Kardinal sinus

Kardinal sinus , sinc (af lat. sinus cardinalis ) - matematisk funktion . Betegnes med sinc( x ) . Den har to definitioner - for henholdsvis den normaliserede og ikke- normaliserede sinc - funktion :

I digital signalbehandling og kommunikationsteori er den normaliserede sinc - funktion normalt defineret som $\operatørnavn{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( \pi x \right)}{\pi x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$
I matematik er den unormaliserede sinc- funktion defineret som $\operatornavn{sinc}\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}l} \frac{\sin \left( x \right)}{x} & ; & x\ne 0 \\ 1 & ; & x=0 \\ \end{array} \right.$

Normaliseringen af funktionen udføres fra tilstanden:

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax))\,dx=1

hvor $a=\pi .$

for ikke-normaliseret funktion ( ): $a=1$

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .

I begge tilfælde er værdien af funktionen i entalspunktet x = 0 eksplicit sat til én ( se bemærkelsesværdige grænser ). Således er sinc- funktionen analytisk for enhver værdi af argumentet.

Egenskaber

Den normaliserede sinc-funktion har følgende egenskaber:

$\operatørnavn{sinc}\left(0\right) = 1$ og for alle og ( heltal ); det vil sige, det er en interpolant . $\operatørnavn{sinc}\left(k\right) = 0$ $k\neq 0$ $k\in\mathbb{Z}$

funktionerne danner et ortonormalt grundlag for funktionerne i funktionsrummet med den højeste cirkulære frekvens . $x_k\left(t\right)=\operatørnavn{sinc}\left(tk\right)$ $L^2\venstre(\R\højre)$ $\omega_H = \pi$

Det lokale maksimum og minimum af den unormaliserede funktion sinc falder sammen med værdierne af cosinus, det vil sige, hvor den afledede er lig med nul (lokalt ekstremum i punktet ), er betingelsen opfyldt . $\frac{\sin x}{x}$ $x=a$ $\frac{\sin a}{a} = \cos a$

Den unormaliserede sinc-funktion forsvinder, når argumentet er et multiplum af π , mens den normaliserede sinc- funktion forsvinder, når argumentet er et heltal.

Integralets sinus er defineret gennem integralet af funktionen sinc( x ) .

Den kontinuerlige Fourier-transformation af en normaliseret funktion (for et enhedsfrekvensinterval) er lig med en rektangulær funktion . $\operatørnavn{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ $\operatørnavn{ret}\venstre(f\højre)$

\int\limits_{-\infty}^\infty \operatørnavn{sinc}\left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt = \operatørnavn{rect}\left(f\right)

, hvor en rektangulær funktion er en funktion, der tager værdien 1 for ethvert argument mellem −1 og 1/2, og er lig med nul for enhver anden værdi af argumentet.

Nedbrydning til et uendeligt produkt :

\operatørnavn{sinc}\left(x\right) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2} {n^2}\right)

Udtryk i form af gammafunktionen :

\operatørnavn{sinc}(x) = \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma\left(1+x\right)\Gamma\left(1-x\ ret)}

hvor er gammafunktionen.

\gamma\venstre(x\højre)

Anvendelse og applikationer

Som Fourier-transformationen af en rektangulær funktion opstår sinc-funktionen i problemet med bølgeudbredelse fra nærfeltet til det fjerne felt ( Fraunhofer -diffraktion , spalte-diffraktion ). sinc-funktionen findes i antenneteori , radar , akustik osv.
E. T. Whittaker viste, at sinc-funktionen spiller en central rolle i teorien om interpolation på et gitter af ækvidistante punkter.
I kommunikationsteori giver sinc-funktionen dig ofte mulighed for at gendanne et analogt signal fra dets samples unikt og uden tab ( Kotelnikovs teorem ).
Den samme idé ligger til grund for Lanczos-filteret , som især bruges til resampling af signaler.
Det søges ofte at reducere effekten af modulets sekundære maksima, der resulterer i uønskede sidelapper i strålingsmønsteret .
Sinc-funktionens kvadrat bruges ofte, hvilket giver intensiteten eller effekten af signalet, hvis amplitude er beskrevet af sinc-funktionen.
Da værdier falder hurtigt, når argumentet stiger, er kvadratet af sinc-funktionen ofte repræsenteret på en logaritmisk skala .

Signalbehandling

Et sinc-filter er et ideelt elektronisk filter , der undertrykker alle frekvenser i signalspektret over en bestemt afskæringsfrekvens , og efterlader alle frekvenser under denne frekvens uændrede. I frekvensdomænet ( AFC ) er en rektangulær funktion , og i tidsdomænet (impulsrespons) er en sinc-funktion.

Kardinal sinus

Egenskaber

Anvendelse og applikationer

Signalbehandling

Se også