Ultrafilter

Ultrafilteret på gitteret er det maksimale eget filter [1] . Konceptet med et ultrafilter dukkede op i generel topologi , hvor det bruges til at generalisere begrebet konvergens til rum med en utallig base. $F$

Definition

Et egenfilter på et gitter er et ultrafilter , hvis det ikke er indeholdt i et eget (det vil sige andet end ) filter. $F$ $L$ $F$

Et sæt af delmængder af et sæt kaldes et ultrafilter på if $F$ $x$ $x$

$\varnothing\notin F$
for alle to elementer ligger deres skæringspunkt også i $F$ $F$
for ethvert element ligger alle dets supersæt i $F$ $F$
for enhver delmængde enten , eller $Y\subseteq X$ $Y \i F$ $X \omvendt skråstreg Y \i F$

Noter

$F$ er et ultrafilter, hvis en funktion på sætene , givet som , hvis , og ellers, så er en endelig additiv sandsynlighedsmål på . $S\undersæt X$ $\omega _{F}(S)=1$ $S\i F$ $\omega _{F}(S)=0$ $\omega _{F}$ $x$

Ultrafiltre i booleske algebraer

Hvis gitteret er en boolsk algebra , så er følgende karakterisering af ultrafiltre mulig: et filter er et ultrafilter, hvis og kun hvis for ethvert element enten , eller $L$ $F$ $x\i L$ $x \i F$ $-x \i F$

Denne karakterisering får ultrafiltre til at ligne komplette teorier .

Eksempler

Minimumsfilteret, der indeholder det givne element , kaldes hovedfilteret, der genereres af hovedelementet . $x$ $x$
- Ethvert hovedfilter er et ultrafilter
- Hovedapplikationer har ikke-hoved-ultrafiltre.
en delmængde af Lindenbaum-Tarski-algebraen af den komplette teori , bestående af sætninger $T$ $T$

Egenskaber

ultrafilteret på et endeligt sæt er altid det vigtigste .
ethvert ultrafilter på et uendeligt sæt indeholder et endeligt filter .
hvis er det primære ultrafilter på sættet , så er dets hovedelement skæringspunktet mellem alle elementer i ultrafilteret. $F$ $x$
hvis er et ikke-principielt ultrafilter på sættet , så er skæringspunktet mellem alle dets elementer tom. $F$ $x$
Hvert filter er indeholdt i et ultrafilter.
- Denne påstand kan ikke bevises uden at bruge det valgte aksiom .
- Også denne erklæring svarer til den boolske primidealsætning .
- En vigtig konsekvens af denne teorem er eksistensen af ikke-principielle ultrafiltre på uendelige mængder.
Stone-Cech-komprimeringen af et diskret rum er et sæt ultrafiltre på et gitter af delmængder udstyret med Stone-topologien . Som en base af åbne sæt af stentopologien på sættet af ultrafiltre kan vi tage sæt til alle mulige $x$ $x$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Ansøgninger

Ultrafiltre bruges i en række modelteoretiske konstruktioner , nemlig til at formulere konceptet om et ultraprodukt .
Ultrafiltre optræder også i formuleringen af Stones repræsentationssætning for boolske algebraer og i den eksplicitte konstruktion af Stone-Cech-komprimeringen .
Ultragrænsen for metriske rum er en generalisering af Gromov-Hausdorff-konvergens .
Ultrafiltre bruges i kombinatorik, såsom i Ramsey-teorien . [2]

Noter

↑ Postnikov M. M. Forelæsninger om geometri: Glatte manifolds. - 2. - URSS, 2017. - S. 166-170. - 480 s. — ISBN 978-5-9710-3916-7 .
↑ Isaac Goldbring. Ultrafiltermetoder i kombinatorik // Snapshots af moderne matematik fra Oberwolfach. — 2021. — Nej. 6 . Arkiveret fra originalen den 24. januar 2022.