Algebra af sæt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. maj 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Algebraen af mængder i mængdeteori er et ikke-tomt system af delmængder af nogle mængder , lukket under operationerne addition (forskel) og forening (sum) . $x$

Definition

En familie af delmængder af et sæt (her boolean ) kaldes en algebra, hvis den opfylder følgende egenskaber: ${\mathfrak {A}}\subset 2^{{X}}$ $x$ $2^{{X}}$

$\varnothing \in {\mathfrak {A}).$
Hvis sættet er , så dets komplement $A\in {\mathfrak {A}}$ $X\setminus A\in {\mathfrak {A}).$
Foreningen af to sæt hører også til $A,B\in {\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}).$

Noter

Per definition, hvis en algebra indeholder et sæt , så indeholder den også dets komplement. Unionen med dens komplement er det originale sæt . Komplementet af et sæt er det tomme sæt. Det betyder, at mængden og den tomme mængde er indeholdt i algebra per definition. $EN$ $EN$ $x$ $x$ $x$
På grund af egenskaberne ved operationer på mængder er algebraen af mængder også lukket under skæring og symmetrisk forskel .
Mængdealgebra er et specialtilfælde af enhedsalgebra , hvor "multiplikation" -operationen er skæringspunktet mellem mængder, og "addition"-operationen er den symmetriske forskel.
Hvis det oprindelige sæt er rummet for elementære begivenheder , kaldes algebraen begivenhedernes algebra - et nøglebegreb for sandsynlighedsteori og relaterede matematiske discipliner, som har en unik fortolkning og spiller en selvstændig rolle i matematik. $x$ ${\mathfrak {A}}$

Algebra af begivenheder

Algebraen af begivenheder (i sandsynlighedsteorien ) er algebraen af delmængder af rummet af elementære begivenheder , hvis elementer er elementære begivenheder . $\Omega$

Som det sømmer sig for en mængdealgebra, indeholder algebraen af hændelser en umulig hændelse ( et tomt sæt ) og er lukket under mængdeteoretiske operationer udført på et endeligt antal sæt. Det er tilstrækkeligt at kræve, at algebraen af begivenheder lukkes under to operationer, for eksempel skæring og komplement , hvoraf det umiddelbart følger, at den er lukket under alle andre mængdeteoretiske operationer. Hændelsesalgebraen , som er lukket med hensyn til mængdeteoretiske operationer udført med et tælleligt antal sæt, kaldes sigma-algebraen af hændelser.

I sandsynlighedsteori forekommer følgende algebraer og sigma-algebraer af begivenheder:

algebra af endelige delmængder ; $\Omega$
sigma-algebra af tællelige delmængder ; $\Omega$
delmængde algebra dannet af endelige foreninger af intervaller ; ${{\mathbb {R}}}^{n}$
sigma-algebraen af Borel-delmængder af et topologisk rum , det vil sige den mindste sigma-algebra, der indeholder alle åbne undermængder ; $\Omega$ $\Omega$
algebraen af cylindre i funktionernes rum og sigma-algebraen genereret af dem.

Hændelsen eller , som består i, at mindst én af de to hændelser indtræffer, kaldes summen af hændelser og . $A+B$ $A\kop B$ $EN$ $B$ $EN$ $B$

Et sandsynlighedsrum er en algebra af begivenheder med en given sandsynlighedsfunktion , det vil sige et sigma-additivt endeligt mål , hvis domæne er begivenhedernes algebra, hvor . $\mathbb {P}$ $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Enhver sigma-additiv sandsynlighed på algebraen af hændelser strækker sig unikt til en sigma-additiv sandsynlighed defineret på sigma-algebraen af hændelser genereret af den givne algebra af hændelser .

Se også

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.