Sigma Algebra

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. maj 2020; verifikation kræver 1 redigering .

σ-algebra ( sigma-algebra ) er en algebra af mængder , der er lukket under driften af tællelig forening. Sigma algebraer spiller en afgørende rolle i Lebesgues måleteori og integraler , såvel som i sandsynlighedsteori .

Definition

En familie af delmængder af en mængde kaldes en σ-algebra, hvis den opfylder følgende egenskaber [1] : ${\mathfrak {S}}$ $x$

${\mathfrak {S}}$ indeholder et sæt og et tomt sæt Ø. $x$
Hvis , så dets komplement . $E\in {\mathfrak {S}}$ $X\backslash E\in {\mathfrak {S}}$
Foreningen eller skæringspunktet mellem en tællelig underfamilie fra tilhører ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Forklaringer

Fordi $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=X\backslash \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }(X\backslash A_{n})\ ret),$

i punkt 3 er det tilstrækkeligt at stille krav om, at kun krydset eller kun foreningen hører til .

{\mathfrak {S}}

For ethvert sæt system er der den mindste sigma-algebra , som er dens supersæt . $\mathcal{S}$ $\sigma ({\mathcal {S}})$
Sigma algebraer er et naturligt domæne for tællelige additive mål . Hvis et mål er delvist defineret (på en familie af sæt ) på en sådan måde, at betingelsen for sigma-additivitet (et synonym for tællelig additivitet) er opfyldt, har denne delmål en unik udvidelse til , det vil sige til den mindste sigma -algebra, som denne familie indeholder, og samtidig vil egenskaben sigma-additivitet ikke blive brudt. $\mathcal{S}$ $\sigma ({\mathcal {S}})$
σ-algebraen genereret af den tilfældige variabel er defineret som følger: $\xi :\,X\højrepil {\mathbb {R}}$

\sigma (\xi )=\venstre\{\xi ^{{-1}}(B)\midt B\in {\mathcal {B}}({\mathbb {R}})\right\}

, hvor er Borel sigma-algebraen på den rigtige linje . Dette er den mindste sigma-algebra i rummet , med hensyn til hvilken den tilfældige variabel stadig er målbar. Samme konstruktion anvendes også, hvis der overhovedet ikke udskilles sigma-algebra på rummet, i hvilket tilfælde den kan indføres ved hjælp af en funktion og dermed forsyne rummet med strukturen af et målbart rum, således at funktionen bliver målbar . .

{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )

x

\xi

x

\xi

x

\xi

Målbart rum

Et målbart rum er et par , hvor er et sæt og er nogle sigma-algebra af dets delmængder. $(X, \mathcal F)$ $x$ ${\mathcal {F}}$

Eksempler

Borel sigma algebra
For enhver mængde eksisterer der en triviel σ-algebra , hvor er den tomme mængde. $x$ $\venstre\{X,\varnothing \right\}$ $\varnothing$
For ethvert sæt er der en σ-algebra, der indeholder alle dens delmængder. $x$

Noter

↑ Yu.V. _

Litteratur

Makarov BM Forelæsninger om reel analyse. - BHV-Petersburg, 2011. - ISBN 978-5-9775-0631-1 .