Dobbelt plads

Det dobbelte rum (nogle gange det dobbelte rum ) er rummet af lineære funktionaler på et givet vektorrum .

Definition

Sættet af alle kontinuerlige lineære funktionaler defineret på et topologisk vektorrum danner også et vektorrum. Dette mellemrum kaldes dobbelt til , det er normalt betegnet . Sættet af alle lineære funktionaler på , ikke nødvendigvis kontinuerte, kaldes algebraisk konjugeret til , det er normalt betegnet [1] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$ $E$ $E^{\#}$

I tilfældet (normalt betragtet i lineær algebra), hvor vektorrummet er endelig-dimensionelt, er alle lineære funktionaler automatisk kontinuerte, og det dobbelte rum består simpelthen af alle lineære funktionaler (funktioner) på . I tilfældet (normalt betragtet i funktionel analyse), når uendelig-dimensionel, generelt set, [1] . $E$ $E^{*}=E^{\#}$ $E$ $E$ $E^{*}\neq E^{\#}$

I tensorregning bruges betegnelsen for elementer (øvre eller kontravariant indeks) og for elementer (nedre eller kovariant indeks). $x^{k}$ $E$ $x_k$ $E^{*}$

Dobbelte kortlægninger

En dobbelt mapping er en lineær mapping mellem vektorrum dobbelt til data, induceret af en mapping mellem selve mellemrummene.

Lad være vektorrum og være dobbelte vektorrum. For enhver lineær mapping er den dobbelte mapping (i omvendt rækkefølge) defineret som $V,W$ $V^{*},W^{*}$ $f:V\to W$ $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$

f^{*}(\varphi )=\varphi \circ f\,

for enhver . $\varphi \in W^{*}$

Egenskaber

Finit-dimensionelle rum [2]

Det dobbelte rum har samme dimension som rummet over marken . Derfor er mellemrummene og isomorfe . $E^{*}$ $E$ $F$ $E$ $E^{*}$
Hver rumbasis kan associeres med den såkaldte dobbelte (eller reciproke ) rumbasis , hvor den funktionelle er en projektion på en vektor : ${\displaystyle e^{1},\ldots,e^{n))$ $E$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $E^{*}$ $e_{i}$ ${\displaystyle e^{i))$ $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i} ,\quad \forall x\in E.$
Hvis rummet er euklidisk , det vil sige skalarproduktet er defineret på det , så er der mellem og en såkaldt kanonisk isomorfi (det vil sige en isomorfi, der ikke afhænger af de valgte baser), defineret af relationen $E$ $E$ $E^{*}$ $v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$
Det andet dobbeltrum er isomorft til . Desuden er der en kanonisk isomorfi mellem og (det antages ikke, at rummet er euklidisk) defineret af relationen $E^{{**}}$ $E$ $E$ $E^{{**}}$ $E$ $x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.$
Den kanoniske isomorfi defineret ovenfor viser, at mellemrummene og spiller en symmetrisk rolle: hver af dem er dobbelte i forhold til den anden. For at fremhæve denne symmetri skrives for ofte som et prikprodukt. $E\to E^{**}$ $E$ $E^{*}$ $x\in E,\ f\in E^{*}$ $f(x)=(x,f)$

Uendelige dimensionelle rum

Hvis vektorrummet er normeret , har det dobbelte rum en naturlig norm - dette er operatørnormen for kontinuerlige funktionaler. Pladsen er Banach [3] [1] . $E$ $E^{*}$ $E^{*}$

Hvis rummet er Hilbert , så er der ifølge Riesz-sætningen en isomorfi mellem og , og i lighed med det finit-dimensionelle tilfælde kan hver lineært afgrænset funktional repræsenteres gennem et indre produkt ved hjælp af et rumelement [4] . $E$ $E$ $E^{*}$ $E$

Konjugatet til rummet $L^{p}$ , , er rummet , hvor . På samme måde er konjugeret til , , med samme forhold mellem p og q . $1<p<\infty$ $L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $l^{p}$ $1<p<\infty$ ${\displaystyle l^{q))$

Variationer og generaliseringer

Udtrykket dobbeltrum kan have en anden betydning for vektorrum i forhold til feltet af komplekse tal : et rum, der falder sammen med som et reelt vektorrum, men med en anden struktur af multiplikation med komplekse tal: $\bar E$ $E$ ${{\bar c}}{{\bar x}}=\overline {cx}$
Hvis der er en hermitisk metrik i rummet (for eksempel i et Hilbert-rum ), falder de lineært konjugerede og komplekse konjugerede rum sammen.

Se også

Noter

↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i funktionsteorien og funktionsanalysen. - Enhver udgave.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. III, § 7. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 2. udg. Moskva: Nauka, 1965, s. 147.
↑ Halmos P. Målteori. M.: Forlag for udenlandsk litteratur, 1953.