Indskrevet firkant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. september 2022; checks kræver 9 redigeringer .

En indskrevet firkant er en firkant , hvis toppunkter ligger på samme cirkel . Denne cirkel kaldes omskrevet . Normalt antages det, at firkanten er konveks , men der er også selvskærende indskrevne firkanter. Formlerne og egenskaberne nedenfor er kun gyldige for konvekse firkanter.

Alle trekanter har omskrevne cirkler , men ikke alle firkanter. Et eksempel på en firkant, der ikke kan indskrives i en cirkel, er en rombe (medmindre det er en firkant). Afsnittet "Egenskaber" nedenfor giver de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en cirkel kan afgrænses omkring en firkant.

Særlige lejligheder

Alle kvadrater , rektangler , ligebenede trapezoider eller antiparallelogrammer kan indskrives i en cirkel. En deltoid kan indskrives, hvis og kun hvis den har to rette vinkler. En bicentrisk firkant er en cyklisk firkant, der også er en omskrevet firkant, og en ekstern bicentrisk firkant er en cyklisk firkant, der også er en eksternt afgrænset .

Egenskaber

Det første kriterium for, at en firkant skal indskrives . En konveks ikke-degenereret firkant er indskrevet hvis og kun hvis , når de fire mediale perpendikulære trukket til hver af siderne skærer hinanden i et punkt [1] .
Det andet kriterium for, at en firkant skal indskrives . En konveks firkant er indskrevet, hvis og kun hvis summen af de modstående vinkler er 180°, dvs. [2] . $\displaystyle ABCD$

A+C=B+D=\pi =180^{{\circ }}.

En anden variant af det første kriterium for, at en firkant skal indskrives . Sætningen var påstand 22 i bog 3 i Euklids elementer [3] . Tilsvarende er en konveks firkant en indskrevet, hvis og kun hvis den tilstødende vinkel er lig med den modsatte indre vinkel.
Det tredje kriterium for, at en firkant skal indskrives . En cirkel kan omskrives om en firkant , hvis og kun hvis et par af dens modstående sider er antiparallelle .
Det fjerde kriterium for, at en firkant skal indskrives . Et andet kriterium for, at en konveks firkant skal indskrives kræver, at vinklen mellem en side og en diagonal er lig med vinklen mellem den modsatte side og den anden diagonal [4] . For eksempel, $\displaystyle ABCD$

\angle ACB=\angle ADB.

Femte kriterium for, at en firkant skal indskrives . Ptolemæus' ulighed siger, at produktet af længderne af to diagonaler p og q af en firkant kun er lig med summen af produkterne af modsatte sider, hvis firkanten er indskrevet: [5]

\displaystyle pq=ac+bd.

Det sjette kriterium for, at en firkant skal indskrives . En cirkel kan omskrives omkring en firkant , hvis og kun hvis et par af dens modstående sider er antiparallelle Hvis to linjer, hvoraf den ene indeholder segmentet AC , og den anden segmentet BD , skærer hinanden i et punkt E , så skærer fire punkter A , B , C , D ligger på cirklen hvis og kun hvis [6]

AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Skæringspunktet E kan ligge både inden for og uden for cirklen. I det første tilfælde vil det være den indskrevne firkant ABCD , og i det andet tilfælde vil det være den indskrevne firkant ABDC . Hvis skæringspunktet ligger indenfor, betyder lighed, at produktet af segmenterne, som punktet E deler den ene diagonal i, er lig med produktet af segmenterne i den anden diagonal. Denne erklæring er kendt som den skærende akkordsætning , da diagonalerne af en indskrevet firkant er akkorderne i den omskrevne cirkel.

Det syvende kriterium for, at en firkant skal indskrives . En konveks firkant ABCD er indskrevet, hvis og kun hvis [7]

$\tan {{\frac {A}{2}}}\tan {{\frac {C}{2}}}=\tan {{\frac {B}{2}}}\tan {{\frac { D}{2}}}=1.$

Ottende kriterium for, at en firkant skal indskrives . Lad en konveks firkant, hvor - skæringspunktet for diagonalerne, - skæringspunktet for forlængelserne af siderne og , - skæringspunktet for forlængelserne af siderne og . Og lad være omkredsen af trekantens ni punkter . er en cyklisk firkant, hvis og kun hvis skæringspunktet for dens midterlinjer ligger på cirklen . [8] [9] [10] (se figur) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle G$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle EFG$ $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle \omega$

Det niende kriterium for, at en firkant skal indskrives . En cirkel kan omskrives om en firkant , hvis og kun hvis ethvert par af dens modstående sider er antiparallelle . I en konveks firkant , lad være skæringspunktet for diagonalerne, være skæringspunktet for forlængelserne af siderne og , og lad være en cirkel, hvis diameter er et segment , der danner Pascal-punkterne og på siderne og .(se fig.) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle F$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

(1) er en cyklisk firkant, hvis og kun hvis punkterne og er kollineære med midten af cirklen . [10] [11] (2) er en cyklisk firkant, hvis og kun hvis punkterne og er midtpunkterne på siderne og . [10] [11] . $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle O$ $\displaystyle \omega$
$\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

Bemærkning . Det syvende og ottende kriterium for inklusion af en firkant er meget ens, og deres tegninger er meget ens. Det er muligt, at dette er det samme kriterium for inskriptionen af en firkant, taget fra forskellige primære kilder. I begge figurer , og er Pascal punkter. Der er andre lignende punkter. Selvom begge kriterier formelt lyder anderledes. $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$
Det tiende kriterium for, at en firkant skal indskrives . Den betingelse, hvorunder kombinationen af to trekanter med en lige side giver en firkant indskrevet i en cirkel [12] . Således at to trekanter med tredobbelt sidelængde henholdsvis (a, b, f) og (c, d, f), når de kombineres langs en fælles side med en længde lig f, giver som et resultat en firkant indskrevet i en cirkel med en sekvens af sider ( a , b , c , d ), betingelsen [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)))

Bemærkning . Den sidste betingelse giver et udtryk for diagonalen f af en firkant indskrevet i en cirkel i form af længderne af dens fire sider ( a , b , c , d ). Denne formel følger umiddelbart efter, når man multiplicerer og sætter lighedstegn mellem venstre og højre del af formlerne, der udtrykker essensen af Ptolemæus' første og anden sætning .

Det ellevte kriterium for, at en firkant skal indskrives . En konveks firkant (se figuren til højre) dannet af fire givne Miquel-linjer er indskrevet i en cirkel, hvis og kun hvis Miquel-punktet M på firkanten ligger på linjen, der forbinder to af linjernes seks skæringspunkter (de der er ikke hjørner af firkanten). Altså når M ligger på EF (se figuren til højre).

Område

Arealet S af en indskrevet firkant med siderne a , b , c , d er givet af Brahmagupta-formlen [14]

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}

hvor p , semiperimeteren , er . Udsagnet er en konsekvens af Bretschneiders forhold , da modsatte vinkler summeres til 180°. Hvis d \u003d 0, bliver den indskrevne firkant en trekant, og lighed bliver til Herons formel . $p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$

En indskrevet firkant har det maksimale areal blandt alle firkanter med samme rækkefølge af sidelængder. Dette er en anden konsekvens af Bretschneider-forholdet. Udsagnet kan bevises ved hjælp af matematisk analyse [15] .

Fire ulige længder, som hver er mindre end summen af de tre andre, er siderne af tre inkongruente indskrevne firkanter [16] , og ifølge Brahmaguptas formel har alle disse trekanter det samme areal. Især for sider a , b , c og d kan side a være den modsatte af begge sider b , c eller d . Hvilke som helst to af disse tre indskrevne firkanter har en diagonal af samme længde [17] .

Arealet af en indskrevet firkant med på hinanden følgende sider a , b , c , d og vinkel B mellem siderne a og b kan udtrykkes med formlen [5]

S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

eller [18]

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

hvor θ er enhver vinkel mellem diagonalerne. Hvis vinkel A ikke er ret, kan arealet udtrykkes med formlen [18]

S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

En anden områdeformel [19]

S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

hvor R er radius af den omskrevne cirkel . Den direkte konsekvens vil være [20]

{\displaystyle S\leq 2R^{2))

og ulighed bliver til lighed, hvis og kun hvis firkanten er en firkant.

Diagonaler

I en indskrevet firkant med toppunkter A , B , C , D (i den angivne rækkefølge) og sider a = AB , b = BC , c = CD og d = DA , kan længderne af diagonalerne p = AC og q = BD udtrykkes i siderne [21] [22] [17]

p={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

q={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

hvilket giver den ptolemæiske ligning

pq=ac+bd.

Ifølge Ptolemæus' anden sætning [21] [22] ,

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

med samme notation som før.

For summen af diagonaler har vi uligheden [23]

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

En ulighed bliver en lighed, hvis og kun hvis diagonalerne har samme længde, hvilket kan vises ved hjælp af uligheden mellem den aritmetiske middelværdi og den geometriske middelværdi .

Desuden [24] ,

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

I enhver konveks firkant deler to diagonaler firkanten i fire trekanter. I en indskrevet firkant er modsatte par af disse fire trekanter ens .

Hvis M og N er midtpunkterne af diagonalerne AC og BD , så [25]

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\venstre|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|

hvor E og F er skæringspunkterne for modsatte sider.

Hvis ABCD er en indskrevet firkant og AC skærer BD i et punkt P , så [26]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Vinkelformler

For en indskrevet firkant med siderne a , b , c , d , semiperimeter p og vinkel A mellem siderne a og d , er de trigonometriske funktioner af vinkel A [27]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc))),

\sin A={\frac {2{\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))}{(ad+bc)))),

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(pa)(pd)}{(pb)(pc)))}.

For vinklen θ mellem diagonalerne, [18]

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)}{(pa)(pc)))}.

Hvis forlængelserne af modstående sider a og c skærer hinanden i en vinkel , så $\phi$

\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc )}}}

hvor p er semiperimeteren [28]

Formel for Parameshvara

For en indskrevet firkant med siderne a , b , c , d (i den angivne rækkefølge) og semiperimeter p , er radius af den omskrevne cirkel givet af formlen [22] [29]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(pa)(pb)(pc)(pd )}}}.

Formlen blev udviklet af den indiske matematiker Vatasseri Paramesvara i det 15. århundrede.

Ved at bruge Brahmaguptas formel kan Parameswaras formel konverteres til

4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)))

hvor S er arealet af den indskrevne firkant.

Anticenter og kollinearitet

Fire linjestykker vinkelret på den ene side af den indskrevne firkant og passerer gennem midtpunktet af den modsatte side skærer hinanden i et punkt [30] [31] . Dette skæringspunkt kaldes anticentret . Anticentret er symmetrisk med midten af den omskrevne cirkel i forhold til "vertex-centroiden" . I en indskrevet firkant ligger centrum af den omskrevne cirkel, "vertex centroide" og anticenter på den samme rette linje [31] .

Hvis diagonalerne af en indskrevet firkant skærer hinanden i punktet P , og midtpunkterne af diagonalerne er V og W , så er firkantens anticenter orthocentret af trekanten VWP , og toppunktets tyngdepunkt er i midten af det segment, der forbinder diagonalernes midtpunkter [31] .

I en indskrevet firkant ligger "områdets tyngdepunkt" G a , "hjørnepunktets tyngdepunkt" G v og skæringspunktet P af diagonalerne på den samme rette linje. Afstandene mellem disse punkter opfylder ligheden [32]

PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.

Andre egenskaber

Monges sætning om ortocentret af en indskrevet firkant. 4 lige linjestykker (4 antimedatrises ) tegnet fra midtpunkterne på 4 sider af en indskrevet firkant vinkelret på modsatte sider skærer hinanden ved orthocentret H af denne firkant. [33] , [34]

Japansk indskrevet firkantet sætning . I den indskrevne firkant ABCD er centrene for incirklerne af trekanter ABC , BCD , CDA og DAB rektanglets hjørner . Dette er en af de sætninger kendt som den japanske sætning . Ortocentrene i de samme fire trekanter er hjørnerne af en firkant lig med ABCD . Centroiderne i disse fire trekanter er hjørnerne af en anden indskrevet firkant [4] .

Følge af den indskrevne vinkelsætning . I en indskrevet firkant ABCD med centrum O , lad P være skæringspunktet for diagonalerne AC og BD . Så er vinkel APB det aritmetiske middelværdi af vinklerne AOB og COD . Dette er en direkte konsekvens af den indskrevne vinkelsætning og trekantens udvendige vinkelsætning .

Sætningen om vinkelretheden af de indre halveringslinjer af vinklerne ved hjørnerne E og F, dannet ved skæringspunkterne mellem to par modsatte sider af en indskrevet firkant . Hvis de modsatte sider af den indskrevne firkant er forlænget til skæringspunktet i punkterne E og F , så er de indre halveringslinjer for vinklerne ved E og F vinkelrette [16] .

Sætning om 4 projektioner af 4 hjørner af en indskrevet firkant . Lade være en indskrevet firkant, være bunden af den vinkelrette faldet fra toppunktet til diagonalen ; punkter er defineret på samme måde . Så ligger punkterne på samme cirkel. [35] $ABCD$ $A_{1}$ $EN$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

Tallet firkantet sætning . Der er ingen indskrevne firkanter med rationelt areal og ulige rationelle sider, der danner en aritmetisk eller geometrisk progression [36] .

Tallet firkantet sætning . Hvis en indskrevet firkant har sidelængder, der danner en aritmetisk progression , så er firkanten også udvendigt omskrevet .

Quadrangles of Brahmagupta

Brahmagupta-firkanten [37] er en indskrevet firkant med heltals sidelængder, heltals diagonallængder og heltalsareal. Alle Brahmagupta-firkanter med siderne a, b, c, d , diagonaler e, f , areal S og radius R af den omskrevne cirkel kan opnås ved at slippe af med nævneren i følgende udtryk (med rationelle parametre t , u og v ):

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]

b=(1+u^{2})(vt)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(ut)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2} )]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Egenskaber for ortodiagonale indskrevne firkanter

Areal og radius af den omskrevne cirkel

Lad os for en indskrevet firkant, som også er ortodiagonal (dvs. har vinkelrette diagonaler), opdeler diagonalernes skæringspunkt den ene diagonal i segmenter med længden p 1 og p 2 , og deler den anden i segmenter med længden q 1 og q 2 . Derefter [38] (den første lighed er Proposition 11 i Archimedes ' Lemmas )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

hvor D er diameteren af den omskrevne cirkel . Ligestilling gælder på grund af det faktum, at diagonalerne er vinkelrette akkorder i cirklen . Dette indebærer, at radius af den omskrevne cirkel R opfylder ligheden

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

eller gennem siderne af firkanten

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Heraf følger også, at

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Således kan radius ifølge Eulers formel udtrykkes i form af diagonalerne p og q og afstanden x mellem diagonalernes midtpunkter

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Formlen for arealet K af en indskrevet ortodiagonal firkant kan opnås direkte i form af siderne ved at kombinere Ptolemæus' sætning (se ovenfor) og formlen for arealet af en ortodiagonal firkant. Som et resultat får vi

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Andre egenskaber

I en indskrevet ortodiagonal firkant falder anticentret sammen med diagonalernes skæringspunkt [39] .

Brahmaguptas sætning siger, at i en indskrevet firkant, som også er ortodiagonal, halverer en vinkelret fra hver side gennem skæringspunktet mellem diagonalerne den modsatte side [39] .

Hvis den indskrevne firkant også er ortodiagonal, er afstanden fra midten af den omskrevne cirkel til hver side halvdelen af længden af den modsatte side [39] .

I en indskrevet ortodiagonal firkant er afstanden mellem diagonalernes midtpunkter lig med afstanden mellem midten af den omskrevne cirkel og diagonalernes skæringspunkt [39] .

Se også

Sommerfuglens sætning
Omskrevet cirkel
Grad af et punkt i forhold til en cirkel
Ptolemæus' akkordtabel
Robbins Pentagon
Uomskrevet firkant
Firkantet

Noter

↑ Usiskin, 2008 , s. 63–65, kapitel 10. Cykliske firkanter.
↑ Usiskin, 2008 , s. 63-65.
↑ Joyce, 1997 , s. Bog 3, forslag 22.
↑ 1 2 Andreescu, Enescu, 2004 , s. 2.3 Cykliske quads.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , s. 25.
↑ Bradley, 2007 , s. 179.
↑ Hajja, 2008 , s. 103-6.
↑ Fraivert, David. Nye punkter, der hører til nipunktscirklen // Matematisk Tidende : journal. - 2019. - Juli ( bd. 103 , nr. 557 ). - S. 222-232 . - doi : 10.1017/mag.2019.53 .
↑ Fraivert, David. Nye anvendelser af metode for komplekse tal i geometrien af cykliske firkanter (engelsk) // International Journal of Geometry : journal. - 2018. - Bd. 7 , nr. 1 . - S. 5-16 .
↑ 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Nødvendige og tilstrækkelige egenskaber for en cyklisk firkant , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , < https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772 > Arkiveret 10. juni 2020 kl. Wayback- maskinen
↑ 1 2 Freivert, D. M. (2019), Et nyt emne i euklidisk geometri på planet: Teorien om "Pascal-punkter" dannet af en cirkel på siderne af en firkant , Matematisk uddannelse: State of the Art og perspektiver: Proceedings of den internationale videnskabelige konference , < http ://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Arkiveret 10. november 2019 på Wayback Machine
↑ Se underafsnit "Diagonaler" i artiklen " Indskrevet firkant "
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ Durell og Robson 2003 , s. 24.
↑ Peter, 2003 , s. 315-6.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , s. 57, 60.
↑ 12 Johnson , 2007 , s. 84.
↑ 1 2 3 Durell og Robson, 2003 , s. 26.
↑ Prasolov, 2006 , s. 86, opgave 4.44.
↑ Alsina, Nelsen, 2009 , s. 64.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , s. 25,.
↑ 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007 , s. 147-9.
↑ Crux, 2007 , s. 123, #2975.
↑ Crux, 2007 , s. 64, #1639.
↑ ABCD er en cyklisk firkant. Lad M , N være midtpunkterne af diagonalerne AC , BD henholdsvis ... . Art of Problem Solving (2010). (ubestemt)
↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [1] Arkiveret 28. maj 2019 på Wayback Machine , Tilgået 18. marts 2014.
↑ Siddons, Hughes, 1929 , s. 202.
↑ Durell og Robson 2003 , s. 31.
↑ Hoehn, 2000 , s. 69-70.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 131.
↑ 1 2 3 Honsberger, 1995 , s. 35–39, 4.2 Cykliske firkanter.
↑ Bradley, 2011 .
↑ Bemærkelsesværdige punkter og linjer med firkanter// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Monges sætning// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ Omkring problemet med Arkimedes. Arkiveret 29. april 2016 på Wayback Machine 7, fig. 11, følge, s. 5
↑ Buchholz, MacDougall, 1999 , s. 263-9.
↑ Sastry, 2002 , s. 167-173.
↑ Posamentier, Salkind, 1970 , s. 104-5.
↑ 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007 , s. 131,137-8.

Litteratur

Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualisering af grundlæggende uligheder, kapitel 4.3 Cykliske, tangentielle og bicentriske firkanter. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. På diagonalerne af en cyklisk firkant // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Nathan Altshiller-Court. College Geometry: En introduktion til den moderne geometri af trekanten og cirklen. — 2. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematisk Olympiade Treasures. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .
Christopher Bradley. Tre Centroider skabt af en cyklisk firkant. – 2011.
Christopher J. Bradley. Geometriens algebra: kartesiske, arealmæssige og projektive koordinater. - Highperception, 2007. - ISBN 1906338000 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Heron firkanter med sider i aritmetisk eller geometrisk progression // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1999. - T. 59 , no. 2 . - doi : 10.1017/S0004972700032883 .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometri Revisited. 3.2 Cykliske firkanter; Brahmaguptas formel. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Oversat af G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Nye møder med geometri. 3.2 Indskrevne firkanter; Brahmaguptas sætning. - Moskva: "Nauka", 1978. - (Library of the Mathematical Circle).
Crux Mathematicorum. Uligheder foreslået i Crux Mathematicorum . – 2007.
D. Fraivert. Teorien om en beskrivelig firkant og en cirkel, der danner Pascal-punkter // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42 . — S. 81–107. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121742 .
C.V. Durell, A. Robson. avanceret trigonometri. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (orig. 1930)
Mowaffaq Hajja. En betingelse for, at en omskrivelig firkant er cyklisk // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .
Larry Hoehn. Circumradius af en cyklisk firkant // Matematisk Gazette. - 2000. - T. 84 , no. 499 marts . — .
Ross Honsberger. Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
Roger A. Johnson. Avanceret euklidisk geometri. — Dover Publ, 2007. (orig. 1929)
Thomas Peter. Maksimering af arealet af en firkant // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , no. 4 september . — .
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Udfordrende problemer i geometri. — 2. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Kapitel: Løsninger: 4-23 Bevis, at summen af kvadraterne af målene af segmenterne lavet af to vinkelrette akkorder er lig med kvadratet på målet for diameteren af den givne cirkel.

, < http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf > Arkiveret 21. september 2018 på Wayback Machine Oversat fra den russiske udgave af V.V. Prasolov. Problemer i planimetri. Tutorial. - 5. - Moskva: MTSNMO OAO "Moscow-lærebøger", 2006. - ISBN 5-94057-214-6 .
KRS Sastry. Brahmagupta quadrilaterals // Forum Geometricorum. - 2002. - T. 2 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometri. - Cambridge University Press, 1929.
Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. Klassifikationen af firkanter: En definitionsundersøgelse. - IAP, 2008. - (Forskning i matematikundervisning). - ISBN 978-1-59311-695-8 .
D.E. Joyce. Euklids elementer . - Clark University, 1997.
D. Fraivert. Pascal-points firkanter indskrevet i en cyklisk firkant // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , no. 557 .

Eksterne links

Afledning af formel for området med cyklisk firkant
Midter i cyklisk firkant ved klip-knuden
Fire samtidige linjer i en cyklisk firkant ved klip-knuden
Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Euler-center og maltituder af cyklisk firkant ved Dynamic Geometry Sketches , interaktiv dynamisk geometriskitse.

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

Korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også