en kontinuerlig eller monoton funktion, så $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ $G(t)=q\cdot t,$ $g(\lambda )$ $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

Bevis for det unikke ved løsningen af den funktionelle Cauchy-ligning 1. Med rationelle er det sandt , fordi:

t=m/n

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) dvs

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) dvs

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );

etc.; 2. Da de irrationelle tal, som vilkårligt kan "klemmes" mellem to rationelle, for kontinuerte eller for monotone funktioner, skal relationen også være opfyldt for irrationelle

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

t;

3. Det sidste trin: forholdet skal indstilles

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

\mu =1.

Bemærk: for bredere klasser af funktioner kan den funktionelle ligning under overvejelse også have andre, meget eksotiske løsninger (se artiklen "Hamels grundlag" ). Bevis for kontinuitet, hvis kontinuitet i det mindste på et tidspunkt

g(\lambda ),

f(\mathbf {v} )

Lad funktionen være kontinuerlig i et fast punkt og overvej identiteten $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).

Når værdien har en tendens til på grund af kontinuiteten af funktionen i punktet Siden betyder det, at den har en tendens til , dvs. at funktionen er kontinuert på punktet Da den kan vælges af alle, så er den kontinuert på alle punkter . $\varepsilon \to 0$ $f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0}.$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepsilon )\lambda _{0})$ $g(\lambda _{0}),$ $g(\lambda )$ $\lambda _{0}.$ $\lambda _{0}$ $g(\lambda )$

Konsekvens: Hvis en homogen funktion er kontinuert i et punkt, så vil den også være kontinuert på alle punkter af formen (inklusive når ). $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} )$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} _{0))$ $f(\mathbf {v} _{0})=0$

Egenskaber

Hvis er homogene funktioner af samme orden, så vil deres

lineære kombination med konstante koefficienter være en homogen funktion af samme orden

f_{1},f_{2},\dots

q,

q.

Hvis der er homogene funktioner med ordrer, så vil deres produkt være en homogen funktion med orden

f_{1},f_{2},\dots

q_{1},q_{2},\dots ,

q=q_{1}+q_{2}+\dots .

Hvis er en homogen ordensfunktion, så vil dens th potens (ikke nødvendigvis heltal), hvis det giver mening (det vil sige hvis er et heltal, eller hvis værdien er positiv), være en homogen ordensfunktion på det tilsvarende domæne. Især hvis er en homogen funktion af ordenen , så vil det være en homogen funktion af rækkefølgen og definitionsdomænet på de punkter, hvor er defineret og ikke er lig med nul.

f

q,

m

m

f

mq

f

q

1/f

(-q)

f

Hvis er en homogen ordensfunktion og er homogene ordensfunktioner, så vil superpositionen af funktioner være en homogen ordensfunktion

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

p,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\dots,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots,h_{n}\ ret)

pq.

Hvis det er en homogen funktion af gradvariabler, og hyperplanet hører til dets definitionsdomæne, så vil funktionen af variable være en homogen funktion af grad

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

n

p,

x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0

\left(nj\right)

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots,x_{n}\right)=f\left(0,\dots,0,x_{j+1}, \dots ,x_{n}\right)

s.

Logaritmen af en nul-ordens homogen funktion eller logaritmen af modulet af en nul-ordens homogen funktion er en nul-ordens homogen funktion. Logaritmen af en homogen funktion eller logaritmen af modulet af en homogen funktion er en homogen funktion, hvis og kun hvis rækkefølgen af homogenitet af selve funktionen er nul.

Modulet for en homogen funktion eller modulet af en absolut homogen funktion er en absolut homogen funktion. Modulet for en homogen funktion eller modulet for en positivt homogen funktion er en positivt homogen funktion. Modulus for en nul-ordens homogen funktion er en nul-ordens homogen funktion. En absolut homogen funktion af orden nul er en homogen funktion af orden nul, og omvendt.

En vilkårlig funktion af en nul-ordens homogen funktion er en nul-ordens homogen funktion.

Hvis der er positive homogene ordensfunktioner, hvor a er en positiv homogen ordensfunktion, så vil funktionen være en positiv homogen ordensfunktion på alle punkter , hvor ligningssystemet , ..., har en løsning. Hvis derudover er et ulige heltal, så kan positiv homogenitet erstattes af almindelig homogenitet. Følge: hvis der er en kontinuerlig eller monoton funktion , og er en homogen eller positivt homogen funktion, hvor er en homogen eller positivt homogen funktion af ikke-

nul orden, så er en potensfunktion på alle punkter , hvor ligningen har en løsning. Især er den eneste monotone eller kontinuerte funktion af en variabel, der er en homogen funktion af orden . (Beviset kopierer argumenterne fra afsnittet "Alternativ definition af en homogen funktion" i denne artikel. Hvis vi desuden fjerner begrænsningen om, at funktionen er kontinuert eller monoton, så kan der være andre, meget eksotiske løsninger på , se artiklen "Hamels grundlag" .)

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots,h_{m}\ ret)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q/p

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

p

g(y)

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

{\displaystyle g(y)=cy^{m))

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)

{\displaystyle f(x)=cx^{q))

q

g(y)

g(y)

Hvis en funktion er et

polynomium i variable, så vil det være en homogen funktion af grad, hvis og kun hvis er et homogent polynomium af grad . Især i dette tilfælde skal homogenitetsrækkefølgen være et naturligt tal eller nul. (Til beviset skal man gruppere monomer af polynomiet med de samme ordener af homogenitet , erstatte resultatet med lighed og bruge det faktum, at potensfunktioner med forskellige eksponenter, herunder ikke-heltals, er lineært uafhængige.) Udsagnet kan generaliseres til tilfældet med lineære kombinationer af monomialer af formen med ikke-heltalsindekser.

f

n

q

f

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Hvis det endelige produkt af polynomier er en homogen funktion, så er hver faktor et homogent polynomium . (For bevisets skyld vælger vi monomer i hver faktor med minimums- og maksimumsordener af homogenitet . Da det resulterende polynomium efter multiplikation skal bestå af

monomer med samme homogenitetsorden, så for hver faktor minimums- og maksimumsordenerne af homogenitet skal være det samme tal.) Påstanden kan generaliseres til tilfældet med lineære kombinationer af monomialer af formen med ikke-heltalsindekser.

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Hvis tælleren og nævneren for en rational brøkfunktion er

homogene polynomier , vil funktionen være homogen med en homogenitetsorden svarende til forskellen mellem tællerens og nævnerens homogenitetsorden. Hvis en rationel brøkfunktion er homogen, er dens tæller og nævner, op til en fælles faktor, homogene polynomier . Påstanden kan generaliseres til tilfældet med en brøk-rationel relation af lineære kombinationer af monomialer af formen med ikke-heltalsindekser.

f={\frac {P_{n}(x_{1},\dots,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\dots,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

En homogen funktion af ikke-nul grad ved nul er lig med nul, hvis den er defineret der: (Den opnås ved at substituere værdien i lighed eller, i tilfælde af en negativ grad af homogenitet, værdien ) En homogen funktion af grad nul, hvis den er defineret til nul, kan tage en hvilken som helst værdi på dette tidspunkt.

f(\mathbf {0} )=0.

(*)

\lambda =0

\mathbf {v} =0.

Hvis en homogen funktion af grad nul er kontinuert ved nul, så er den en konstant (vilkårlig). Hvis en homogen funktion af negativ grad er kontinuert ved nul, så er den identisk nul. (En transformation kan bringe ethvert punkt så tæt på nul som du vil. Derfor, hvis funktionen ved nul er kontinuert, så kan du udtrykke værdien af funktionen i punktet gennem dens værdi i punktet ved hjælp af relationen )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).

En homogen funktion af positiv grad ved nul har en tendens til nul i enhver retning, der kommer ind i dens definitionsdomæne, og en homogen funktion af negativ grad har tendens til uendelig, hvis fortegn afhænger af retningen, medmindre funktionen er identisk nul langs den givne retning. En homogen funktion med positiv grad er kontinuert ved nul eller kan udvides til kontinuert ved nul, hvis dens definitionsdomæne inkluderer et kvarter på nul. En homogen funktion af grad nul kan enten være diskontinuerlig eller kontinuert ved nul, og hvis diskontinuerlig er en retningsafhængig konstant langs hver stråle med et toppunkt i origo, hvis retningen er inden for dets definitionsdomæne. (Den opnås ved at erstatte værdien med lighed )

\varepsilon

(*)

\lambda \to 0.

Hvis en homogen funktion ved nul er

analytisk (dvs. udvider sig til en konvergent Taylor-række med en konvergensradius, der ikke er nul), så er det et polynomium ( homogent polynomium ). Især i dette tilfælde skal rækkefølgen af homogenitet være et naturligt tal eller nul. (For at bevise det er det tilstrækkeligt at repræsentere funktionen som en Taylor-serie , gruppere vilkårene i Taylor-serien med samme homogenitetsorden , erstatte resultatet med lighed og bruge denne potensfunktioner med forskellige eksponenter, inklusive ikke-heltal dem, er lineært uafhængige.)

f

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

Funktionen , hvor er en funktion af variable, er en homogen funktion med homogenitetsrækkefølgen Funktionen hvor er en funktion af variable, er en absolut homogen funktion med homogenitetsrækkefølgen

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

Eulers relation : for differentierbare homogene funktioner er skalarproduktet af deres gradient og vektoren af deres variable proportional med selve funktionen med en koefficient lig med homogenitetsrækkefølgen: eller, i ækvivalent notation, Opnået ved at differentiere lighed mht .

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

\lambda =1.

Hvis er en differentierbar homogen funktion med rækkefølgen af homogenitet , så er dens første partielle afledte med hensyn til hver af de uafhængige variable homogene funktioner med rækkefølgen af homogenitet . For at bevise det, er det tilstrækkeligt at skelne på højre og venstre side af identiteten og opnå identiteten

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}).

Hvis er en homogen funktion med rækkefølgen af homogenitet , så er dens integral (under den betingelse, at et sådant integral eksisterer) over enhver uafhængig variabel startende fra nul homogene funktioner med rækkefølgen af homogenitet . Bevis: (her erstatningen af integrationsvariablen er lavet ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

q+1.

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

Hvis er en homogen funktion med homogenitetsrækkefølgen , så er dens

brøkafledede ( forskelligt integral ) af orden , beregnet som for enhver uafhængig variabel startende fra nul (forudsat at det tilsvarende integral eksisterer, som det er nødvendigt at vælge for ) homogene funktioner med rækkefølgen af homogenitet Overvej funktionen . Derefter (her foretages ændringen af integrationsvariablen ). Efter fold differentiering med hensyn til variablen bliver den homogene ordensfunktion til en homogen funktion med rækkefølgen af homogenitet .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alfa

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha ))){\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

n>\alpha

q-\alpha .

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

n

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q+n-\alpha

q-\alpha

Hvis er en homogen funktion med rækkefølgen af homogenitet , så er dens dimensionelle foldning med en generaliseret Abelsk kerne, beregnet som (under den betingelse, at det tilsvarende integral eksisterer) en homogen funktion med rækkefølgen af homogenitet . Bevis: , hvor ændringen af integrationsvariabler foretages . (Bemærk: kun en del af variablerne kan reduceres.)

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

n

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}} \dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}

{\displaystyle q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n))

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\dots (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1} }\dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

Sætning . Enhver homogen funktion med en rækkefølge af homogenitet kan repræsenteres i formen $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

hvor er en funktion af variable. Enhver absolut homogen funktion med rækkefølgen af homogenitet kan repræsenteres som $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

hvor er en funktion af variable. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Bevis.

Tag en homogen funktion af grad nul. Så når vi vælger, får vi en bestemt version af den nødvendige relation: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda =1/x_{1}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

For en homogen funktion af grad , vil funktionen vise sig at være en homogen funktion af grad nul. Derfor _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q\neq 0,$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Følge. Enhver homogen gradfunktion (absolut homogen gradfunktion ) kan repræsenteres i formen $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

hvor er en passende funktion af variable, er en fast homogen funktion af grad (en fast absolut homogen funktion af grad ), og , ..., er faste funktionelt uafhængige homogene funktioner på nul grad. For et fast valg af funktioner definerer denne repræsentation en en-til-en overensstemmelse mellem homogene gradfunktioner af variable og funktioner af variable. $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$ $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $q$ $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1))$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $n$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Eulers sætning for homogene funktioner . For at en differentierbar funktion skal være en homogen funktion med homogenitetsordenen , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Euler-relationen holder $f(x_1,x_2,...,x_n)$ $q,$

\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Bevis.

Nødvendighed opnås fra differentieringen af ligheden for For at bevise tilstrækkelighed tager vi funktionen for "frosset" Lad os differentiere den mhp. $(*)$ $\lambda =1.$ $\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$ $\lambda :$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

I kraft af betingelsen opnår vi og konstanten bestemmes ud fra tilstanden som et resultat $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $\varphi '(\lambda )=0$ $\varphi (\lambda )=c=konst.$ $c$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Følge. Hvis funktionen er differentierbar, og homogenitetsrelationen på hvert punkt i rummet er gyldig i et bestemt værdiområde , er den gyldig for alle $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Bevis.

Differentiere relationen med hensyn til punktet $(*)$ $\lambda$ $\lambda =\lambda _{0}:$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

Dette betyder, at Euler-relationen holder ved punktet, og på grund af punktets vilkårlighed er punktet også vilkårligt. Ved at gentage ovenstående bevis for Eulers sætning om en homogen funktion, får vi, at homogenitetsrelationen holder ved et punkt, og for et vilkårligt punkt kan man vælge et sådant punkt, at punktet falder sammen med et hvilket som helst forudtildelt punkt i rummet. Derfor er forholdet på hvert punkt i rummet opfyldt for evt ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k))$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $\lambda >0.$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(*)$ $\lambda >0.$

Lambda homogene funktioner

Lad en vektor være givet En funktion af variable kaldes -homogen med rækkefølgen af homogenitet, hvis for nogen og enhver identitet $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $n$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n))$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

For -homogene funktioner går over i almindelige homogene funktioner. Nogle gange introduceres graden af homogenitet i stedet for homogenitetsordenen , som bestemmes ud fra relationen $\lambda _{k}=1$ $\lambda$ $q$ $m$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

hvor For almindelige homogene funktioner er rækkefølgen af homogenitet og graden af homogenitet den samme. $|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$ $q$ $m$

Hvis de partielle afledte er kontinuerte ved , så er for -homogene funktioner den relation, der generaliserer

Euler- relationen og opnået ved at differentiere identiteten for -homogenitet i punktet , sand :

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

\mathbb {R} ^{n}

\lambda

\lambda

t=1

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1 },x_{2},...,x_{n}).

Som ved almindelige homogene funktioner er denne relation nødvendig og tilstrækkelig til at funktionen er en -homogen og en homogenitetsorden funktion med en vektor $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Hvis er -homogen funktion med vektor og homogenitetsorden , så er det også -homogen funktion med vektor og homogenitetsorden (følger af substitutionen til identitet for -homogenitet af den nye parameter ). På grund af dette, når man betragter -homogene funktioner, er det tilstrækkeligt at begrænse os til sagen . Især kan normaliseringen vælges på en sådan måde, at rækkefølgen af homogenitet er lig med en forudbestemt værdi. Uden tab af almenhed kan vi desuden antage det $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ $\alpha q$ $\lambda$ ${\displaystyle t'\to t^{\alpha ))$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=konst.$ $\sum |\lambda _{k}|$ $q$ $\lambda _{k}\neq 0.$

Ved ændring af variable transformeres en -homogen funktion med en vektor og en homogenitetsorden til en almindelig homogen funktion med en homogenitetsorden . Det følger heraf, at den generelle repræsentation for -homogene funktioner med en vektor og homogenitetsorden er: $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k))$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

hvor er en funktion af variable. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Kilde: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Højere matematik: en lærebog for universiteter (i 3 bind), V.2: Differential- og integralregning ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Arkivkopi dateret oktober 1, 2012 på Wayback Machine ), afsnit 8.8.4.

Euler-operator

Differentialoperatør

{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+\ldots + x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

undertiden kaldet Euler-operatoren, analogt med Euler-identiteten for homogene funktioner. Af Eulers sætning for homogene funktioner, givet ovenfor, følger det, at egenfunktionerne af denne operator er homogene funktioner og kun de, og egenværdien for en sådan funktion er dens homogenitetsrækkefølge.

Følgelig er de funktioner, der gør Euler-operatoren til en konstant, logaritmerne af homogene funktioner og kun dem. De funktioner, der forsvinder Euler-operatoren, er de nul-ordens homogene funktioner og kun dem ( logaritmen af den nul-ordens homogene funktion er i sig selv en nul-ordens homogen funktion).

Tilsvarende for differentialoperatøren

{\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

egenfunktioner er -homogene funktioner med en vektor og kun dem, og egenværdien er rækkefølgen af homogenitet af den -homogene funktion. Denne differentialoperator konverteres til en konstant ved

logaritmerne af -homogene funktioner med vektoren og ingen andre funktioner.

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots,\lambda _{n})

\lambda

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots,\lambda _{n})

En yderligere generalisering af Euler-operatoren er differentialoperatoren

\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}},

som reduceres til Euler-operatoren ved ændringen for kl. Også alle differentialoperatorer af formularen reduceres til Euler-operatoren ved ændringen ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1))}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2))}+\ldots + y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k))}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\ret)$ $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k))$ $\mu _{k}=1.$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n))}.$

Kilde: Chi Woo, Igor Khavkine, Eulers teorem om homogene funktioner Arkiveret 2. august 2012 på Wayback Machine ( PlanetMath.org )

Boundedly Homogeneous Functions

En funktion siges at være afgrænset homogen med en eksponent for homogenitet i forhold til mængden af positive reelle tal (kaldet homogenitetsmængden), hvis identiteten gælder for alle og for alle $f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \in \Lambda$

f(\lambda {\vec {x)))=\lambda ^{q}f({\vec {x)))

Homogenitetssættet indeholder altid enheden. Homogenitetssættet kan ikke omfatte et vilkårligt lille kontinuerligt segment - ellers viser en afgrænset homogen funktion sig at være en almindelig homogen funktion (se afsnittet "Nogle funktionelle ligninger relateret til homogene funktioner" nedenfor). Derfor er de afgrænset homogene funktioner af interesse, for hvilke og for hvilke homogenitetssættet er rent diskret. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ $\Lambda \neq \{1\}$ $\lambda$

Eksempel 1. Funktionen er afgrænset homogen med en eksponent for homogenitet i forhold til mængden hvor er heltal. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $m$

Eksempel 2. Funktionen er afgrænset homogen med en eksponent for homogenitet i forhold til mængden hvor er heltal. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2 }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Sætning. For at en funktion defineret ved er afgrænset homogen med rækkefølgen af homogenitet , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at den har formen $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $x_{1}>0,$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

hvor er en funktion, der er

periodisk i en variabel med mindst én periode uafhængig af I dette tilfælde består homogenitetsmængden af tal, hvor perioderne for funktionen er uafhængige af

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})

y

t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.

\lambda

\{e^{Y_{k))\},

Y_{k}

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.

Bevis. Tilstrækkeligheden verificeres direkte; nødvendigheden skal bevises. Lad os lave en ændring af variabler

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

hvor

t_{k}=x_{k}/x_{1},

så hvis vi nu betragter funktionen , så opnår vi ud fra homogenitetsbetingelsen for alle tilladelige ligheden $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ n}),

som vil være gyldig, når Hvis kun sættet ikke består af kun én, så efter udskiftningen , funktionen $\lambda \in \Lambda .$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

viser sig at være periodisk i en variabel med en ikke-nul periode for enhver valgt på en fast måde, da ovenstående lighed indebærer relationen $y$ $\log \lambda$ $\lambda \in \Lambda ,$

H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., t_{n}).

Det er klart, at den valgte faste værdi vil være perioden for funktionen på én gang for alle $\log \lambda$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Konsekvenser:

Hvis der er den mindste positive periode uafhængig af, så har homogenitetsmængden formen hvor er vilkårlige heltal. (Hvis er den mindste positive periode af funktionen, så er alle dens perioder, så tallene vil indgå i homogenitetsmængden. Hvis der er en sådan homogenitetsværdi, vil noget vise sig at være en positiv periode, uafhængigt af hvilken vil være mindre end ) $Y>0,$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=mY$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ $Y.$
Hvis en funktion er en konstant i forhold til en variabel, så har den ikke den mindste positive periode (ethvert positivt tal er dens periode). I dette tilfælde afhænger det ikke af variablen, og funktionen er en almindelig positivt homogen funktion (i hvert fald). Homogenitetssættet i dette tilfælde er hele den positive halvakse (i det mindste). $H(y,\ldots )$ $y,$ $H(y,\ldots )$ $y,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ $\lambda >0$
Eksotiske tilfælde er mulige, når en periodisk funktion ikke har den mindste positive periode, men samtidig ikke er en konstant. For eksempel har

Dirichlet-funktionen , lig med 1 ved rationelle punkter og lig med 0 ved irrationelle punkter, en periode med et hvilket som helst rationelt tal. I dette tilfælde kan homogenitetssættet have en ret kompleks struktur. Men hvis den periodiske funktion for hvert sæt værdier har en grænse i variablen mindst på et tidspunkt, har denne funktion enten den mindste positive periode (og alle andre perioder er multipla af den mindste positive periode) eller er en konstant i variablen

H(y,...)

\lambda

{\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n))

H(y,...)

y

y.

Afgrænset homogene funktioner defineret ved har formen med en passende valgt funktion periodisk i variablen

x<0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

y.

Afgrænset homogene funktioner defineret på hele den reelle akse minus punktet har formen med en korrekt valgt funktion periodisk i variablen (hvor notationen understreger, at for intervallet af værdier og for intervallet af værdier , generelt set, forskellige periodiske funktioner er valgt, hver med et definitionsdomæne , men nødvendigvis med samme periode).

x=0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

y

H_{\pm }(\ldots )

x_{1}>0

x_{1}<0

H(y)

y\in (-\infty ,+\infty )

Formlen er universel, men afspejler ikke ligheden mellem alle variabler. Det er muligt at repræsentere funktionen som hvor perioden af funktionen er lig med normaliseringsfaktoren ikke afhænger af og funktionen er valgt til at være fast. Med en sådan notation antager afgrænset homogene funktioner formen _ _

f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )

G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),

G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

2\pi ,

w

t_{2},\dots ,t_{n},

W(t_{2},\dots ,t_{n})

f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots,x_{ n}),

F(y,x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})

q

{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots,x_{n))

2\pi

y,

Q(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}),

w

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m=0,\pm 1,\pm 2,\dots

Udvider vi den periodiske funktion fra det foregående afsnit til en Fourier-række, kan vi få udtrykket Denne formel er den mest generelle måde at skrive på for stykkevis-kontinuerlige afgrænset homogene funktioner med en rækkefølge af homogenitet og et sæt af homogenitet . Især vil udskiftning af en fast funktion med et sæt af vilkårlige homogene funktioner ikke tilføje generalitet til denne formel, men diversificere kun repræsentationsformen for den samme afgrænset homogene funktion.

F(y,x_{1},\ldots,x_{n})

A_{0}(x_{1},\ldots,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots,x_{n} ),

A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

q,

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})

w,

\Lambda =\{e^{mY}\},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m

q

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})

Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

Bibliografi: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Informationskilde: J.Pahikkala. Afgrænset homogen funktion Arkiveret 23. august 2012 på Wayback Machine ( PlanetMath.org ).

Tilknyttede homogene funktioner

[afsnit endnu ikke skrevet]

Kilde: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogene funktioner og deres anvendelser. Advances in Mathematical Sciences, bind 10 (1955) nr. 3, s. 3-70.

Gensidigt homogene funktioner

[afsnit endnu ikke skrevet]

Kilde: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogene funktioner og deres anvendelser. Advances in Mathematical Sciences, bind 10 (1955) nr. 3, s. 3-70.

Nogle funktionelle ligninger relateret til homogene funktioner

1. Lad

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1 },x_{2},\dots ,x_{n}\right)

for en eller anden funktion på intervallet Hvad skal funktionen være $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)?$

Løsning. Differentiere begge sider af dette forhold med hensyn til Vi opnår $\lambda .$

x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2)))))+\dots +x_{n} {\ frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n)))))={\frac {\partial C\venstre (\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots,x_{n}).

Lad os differentiere begge sider af den samme relation med hensyn til at opnå relationerne $x_{k},$

\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k)))))=C\venstre( \ lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k))}.

Herfra

{\frac {1}{f(x_{1},\dots,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots , x_{n})}{\partial x_{1))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda } } .

Højre side afhænger kun af venstre side afhænger kun af . Derfor er de begge lig med den samme konstant, hvilket vi betegner med. Det følger af betingelserne og betingelserne , at det derfor er en homogen funktion med en homogenitetsparameter. De degenererede tilfælde og behandles særskilt og er uden interesse. $\lambda ,$ $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$ $C\left(1\right)=1$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\equiv 0$

Bemærk. Det er ikke nødvendigt at bruge en betingelse , generelt set, ikke oprindeligt specificeret, og også at tvinge funktionen til at blive betragtet uden for intervallet . Fra ligestilling $C\left(1\right)=1,$ $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f))\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f} {\partial x_{2))}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)=q

ifølge Eulers sætning om homogene funktioner, følger det også, at der er tale om en homogen funktion med en homogenitetsparameter. Derfor følger det især, at hvis homogenitetsrelationen er gyldig for et bestemt interval, så er den gyldig for alle $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Lad

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

for nogle faste og vilkårlige værdier Hvad skal funktionen være $C\neq 0,$ $\lambda \neq 1$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)?$

Løsning. Hvis så problemet reduceres til en funktionel ligning af lavere dimension $x_{1}=0,$

f\left(0,\lambda x_{2},\dots,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots,x_{n}\right) ,

indtil det reducerer til sagen med et åbenlyst svar . Derfor kan vi yderligere kun overveje sagen $f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\dots ,0\right)$ $f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$ $x_{1}\neq 0.$

Vi laver en ændring af variable.Så tager den funktionelle ligning også formen $x_{1}=y,$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})\til F(y,t_{2},\dots,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).

Vi bør separat overveje sagerne og og og lad og derefter, efter at have taget logaritmen af begge dele af ligheden og erstatningen, opnår vi betingelsen $C>0$ $C<0,$ $\lambda >0$ $\lambda <0,$ $y>0$ $y<0.$ $C>0,$ $\lambda >0$ $y>0.$ $\log y\to t,$ $\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\dots )$

\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),

hvoraf det følger, der har formen hvor er en funktion, der er periodisk i en variabel med en periode . $\Phi \left(t,\dots \right)$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda .$

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\right),

hvor er en funktion, der er periodisk i en variabel med en periode og opfylder den nødvendige funktionelle relation til $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda ,$ $x_{1}>0.$

En erstatning bruges til halvaksen , og efter lignende ræsonnementer får vi det endelige svar: $x_{1}<0$ $\log(-y)\to t$

a) hvis da

x_{1}>0

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\ret),

b) hvis da

x_{1}<0

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\ret),

eller i kort form

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

hvor notationen understreger, at for og for disse generelt er to forskellige periodiske funktioner og , hver med et definitionsdomæne og forskellige værdier for dette domæne, men samtidig med samme periode. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $\Omega _{+}\left(t,\dots \right)$ $\Omega _{-}\left(t,\dots \right)$ $t\in (-\infty ,+\infty )$

Sagen er forenklet af det faktum, at fra kæden af relationer $C<0,$ $\lambda >0$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n }\right)=C^{2}F\venstre(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

følger den sag, vi allerede har behandlet. Så funktionen kan skrives som $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

hvor er en funktion, der er periodisk i en variabel med en periode. At erstatte dette udtryk i den oprindelige ligning viser, at det ikke bare er en periodisk funktion med en periode, men en anti-periodisk funktion med en periode $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log \lambda .$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $2\log \lambda ,$ $\log \lambda :$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)

(Selvfølgelig indebærer anti-periodicitet med periode periodicitet med periode ). Det modsatte er indlysende: den angivne formel med en anti-periodisk funktion opfylder den nødvendige funktionelle ligning. $\log \lambda$ $2\log \lambda$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$

Etuiet har den ekstra egenskab, at semiakserne og semiakserne påvirker hinanden. Overvej sagen Så fra kæden af relationer $\lambda <0$ $y<0$ $y>0$ $y>0.$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots,t_{n }\right)=C^{2}F\venstre(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

det følger, at for skal funktionen have formen $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\log |\lambda |}}\right),

hvor er en funktion, der er periodisk i en variabel med en periode og et definitionsdomæne Siden da er hvert positivt punkt en-til-en med et negativt punkt med værdien af funktionen lig med . Som et resultat, under hensyntagen til periodiciteten af funktionen , beregnes funktionen som $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty ,+\infty ).$ $\lambda <0,$ $x_{1}>0$ $\lambda x_{1}<0$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right).$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)$

a) kl

x_{1}>0:

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\log |\lambda |}}\right),

b) hvornår

x_{1}<0:

f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=tegn(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),

hvor er en funktion periodisk i en variabel med en periode Det er nemt at kontrollere, at den funktion, der er defineret på denne måde for casen, virkelig opfylder den ønskede funktionelle ligning både for $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})$ $\lambda <0$ $x_{1}>0,$ $x_{1}<0.$

Bemærk. Hvis en funktion opfylder den angivne funktionelle ligning for nogle , så er det let at se, at den opfylder den samme funktionelle ligning for andre værdisæt . Så i tilfældet vil sættet af sådanne par være for alle ikke-nul heltalværdier hvor hele tallet er valgt, så værdien er den mindste positive periode for en funktion . Introduktion af notationen , så vi får den betingelse, der svarer til afgrænset homogene funktioner. Udskiftningen bringer repræsentationen af afgrænset homogene funktioner til den sædvanlige form. $C_{0},\lambda _{0},$ $\left(C,\lambda\right).$ $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$ $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m))$ $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$ $m$ $|\log \lambda _{0}|/m$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0))$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$

3. Yderligere funktionelle ligninger er tilgængelige i afsnittene "Associerede homogene funktioner" og "Gensidigt homogene funktioner" i denne artikel.

Homogene generaliserede funktioner

Generaliserede funktioner eller fordelinger er defineret som lineære kontinuerlige funktionaliteter defineret på rummet af "god nok" funktioner. I tilfælde af homogene generaliserede funktioner er det praktisk at bruge rummet af funktioner, der har afledede af en hvilken som helst rækkefølge og aftager hurtigere end nogen grad som "tilstrækkeligt gode" funktioner. I dette tilfælde er enhver almindelig funktion, der kanintegreres i ethvert endeligt domæne, forbundet med det funktionelle $\mathbb{S}$ $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),$ $\left|x\right|\to \infty$ ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,

defineret i rummet og åbenlyst lineært og kontinuerligt. Generaliserede funktioner gør det muligt at forenkle overvejelsen af mange analysespørgsmål (for eksempel har enhver generaliseret funktion afledte funktioner af enhver rækkefølge, tillader en Fourier-transformation osv.), samt legitimere sådanne eksotiske objekter som -funktionen og dens afledninger . $\varphi \in \mathbb {S}$ $\delta$

For almindelige integrerbare funktioner , der er homogene med en eksponent for homogenitet , gælder den let verificerbare identitet $f(x_{1},\dots,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ prikker ,x_{n}\right)\right].\qquad \qquad \qquad (**)

Denne identitet tages som definitionen af en generaliseret homogen funktion: en homogen generaliseret funktion med en eksponent for homogenitet (generelt set kompleks) er en lineær kontinuerlig funktion, der er defineret i rummet og opfylder identiteten (**). $q$ $\varphi \in \mathbb {S}$

De tilhørende homogene generaliserede funktioner er defineret på lignende måde. Den tilknyttede homogene generaliserede ordensfunktion med en eksponent for homogenitet er en lineær kontinuerlig funktional, der for enhver opfylder relationen $T_{k}\left[\varphi \right]$ $k$ $q$ $\lambda >0$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ prikker ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\dots ,x_{n}\right)\right],

hvor er en adjoint homogen generaliseret funktion af th orden med en eksponent for homogenitet $T_{k-1}\left[\varphi \right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Eksempel. En generaliseret funktion er en homogen generaliseret funktion med en eksponent for homogenitet siden $\delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $(-n)$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0 ,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots,x_{n})].$

Studiet af homogene generaliserede funktioner gør det muligt at give meningsfuld mening til integraler med singulære singulariteter, der ikke er integrerbare i sædvanlig forstand. Betragt f.eks. en generaliseret funktion. Denne funktion er defineret for og, da den er let at kontrollere, er en homogen generaliseret funktion med en eksponent for homogenitet . Med et fast valg af testfunktionen kan værdien betragtes som en funktion. af en kompleks variabel , og generelt kan den analytisk fortsættes uden for det givne interval. Nemlig højre og venstre side af ligestillingen $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $\varphi \left(x\right)$ $q$

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

er analytiske i variablen og identisk med hinanden for . Men højre side af ligheden giver mening og er også analytisk for . På grund af dette er højre side af ligheden en analytisk fortsættelse af venstre -hånd side af ligheden for Som følge heraf ligheden $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\venstre(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

definerer en lineær kontinuerlig funktional, der er en forlængelse af den tidligere definerede funktional op til værdier . Formlerne for og for giver det samme resultat for de samme værdier , hvor de begge giver mening: denne definition er konsistent. Den generaliserede funktion, der nu er defineret for alle , er stadig en homogen generaliseret funktion, eftersom homogenitetsrelationen er bevaret under analytisk fortsættelse. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ $q,$ $T_{q}^{+},$ $q,$

Med hjælpen bestemmes de

regulariserede værdier af integralet , der giver mening for ethvert kompleks . Undtagelser er heltalsværdier, hvor det regulariserede integral er ental: det funktionelle som funktion af en variabel i et punkt har en simpel pol med en rest

T_{q}^{+}\left[\varphi \right]

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,

q.

q=-1,-2,\dots ,-n,\dots ,

T_{q}^{+}\left[\varphi \right]

q

q=-n

\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.

I henhold til samme skema kan den tilstødende homogene funktion fortsættes analytisk. Med dens hjælp bestemmes regulariserede værdier for integraler , der giver mening kl. $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

På en lignende, men mere kompleks måde er homogene generaliserede funktioner og tilhørende homogene generaliserede funktioner konstrueret for variables tilfælde. Detaljer kan findes i bibliografien citeret her. Teorien om homogene generaliserede funktioner gør det muligt konstruktivt at forstå, som anvendt på rummet af generaliserede funktioner, almindelige funktioner, der har ikke-integrerbare singulariteter - beregne integraler af sådanne funktioner, finde deres Fourier-transformation osv. $n$

Bibliografi: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Homogene funktioner og deres anvendelser. Advances in Mathematical Sciences, bind 10 (1955) nr. 3, s. 3-70.

Homogen funktion

Alternativ definition af en homogen funktion

Egenskaber

Lambda homogene funktioner

Euler-operator

Boundedly Homogeneous Functions

Tilknyttede homogene funktioner

Gensidigt homogene funktioner

Nogle funktionelle ligninger relateret til homogene funktioner

Homogene generaliserede funktioner

Se også