Dirichlet kerne

Dirichlet-kernen er en -periodisk funktion givet af følgende formel [1] [2] : $2\pi$

D_{n}(x)=\sum _{{k=-n}}^{n}{\frac {e^{{ikx}}}{2}}={\frac {1}{2}} +\sum _{{k=1}}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right )}{2\sin(x/2)}}.

Funktionen er opkaldt efter den fransk-tyske matematiker Dirichlet . Denne funktion er en kerne , foldning , som giver en delsum af den trigonometriske Fourier-række . Dette giver os mulighed for analytisk at vurdere forholdet mellem den oprindelige funktion og dens tilnærmelser i rummet . $L_2[-\pi,\pi]$

Forholdet til Fourier-serien

Lad være integrerbar på og -periodisk, så $f(x)$ $[-\pi ,\pi ]$ $2\pi$ $\forall x\in {\mathbb {R}}~\forall n\in {\mathbb {N}}$

$S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\ sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _ {-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du$

Denne formel er en af de vigtigste i teorien om Fourier-serier.

Bevis

Overvej den n'te delsum af Fourierrækken.

$S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{{k=1}}^{{n}}(a_{k}\cos( kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)dt+\sum _{{k =1))^{n}\venstre[\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\cos(kt )dt\right)\cos(kx)+\left({\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\sin(kt )dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\venstre[{\frac 1{ 2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\venstre(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\ qquad(3)$

Ved at anvende differenscosinusformlen på udtrykket under sumtegnet får vi:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t)\venstre[{\frac 1{ 2}}+\sum _{{k=1}}^{n}\left(\cos(k(tx)\right)\right]dt\qquad (4)$

Overvej summen af cosinus: ${\frac 1{2))+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )$

Vi multiplicerer hvert led med og transformerer efter formlen $2\sin({\frac \alpha {2)))$ $2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )$

$2\sin({\frac \alpha {2}})\venstre({\frac 1{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha ) \right)=\sin {\frac \alpha {2}}-\sin {\frac \alpha {2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3 \alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha$

Ved at anvende denne transformation til formel (4) får vi:

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(t){\frac {\sin(n+ {\frac {1}{2)))(tx)}{2\sin {\frac {tx}{2))))dt\qquad (5)$

Vi laver en ændring af variabel $u=tx$

$S_{n}(f;x)={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi -x}}^{{\pi -x}}f(x+u){\ frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac 1{\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac { u}{2}}}}du\qquad (6)$

Egenskaber for Dirichlet-kernen

$D_{n}(x)$ er en -periodisk og jævn funktion . $2\pi$
$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }$

Noter

↑ Mathematical Encyclopedia / Vinogradov I.M. - M .: Soviet Encyclopedia. - T. 2. - S. 194.
↑ Dirichletkernel . (ubestemt)

Se også

Konjugeret Dirichlet Kernel
Fejérs kerne
Jacksons kerne