Fresnel-integraler

Fresnel-integralerne S ( x ) og C ( x ) er specielle funktioner opkaldt efter Augustin Jean Fresnel og brugt i optik . De opstår ved beregning af Fresnel-diffraktionen og er defineret som

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

Et parametrisk plot af S ( x ) og C ( x ) giver en kurve i planet, kaldet Cornu-spiralen eller clothoid .

Serieudvidelse

Fresnel-integraler kan repræsenteres af potensrækker , der konvergerer for alle x :

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots .

Nogle forfattere [1] bruger som argument for trigonometriske integrander . Fresnel-integralerne defineret på denne måde opnås fra integralerne defineret ovenfor ved at ændre variablen og gange integralerne med . ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2))}t$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi ))))$

Spiral Cornu

En Cornu-spiral , også kendt som en clothoid , er en kurve, der er et parametrisk plot af S ( t ) versus C ( t ). Cornu-spiralen blev opfundet af Marie Alfred Cornu for at lette beregningen af diffraktion i anvendte problemer.

Fordi

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

så i denne parametrisering har tangentvektoren enhedslængde, så t er længden af kurven målt fra punktet (0,0). Derfor har begge grene af spiralen uendelig længde.

Krumningen af denne kurve på ethvert punkt er proportional med længden af buen mellem dette punkt og origo. På grund af denne egenskab bruges den i vejbygning, da vinkelaccelerationen af en bil, der bevæger sig langs denne kurve med en konstant hastighed, vil forblive konstant.

Egenskaber

$S(x)$ og er ulige funktioner . $C(x)$ $x$

Fresnel-integralernes asymptotik er givet ved formlerne $x\til \infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}-{\ frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\venstre[1+O(x^{-4})\højre]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\venstre[1+O(x^{-4})\højre]\højre),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\venstre[1+O(x^{-4})\højre]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\venstre[1+O(x^{-4})\højre]\højre).

Ved hjælp af serieudvidelsen kan man konstruere en analytisk fortsættelse af Fresnel-integralerne til hele det komplekse plan. De komplekse Fresnel-integraler udtrykkes i form af fejlfunktionen som

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

Fresnel-integraler er ikke udtrykt i form af elementære funktioner undtagen i særlige tilfælde. Grænsen for disse funktioner på er lig med $x\højrepil \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Beregning

Grænserne for funktionerne C og S at kan findes ved hjælp af konturintegration. For at gøre dette tager vi konturintegralet af funktionen $x\højrepil \infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

langs grænsen af sektoren på det komplekse plan dannet af x-aksen, strålen og cirklen med radius R centreret ved origo. $y=x$ $x \geqslant 0$

Ved , tenderer integralet langs buen til 0, integralet langs den reelle akse har en tendens til værdien af Poisson-integralet $R\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

og efter nogle transformationer kan integralet langs den resterende stråle udtrykkes i form af grænseværdien for Fresnel-integralet.

Se også

Noter

Milton Abramowitz og Irene A. Stegun, red. Håndbog i matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller. - New York: Dover, 1972. (Se del 7) (eng.)

↑ Ligning 7.3.1 - 7.3.2