Dirichlet integral

I matematik er der flere integraler kendt som Dirichlet-integralet , opkaldt efter den tyske matematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet , hvoraf det ene er det ukorrekte integral af sinc-funktionen over den positive reelle linje:

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2)).

Dette integral er ikke absolut konvergent , hvilket betyder, at det ikke er Lebesgue-integrerbart, og følgelig er Dirichlet-integralet ikke defineret i henhold til Lebesgue-integration . Det er dog defineret efter et ukorrekt Riemann-integral eller et generaliseret Riemann- eller Henstock-Kurzweil-integral . [1] [2] Værdien af integralet (ifølge Riemann- eller Henstock-integralet) kan opnås på en række forskellige måder, herunder via Laplace-transformationen, dobbeltintegration, differentiering under integraltegn, konturintegration og Dirichlet kerne . ${\Biggl |}{\frac {\sin x}{x}}{\Biggl |}$

Definition

Laplace transformation

Lad funktionen defineret når som helst . Så har Laplace-transformationen af funktionen formen $f(t)$ $t\geq 0$

{\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,

hvis integralet eksisterer. [3]

Egenskab for Laplace-transformationen, nyttig til beregning af ukorrekte integraler:

{\mathcal {L}}{\Biggl [}{\frac {f(t)}{t}}{\Biggl ]}=\int _{s}^{\infty }F(u)\ ,du,

forudsat at den findes. $\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(t)}{t))$

Denne egenskab kan bruges til at beregne Dirichlet-integralet som følger:

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t))\,dt&=\lim _{s\rightarrow 0}\int _{0 }^{\infty }e^{-st}{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\lim _{s\rightarrow 0}{\mathcal {L}}{\Biggl [}{ \frac {\sin t}{t)){\Biggl ]}\\[6pt]&=\lim _{s\højrepil 0}\int _{s}^{\infty }{\frac {du}{ u^{2}+1}}=\lim _{s\rightarrow 0}\arctan u{\Biggl |}_{s}^{\infty }\\[6pt]&=\lim _{s\rightarrow 0}{\Biggl [}{\frac {\pi }{2}}-\arctan(s){\Biggl ]}={\frac {\pi }{2)),\end{aligned))

siden Laplace-transformationen af funktionen . (Se differentiering under "Differentiering under integraltegn".) ${\mathcal {L}}\{\sin t\}={\frac {1}{s^{2}+1}}$ $\sin t$

Dobbelt integration

At beregne Dirichlet-integralet ved hjælp af Laplace-transformationen svarer til at forsøge at beregne det samme to gange definerede integral på to forskellige måder, ved at vende integrationsrækkefølgen om , nemlig:

\left(I_{1}=\int _{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}e^{-st}\sin t\,dt\,ds\right )=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty}\int _{0}^{\infty}e^{-st}\sin t\,ds\,dt\right) ,

\left(I_{1}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s^{2}+1}}\,ds={\frac {\pi }{ 2}}\right)=\left(I_{2}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt\right),

på betingelse

s>0.

Differentiering under integraltegn (Feynmans trick)

Lad os først omskrive integralet som en funktion af den ekstra variabel . Lade $-en$

f(a)=\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega .

For at beregne Dirichlet-integralet skal vi definere . $f(0)$

Differentier med og anvend Leibniz-formlen til differentiering under integraltegnet for at få $-en$

{\begin{aligned}{\frac {df}{da}}&={\frac {d}{da}}\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega } {\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega =\int _{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial a}}e^{-a\ omega }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega \\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }\sin \omega \,d\omega .\end{aligned}}

Nu, ved hjælp af Euler -formlen, kan vi udtrykke sinusoidet i form af komplekse eksponentielle funktioner. Således har vi $e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega ,$

\sin(\omega )={\frac {1}{2i}}\left(e^{i\omega}-e^{-i\omega }\right).

Følgelig,

{\begin{aligned}{\frac {df}{da}}&=-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }\sin \omega \,d\omega =-\int _{0}^{\infty }e^{-a\omega }{\frac {e^{i\omega }-e^{-i\omega }}{2i}}d\omega \ \[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\int _{0}^{\infty }\left[e^{-\omega (ai)}-e^{-\omega (a +i)}\right]d\omega \\[6pt]&=-{\frac {1}{2i}}\venstre[{\frac {-1}{ai}}e^{-\omega (ai )}-{\frac {-1}{a+i}}e^{-\omega (a+i)}\right]{\Biggl |}_{0}^{\infty }\\[6pt] &=-{\frac {1}{2i}}\left[0-\left({\frac {-1}{ai}}+{\frac {1}{a+i}}\right)\right ]=-{\frac {1}{2i}}\left({\frac {1}{ai}}-{\frac {1}{a+i}}\right)\\[6pt]&=- {\frac {1}{2i}}\left({\frac {a+i-(ai)}{a^{2}+1}}\right)=-{\frac {1}{a^{ 2}+1}}.\end{aligned}}

Integrering over giver $-en$

f(a)=\int {\frac {-da}{a^{2}+1}}=A-\arctan a,

Hvor skal integrationskonstanten bestemmes. Fordi at bruge hovedværdien. Det betyder $EN$ $\lim _{a\to \infty }f(a)=0,$ $A=\lim _{a\to \infty }\arctan(a)={\frac {\pi }{2)),$

f(a)={\frac {\pi }{2}}-\arctan {a}.

Endelig, for vi har , som før. $a=0$ $f(0)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(0)={\frac {\pi }{2}}$

Kompleks integration

Det samme resultat kan opnås ved kompleks integration. Overveje

f(z)={\frac {e^{iz}}{z}}.

Som funktion af en kompleks variabel har den en simpel pol ved oprindelsen, som forhindrer anvendelsen af Jordans lemma , hvis øvrige betingelser er opfyldt. $z$

Vi definerer en ny funktion [4]

g(z)={\frac {e^{iz}}{z+i\varepsilon }}.

Polen er blevet flyttet væk fra den reelle akse, så den integreres langs halvcirklen med radius i midten og er lukket langs den reelle akse. Så tager vi grænsen . $g(z)$ $R$ $z=0$ $\varepsilon \rightarrow 0$

Det komplekse integral er nul ved restsætningen , da der ikke er nogen poler inde i integrationsvejen.

0=\int _{\gamma }g(z)\,dz=\int _{-R}^{R}{\frac {e^{ix}}{x+i\varepsilon }}\ ,dx+\int _{0}^{\pi }{\frac {e^{i(Re^{i\theta }+\theta )}}{Re^{i\theta}+i\varepsilon }}iR \,d\theta .

Det andet udtryk forsvinder, når det nærmer sig uendeligheden. Hvad angår det første integral, kan vi bruge en version af Sochocki-Plemelj-sætningen til integraler langs den reelle linje: for en kompleks funktion f defineret og kontinuerligt differentierbar på den reelle linje og reelle konstanter og , velvidende at vi kan finde $R$ $-en$ $b$ $a<0<b$

\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

hvor angiver Cauchy-hovedværdien . Vender man tilbage til den oprindelige udregning ovenfor, kan man skrive ${\mathcal {P}}$

0={\mathcal {P}}\int {\frac {e^{ix}}{x}}\,dx-\pi i.

Tager vi den imaginære del på begge sider og bemærker, at funktionen er lige, får vi $\sin(x)/x$

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=2\int _{0}^{+\infty }{\ frac {\sin(x)}{x}}\,dx.

Langt om længe,

\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\int _{0}^ {\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.

Alternativt kan du vælge som en integrationskontur at kombinere de øvre halvflade halvcirkler af radier og sammen med de to segmenter af den rigtige linje, der forbinder dem. På den ene side er konturintegralet lig nul uanset og ; på den anden side, for og den imaginære del af integralet konvergerer til ( er enhver gren af logaritmen på den øverste halvplan), hvilket fører til . $f$ $\varepsilon$ $R$ $\varepsilon$ $R$ $\varepsilon \to 0$ $R\to \infty$ $2I+\Im {\big (}\ln 0-\ln(\pi i){\big )}=2I-\pi$ $\ln z$ $I={\frac {\pi }{2}}$

Dirichlet kerne

Lade

D_{n}(x)=1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(2kx)={\frac {\sin[(2n+1)x]}{\sin (x)}}

vil være en Dirichlet-kerne . [5]

Derfor følger det

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\frac {\pi}{2)).$

Vi definerer

f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{\sin(x)))&x\neq 0\\[6pt]0&x= 0\end{cases}}

Det er klart, at det er kontinuerligt, når L'Hopitals regel anvendes for at se dens kontinuitet ved 0 . $f$ $x\neq 0$

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)-x}{x\sin(x)))=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos( x)-1}{\sin(x)+x\cos(x)}}=\lim _{x\til 0}{\frac {-\sin(x)}{2\cos(x)-x \sin(x)}}=0.

Opfylder derfor kravene i Riemann-Lebesgue-lemmaet . Det betyder $f$

\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\sin(\lambda x)dx=0\Rightarrow \lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx=\lim _{\lambda \to \infty }\int _{a}^{b} {\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)))dx.

(Formen af Riemann-Lebesgue-lemmaet, der bruges her, er bevist i den citerede artikel.)

Vælg grænser og . Det vil vi gerne sige $a=0$ $b=\pi /2$

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t}}dt=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\sin(t)}{t}}dt\\[6pt]=&\lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{x}}dx\\[6pt]=&\lim _{\ lambda \to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin(\lambda x)}{\sin(x)))dx\\[6pt] =&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin((2n+1)x)}{\sin(x) )}}dx\\[6pt]=&\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}D_{n}(x)dx={\ frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

Men for at gøre dette skal vi retfærdiggøre at skifte den reelle grænse ind til den integrale grænse i . Faktisk er dette berettiget, hvis vi kan vise, at grænsen faktisk eksisterer. Lad os bevise det. $\lambda$ $n$

Ved at bruge integration af dele har vi:

\int _{a}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}dx=\int _{a}^{b}{\frac {d(1-\cos( x))}{x}}dx=\venstre.{\frac {1-\cos(x)}{x}}\right|_{a}^{b}+\int _{a}^{b }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}dx

Nu, siden og , konvergerer udtrykket til venstre uden problemer. Se listen over grænser for trigonometriske funktioner . Nu vil vi vise, at vi integrerer, hvilket betyder, at grænsen eksisterer. [6] $a\to 0$ $b\to \infty$ $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(x)}{x^{2))}dx$

Først sigter vi mod at evaluere integralet nær oprindelsen. Ved at bruge Taylor-seriens udvidelse af cosinus nær nul,

1-\cos(x)=1-\sum _{k\geq 0}{\frac {x^{2k}}{2k!}}=-\sum _{k\geq 1}{\ frac {x^{2k}}{2k!}}.

Følgelig,

\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2}}}\right|=\left|-\sum _{k\geq 0}{\frac {x^{ 2k}}{2(k+1)!}}\right|\leq \sum _{k\geq 0}{\frac {|x|^{k}}{k!}}=e^{|x |}.

At bryde integralen i dele, får vi

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {1-\cos(x)}{x^{2))}\right|dx\leq \int _{- \infty }^{-\varepsilon }{\frac {2}{x^{2))}dx+\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{|x|}dx+\int _{\ varepsilon }^{\infty }{\frac {2}{x^{2}}}dx\leq K,

for nogle konstante . Dette viser, at integralet er absolut integrerbart, hvilket betyder, at det oprindelige integral eksisterer, og overgangen fra til faktisk var berettiget, og beviset er fuldstændigt. $K>0$ $\lambda$ $n$

Se også

Noter

↑ Bartle, Robert G. (10. juni 1996). "Tilbage til Riemann-integralet" (PDF) . American Mathematical Monthly ]. 103 (8): 625-632. DOI : 10.2307/2974874 . JSTOR 2974874 . Arkiveret fra originalen (PDF) 2017-11-18 . Hentet 2020-12-03 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ Bartle, Robert G. Kapitel 10: Det generaliserede Riemann-integral // Introduction to Real Analysis : [ eng. ] / Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert. - John Wiley & Sons, 2011. - S. 311 . - ISBN 978-0-471-43331-6 .
↑ Zill, Dennis G. Kapitel 7: Laplace -transformationen // Differentialligninger med grænseværdiproblemer : [ eng. ] / Dennis G. Zill, Warren S. Wright. — Cengage Learning, 2013. — S. 274-5 . — ISBN 978-1-111-82706-9 .
↑ Appell, Walter. Matematik for fysik og fysikere . Princeton University Press, 2007, s. 226. ISBN 978-0-691-13102-3 .
↑ Chen, Guo (26. juni 2009),En behandling af Dirichlet-integralet via metoderne til reel analyse, < https://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2009/REUPapers/ChenGuo.pdf > . Hentet 3. december 2020. .
↑ RC Daileda,Ukorrekte integraler, < http://ramanujan.math.trinity.edu/rdaileda/teach/m4342f10/improper_integrals.pdf > . Hentet 3. december 2020. .

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler