Sokhotsky-Plemelya-sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. oktober 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Sochocki-Plemelja-sætningen (polsk stavning Sochocki ) er en sætning i kompleks analyse , der hjælper med at evaluere bestemte integraler. Den rigtige linjeversion ( se nedenfor ) bruges ofte i fysik, selvom den sjældent omtales ved navn. Sætningen er opkaldt efter Julian Sochocki , som beviste det i 1868, og Josip Plemelj , der genopdagede det som hovedingrediensen i sin løsning på Riemann-Hilbert-problemet i 1908.

Udtalelse af sætningen

Lad C være en glat lukket simpel kurve i planet og φ være en analytisk funktion på C . Derefter integralet af Cauchy-typen

{\frac {1}{2\pi i))\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta}{\zeta -z)),

definerer to analytiske funktioner af z , φ i inde i C og φ e udenfor. Sokhotsky-Plemelj-formlerne relaterer grænseværdierne for disse to analytiske funktioner i punktet z på C og Cauchy-hovedværdien af integralet: ${\mathcal {P}}$

\phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i)){\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta)d \zeta }{\zeta -z))+{\frac {1}{2))\varphi (z),

\phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta)d \zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).

De efterfølgende generaliseringer fjerner kravene til glathed på kurven C og funktionen φ .

Real line version

Udgaven af denne sætning for integraler på den reelle linje er særlig vigtig.

Lad ƒ være en funktion med kompleks værdi, der er defineret og kontinuert på den reelle akse, og lad a og b være reelle tal, således at a < 0 < b . Derefter

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,

hvor angiver Cauchy-hovedværdien. ${\mathcal {P}}$

Bevis for den rigtige linje

Et simpelt bevis er som følger.

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\ mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2 })}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2 }+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.

For det første led skal du bemærke, at det er den begyndende delta-funktion og nærmer sig derfor Dirac-delta-funktionen i grænsen. Derfor er det første led lig med . ${\tfrac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})))$ $\mp i\pi f(0)$

For det andet led bemærker vi, at faktoren har en tendens til 1 for | x | ≫ ε , og har tendens til 0 som | x | ≪ ε, nemlig en symmetrisk funktion i forhold til 0. Derfor får man i grænsen et integral i betydningen Cauchys hovedværdi. ${\tfrac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$

Ansøgninger til fysik

I kvantemekanik og kvantefeltteori er man ofte nødt til at vurdere integraler af formen

\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt),

hvor E er noget energi og t er tid. I denne form er udtrykket udefineret (fordi tidsintegralet ikke konvergerer), så det modificeres normalt ved at tilføje en negativ reel koefficient til t i eksponenten og derefter skubbe denne koefficient til nul:

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E )\exp(-iEt-\varepsilon t)

=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{Ei\varepsilon }}\, dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,

hvor Sochockis sætning bruges i sidste trin.

Se også

Ental integraloperatorer på lukkede kurver
Kramers-Kronig relationer
Hilbert forvandler sig

Litteratur

Weinberg, Steven . The Quantum Theory of Fields, bind 1 :Fundamenter . - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-55001-7 . Kapitel 3.1.
Merzbacher, Eugene. Kvantemekanik (neopr.) . - Wiley, John & Sons, Inc., 1998. - ISBN 0-471-88702-1 . Bilag A, ligning (A.19).
Henrici, Peter. Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3 (engelsk) . - Willey, John & Sons, Inc., 1986.
Plemelj, Josip. Problemer i Riemann og Kleins forstand . — New York: Interscience Publishers , 1964.
Gakhov, F.D. (1990), Grænseværdiproblemer. Genoptryk af 1966-oversættelsen , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
Muskhelishvili, N.I. Singulære integralligninger, grænseproblemer for funktionsteori og deres anvendelse på matematisk fysik (engelsk) . Melbourne: Afd. of Supply and Development, Aeronautical Research Laboratories, 1949.
Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Eksempel 3.3.1 4
Sokhotskii, YW Om bestemte integraler og funktioner, der bruges i serieudvidelser (engelsk) . —St. Petersborg, 1873.