Spektralsætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Spektralsætningen er en klasse af sætninger om lineære operatormatricer , der giver betingelser, hvorunder sådanne matricer kan diagonaliseres , det vil sige repræsenteret som en diagonal matrix på et eller andet grundlag . Disse teoremer reducerer beregninger, der involverer diagonaliserbare matricer , til meget simplere beregninger ved hjælp af de tilsvarende diagonalmatricer.

Begrebet diagonalisering, som er ret simpelt for tilfældet med endelig-dimensionelle vektorrum , kræver nogle afklaringer, når man går over til uendeligt-dimensionelle vektorrum .

Generelt set udskiller spektralsætningen en klasse af lineære operatorer , der kan modelleres af multiplikationsoperatorer - de enkleste operatorer, der kan være. Mere abstrakt er spektralsætningen et udsagn om kommutative -algebraer . $C^{*}$

Eksempler på operatorer, som spektralsætningen kan anvendes på, er selvadjoint-operatorer eller mere generelt normale operatorer på Hilbert-rum .

Spektralsætningen giver også en kanonisk dekomponering af det omgivende vektorrum, kaldet spektral- eller egenværdinedbrydning .

Finit-dimensional case

Spektralsætning for hermitiske matricer

For enhver hermitisk matrix på et endeligt-dimensionelt vektorrum, [ 1] : $EN$ $V$

Alle matrix egenværdier er reelle ; $EN$
Egenvektorer svarende til forskellige egenværdier er ortogonale ;
Egenvektorerne danner en ortogonal basis for hele rummet . $V$

Bevis

Lemma 1 : for alle vektorer og sand: $\mathbf {y} \in V$ $\mathbf {z} \in V$

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )

Bevis for Lemma 1:

Per definition:

A=A^{*}

Følgelig:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)

Bevis for erklæring 1 . Lad os bevise, at alle egenværdier af matricen er reelle. $EN$

Overvej - egenværdien af matricen . $\lambda$ $EN$

Så, ved definitionen af en egenværdi, eksisterer der en vektor, for hvilken . $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

Gang skalarisk begge sider af denne lighed med : $\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Per definition af prikproduktet:

(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}( \mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)

På den anden side får vi ved at anvende Lemma 1 til: $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\ lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)

Det følger af ligestillingen : $(en)$ $(2)$

{\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Da for enhver er sand , så: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda ))=\lambda

hvilket betyder . $\lambda \in \mathbb {R}$

Bevis for påstand 2 . Lad os bevise, at egenvektorerne, der svarer til forskellige egenværdier, er ortogonale.

Overvej to forskellige egenværdier . Derefter: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

hvor og er egenvektorer. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Lad os gange den første lighed med , og også anvende Lemma 1 og det ovenfor beviste faktum, at egenværdierne er reelle, . Som et resultat får vi: $\mathbf {y}$ $\lambda \in \mathbb {R}$

\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )= (\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Ud fra , får vi det , det vil sige med andre ord, at vektorerne og er ortogonale. $\lambda \neq \mu$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Bevis for påstanden 3 . Lad os bevise, at egenvektorerne danner grundlag for hele rummet $V$

Lad , egenværdien af matricen , og den tilsvarende egenvektor . $\lambda _{1}$ $EN$ $\mathbf {x_{1}}$

Overvej - sættet af alle vektorer fra , ortogonalt til . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Da det for enhver er rigtigt , så ifølge Lemma 1: $\mathbf {x} \in V_{1}$ $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_ {1}} ,\mathbf {x} )=0

Derfor ,. $\mathbf {Ax} \in V_{1}$

Den lineære operator , der er afgrænset af mængden , er også Hermitian, har en egenværdi og en tilsvarende egenvektor . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Per definition ortogonal . ${\mathbf {x}}_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$

Overvej et sæt - et sæt af vektorer ortogonale på samme tid og . På samme måde kortlægger den lineære operator sig selv. $V_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$ ${\mathbf {x}}_{{2}}$ $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{{2}}$

Fortsætter vi på denne måde, kan vi finde sekvensen , , samt underrum indeholdende og samtidig ortogonale i forhold til vektorerne . Sekvensen slutter ved trin , fordi . $\lambda _{{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle V_{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1))$ $n$ $\dim V_{k}=nk$

Egenvektorerne danner således et ortogonalt grundlag for hele rummet ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $V$

■

Spektralsætning for enhedsmatricer

For enhver enhedsmatrix på et endeligt-dimensionelt vektorrum er det sandt [1] : $U$ $V$

Alle matrix egenværdier har absolutte værdier lig med ; $EN$ $en$
Egenvektorer svarende til forskellige egenværdier er ortogonale ;
Egenvektorerne danner en ortogonal basis for hele rummet . $V$

Bevis

Lemma 2 : For en enhedsmatrix gælder følgende: $U$

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

hvor og er vilkårlige vektorer fra $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$ $V$

Bevis for Lemma 2:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy= x^{*}y=(x,y)

Bevis for påstand 1 : Alle matrix egenværdier har absolutte værdier lig med . $EN$ $en$

Overvej - egenværdien af matricen . $\lambda$ $EN$

Derefter, per definition af en egenværdi, eksisterer der en vektor, for hvilken: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Ved at anvende Lemma 2 får vi:

(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x} , \mathbf {x} )

Siden da , og derfor: $\mathbf {x} \neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1

Bevis for krav 2 : Egenvektorer svarende til forskellige egenværdier er ortogonale.

Overvej to forskellige egenværdier . Derefter: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

hvor og er egenvektorer. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Lad os gange disse to ligninger:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x} , \mathbf {y} )

Som vist ovenfor . Derfor , hvorfra: $|\lambda |=1$ ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Da antagelsen blev lavet ovenfor , får vi: $\lambda \neq \mu$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0

Det vil sige, at vektorerne og er ortogonale. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Bevis for påstand 3 : Egenvektorerne danner en ortogonal basis for hele rummet . $V$

Lad , egenværdien af matricen , og den tilsvarende egenvektor . $\lambda _{1}$ $EN$ $\mathbf {x_{1}}$

Overvej - sættet af alle vektorer fra , ortogonalt til . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Lad os bevise, at for enhver vektor er sand . $\mathbf {x} \in V_{1}$ $A\mathbf {x} \in V_{1}$

Lemma 2 antyder det . Ved at bruge dette faktum får vi: ${\displaystyle A^{*}=A^{-1))$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1} \mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Således er et ordentligt underrum af rumdimensionen . $V_{1}$ $\dim V-1$ $V$

Da den lineære operator , der er afgrænset af mængden , også er Hermitian, har en egenværdi og en tilsvarende egenvektor . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Egenvektorerne danner således et ortogonalt grundlag for hele rummet ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $V$

■

Normale matricer

Spektralsætningen kan udvides til en lidt bredere klasse af matricer. Lad være en operatør på et endeligt-dimensionelt rum med skalært produkt. kaldes normal hvis . Man kan bevise, at det er normalt, hvis og kun hvis det er ensartet diagonaliserbart. Faktisk, ifølge Schur-nedbrydningen, har vi , hvor er en enhedsoperator og er en øvre trekantet. Da er det normalt, så . Derfor er den diagonal. Det omvendte er ikke mindre indlysende. $EN$ $EN$ $AA^{*}=A^{*}A$ $EN$ $A=UTU^{*}$ $U$ $T$ $EN$ $TT^{*}=T^{*}T$ $T$

Med andre ord, er normalt, hvis og kun hvis der eksisterer en enhedsmatrix sådan, at , hvor er en diagonal matrix af . Desuden er de diagonale elementer i matricen Λ egenværdier, og matrixens kolonnevektorer er egenvektorer (selvfølgelig har de enhedslængde og er parvis ortogonale). I modsætning til det hermitiske tilfælde er matrixelementerne ikke nødvendigvis virkelige. $EN$ $U$ $A=U\Lambda U^{*}$ $\lambda$ $EN,$ $U$ $EN$ $\lambda$

Spektralsætning for kompakte selvadjoint-operatorer

I uendelig-dimensionelle Hilbert-rum ser påstanden om spektralsætningen for kompakte selvadjoint-operatorer i det væsentlige det samme ud som i det finit-dimensionelle tilfælde.

Sætning
Lad være en kompakt selvadjoint operator i et Hilbert-rum . Der er en ortonormal basis af rummet , der består af operatorens egenvektorer . Desuden er alle egenværdier reelle. $EN$ $V$ $V$ $EN$

Ligesom i tilfældet med hermitiske matricer er nøglepunktet at bevise eksistensen af mindst én egenvektor. I det uendelig-dimensionelle tilfælde er det umuligt at bruge determinanter til at bevise eksistensen af egenvektorer, men maksimeringsovervejelser svarende til variationskarakteriseringen af egenværdier kan bruges. Ovenstående spektralsætning er gyldig for både reelle og komplekse Hilbert-rum.

Uden antagelsen om kompakthed bliver påstanden om, at enhver selvadjoint operator har en egenvektor, falsk.

Spektralsætning for afgrænsede selvadjoint-operatorer

Den næste generalisering, vi overvejer, vedrører afgrænsede selvadjoint-operatorer på Hilbert-rum. Sådanne operatorer har muligvis ikke egenværdier (det er for eksempel operatoren for multiplikation med en uafhængig variabel i rummet , det vil sige . $EN$ $L^{2}[0,1]$ $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$

Sætning
Lad være en afgrænset selvadjoint operator i et Hilbert-rum . Så eksisterer der et rum med mål , en målbar funktion med realværdi på og en enhedsoperator sådan, at , hvor er multiplikationsoperatoren , det vil sige . $EN$ $H$ $\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ $f$ $x$ $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ $U^{*}TU=A$ $T$ $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$

Med denne teorem begynder et stort område af forskning i funktionel analyse kaldet operatorteori .

En lignende spektralsætning er gyldig for afgrænsede normaloperatorer i Hilbert-rum. Den eneste forskel er, at det nu kan være komplekst værdsat. $f$

En alternativ formulering af spektralsætningen tillader, at operatoren kan skrives som et integral, overtaget over operatorens spektrum, af koordinatfunktionen over projektionsmålet . I det tilfælde, hvor den betragtede normale operatør er kompakt, reduceres denne version af spektralsætningen til ovennævnte finit-dimensionelle spektralsætning (med det forbehold, at nu kan den lineære kombination indeholde uendeligt mange projektorer). $EN$

Spektralsætning for generelle selvadjoint-operatorer

Mange vigtige lineære operatorer, der opstår i calculus , er ikke begrænset. For eksempel er disse differentialoperatorer . Der er en spektralsætning for selvadjointerende operatorer, der virker for ubegrænsede operatorer. For eksempel er enhver differentialoperator med konstante koefficienter ensartet ækvivalent med en multiplikationsoperator (den tilsvarende enhedsoperator er Fourier-transformationen , og den tilsvarende multiplikationsoperator kaldes Fourier-multiplikatoren ).

Litteratur

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right , Springer Verlag, 1997
A. A. Kirillov, A. D. Gvishiani, Theorems and problems of functional analysis , M.: Nauka, 1979
Paul Halmos , "Hvad siger spektralsætningen?" , American Mathematical Monthly , 70 , no. 3 (1963), 241-247

Noter

↑ 1 2 A. Eremenko. Spektralsætninger for hermitiske og enhedsmatricer . https://www.math.purdue.edu/~eremenko/ . Purdue science, Institut for Matematik (26. oktober 2017). Hentet 19. februar 2019. Arkiveret fra originalen 20. februar 2019.