Beregningsmatematik

Beregningsmatematik er en gren af matematik , der omfatter en række spørgsmål relateret til fremstilling af forskellige beregninger. I en snævrere forstand er beregningsmatematik teorien om numeriske metoder til løsning af typiske matematiske problemer. Moderne beregningsmatematik inkluderer i sin række af problemer studiet af funktionerne ved computere ved hjælp af computere .

Beregningsmatematik har en bred vifte af anvendelser til videnskabelige og tekniske beregninger. På grundlag heraf er der i det sidste årti blevet dannet nye områder inden for naturvidenskab som beregningsfysik , beregningskemi , beregningsbiologi og så videre.

Historie

Beregningsmatematik har eksisteret i lang tid. Selv i det gamle Mesopotamien blev der udviklet metoder til at opnå en kvadratrod . I løbet af den videnskabelige revolutions æra udviklede beregningsmatematik sig i et hurtigt tempo fra praktiske anvendelser parallelt med calculus . Derudover blev sådanne beregninger i vid udstrækning brugt i himmelmekanik til at forudsige banen for himmellegemers bevægelse. Dette førte til fremkomsten af så vigtige komponenter i fysikken som teorien om det heliocentriske system af verdensstrukturen , Keplers love og Newtons love . Det 17. og 18. århundrede blev tiden for udviklingen af et betydeligt antal numeriske metoder og algoritmer.

Brugen af et stort antal ingeniørberegninger i det 19. og 20. århundrede krævede oprettelsen af passende instrumenter. En af disse enheder var slide rule , tabeller med funktionsværdier dukkede også op med en nøjagtighed på op til 16 decimaler, hvilket hjalp med at udføre beregninger. Der var også mekaniske enheder til at udføre matematiske operationer, kaldet aritmometre . I første halvdel af det 20. århundrede begyndte man aktivt at bruge analoge computere til at løse differentialligninger .

Opfindelsen af computeren i midten af det 20. århundrede betød skabelsen af et universelt værktøj til matematiske beregninger. Sammen med mainframes var kun lommeregnere til rådighed for ingeniører og videnskabsmænd til at udføre manuelle operationer , som blev aktivt brugt indtil starten af masseproduktion af personlige computere.

Hovedretningslinjer

I beregningsmatematik skelnes følgende områder: analyse af matematiske modeller , udvikling af metoder og algoritmer til løsning af standard matematiske problemer, automatisering af programmering [2] .

Analysen af de udvalgte matematiske modeller for den pågældende opgave starter med analyse og bearbejdning af inputinformation, hvilket er meget vigtigt for mere præcise inputdata. Til en sådan behandling anvendes ofte matematiske statistikker . Det næste trin er den numeriske løsning af matematiske problemer og analyse af resultaterne af beregninger. Graden af pålidelighed af resultaterne af analysen skal svare til nøjagtigheden af inputdataene. Fremkomsten af mere nøjagtige inputdata kan kræve forbedring af den konstruerede model eller endda udskiftning af den [2] .

Metoder og algoritmer til at løse typiske matematiske problemer ved hjælp af computerteknologi kaldes numeriske metoder. Typiske opgaver omfatter [2] :

Algebra : løse systemer af lineære ligninger , matrixinversion , finde egenværdier og matrixvektorer (begrænset og komplet egenværdiproblem), finde singulære værdier og matrixvektorer, løse ikke-lineære algebraiske ligninger, løse systemer af ikke-lineære algebraiske ligninger ;
Differentialligninger : differentiering og integration af funktioner af en eller flere variable, løsning af almindelige differentialligninger , løsning af partielle differentialligninger , løsning af differentialligningssystemer, løsning af integralligninger;
Optimering: undersøgelse af minimums- og maksimumværdierne af funktionaliteter på sæt;
Operationsforskning og spilteori : minimax-problemer (især for flertrinsspil);
matematisk programmering : tilnærmelsesproblemer , interpolationsproblemer , ekstrapolationsproblemer .

Der udføres undersøgelse og sammenlignende analyse af metoder til løsning af typiske problemer. Et vigtigt element i analysen er søgningen efter økonomiske modeller, der giver dig mulighed for at få resultatet ved at bruge det mindste antal operationer, optimering af løsningsmetoder. For problemer i stor skala er det især vigtigt at studere stabiliteten af metoder og algoritmer, herunder afrundingsfejl. Eksempler på ustabile problemer er inverse problemer (især søgningen efter en invers matrix), samt automatisering af bearbejdning af resultaterne af eksperimenter [2] .

Det stadigt stigende udbud af typiske opgaver og væksten i antallet af brugere har afgjort stigningen i kravene til automatisering. I forhold, hvor kendskab til specifikke numeriske metoder ikke er afgørende for brugeren, øges kravene til standardløsningsprogrammer. Med deres brug er programmering af løsningsmetoder ikke påkrævet, men det er nok at indstille den indledende information [2] .

Funktioner ved repræsentationen af tal i en computer

Den største forskel mellem beregningsmatematik er, at når man løser beregningsmæssige problemer, opererer en person med maskintal, som er en diskret projektion af reelle tal på en specifik computerarkitektur. Så hvis vi for eksempel tager et maskinnummer med en længde på 8 bytes (64 bit), kan der kun gemmes 2 64 forskellige tal i det, derfor spilles en vigtig rolle i beregningsmatematik af estimater af nøjagtigheden af algoritmer og deres modstand mod repræsentationer af maskinnumre i en computer. Det er derfor, for eksempel, for at løse et lineært system af algebraiske ligninger, er beregningen af den inverse matrix meget sjældent brugt , da denne metode kan føre til en fejlagtig løsning i tilfælde af en singular matrix , og en meget almindelig metode i lineær algebra baseret på beregning af determinanten af en matrix og dens komplement, kræver mange flere aritmetiske operationer end nogen stabil metode til at løse et lineært ligningssystem.

Software

Algoritmer til løsning af mange standardproblemer inden for beregningsmatematik er implementeret i forskellige programmeringssprog. De mest almindeligt anvendte sprog til disse formål er Julia , Fortran og C , biblioteker for hvilke kan findes i Netlib- lageret . . Derudover er kommercielle biblioteker IMSL og NAG meget populære., samt det gratis GNU Scientific Library .

MATLAB , Mathematica , Maple , S-PLUS softwarepakker, LabVIEW og IDL, såvel som deres gratis alternativer FreeMat , Scilab , GNU Octave (ligner Matlab), IT++( C++ bibliotek ), R (svarende til S-PLUS) har forskellige numeriske metoder, samt værktøjer til at visualisere og vise resultater.

Mange computeralgebrasystemer , såsom Mathematica , har evnen til at specificere den nødvendige aritmetiske præcision, hvilket tillader resultater med højere præcision. De fleste regneark kan også bruges til at løse simple beregningsmatematiske problemer.

Beregningsmetoder

Beregningsmæssige (numeriske) metoder er metoder til at løse matematiske problemer i numerisk form [3]

Repræsentation af både de indledende data i problemet og dets løsning - i form af et tal eller et sæt tal . I systemet med uddannelse af ingeniører af tekniske specialiteter er en vigtig komponent.

Grundlaget for beregningsmetoder er:

løsning af lineære ligningssystemer ;
interpolation og omtrentlig beregning af funktioner ;
numerisk integration ;
numerisk løsning af et system af ikke-lineære ligninger ;
numerisk løsning af almindelige differentialligninger ;
numerisk løsning af partielle differentialligninger (ligninger for matematisk fysik );
løsning af optimeringsproblemer .

System af lineære algebraiske ligninger

Et system af m lineære algebraiske ligninger med n ukendte (eller, lineært system , forkortelsen SLAU bruges også) i lineær algebra er et ligningssystem af formen

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

(en)

Her er antallet af ligninger, og er antallet af ukendte. x 1 , x 2 , …, x n er ukendte, der skal bestemmes. a 11 , a 12 , …, a mn — koefficienter for systemet — og b 1 , b 2 , … b m — frie medlemmer — formodes at være kendt [4] . Indeks for systemets koefficienter ( a ij ) angiver tallet for henholdsvis ligningen ( i ) og den ukendte ( j ), som denne koefficient står ved [5] . $m$ $n$

System (1) kaldes homogent , hvis alle dets frie medlemmer er lig med nul ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), ellers - inhomogent .

System (1) kaldes kvadratisk , hvis antallet m af ligninger er lig med antallet n af ukendte.

Løsningen af system (1) er et sæt af n tal c 1 , c 2 , …, c n , således at substitution af hver c i i stedet for x i til system (1) gør alle dens ligninger til identiteter .

System (1) kaldes kompatibelt , hvis det har mindst én løsning, og inkonsekvent , hvis det ikke har nogen løsning.

Et fælles system af formen (1) kan have en eller flere løsninger.

Løsninger c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) og c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) af et fælles system af formen (1) kaldes distinkte , hvis de krænker mindst en af lighederne:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Et fælles system af formen (1) kaldes bestemt , hvis det har en unik løsning; hvis det har mindst to forskellige løsninger, så kaldes det ubestemt . Hvis der er flere ligninger end ukendte, kaldes det overbestemt .

Der er direkte og iterative metoder til løsning af lineære algebraiske ligninger. Direkte (eller eksakte) metoder giver dig mulighed for at finde en løsning i et vist antal trin. Iterative metoder er baseret på brugen af en iterativ proces og gør det muligt at opnå en løsning som følge af successive tilnærmelser.

Direkte metoder

Gauss metode
Gauss-Jordan metode
Cramer metode
Matrix metode
Fejemetode (til tridiagonale matricer )
Cholesky nedbrydning eller kvadratrodsmetode (til positiv-definite symmetriske og hermitiske matricer)
Rotationsmetode [6]

Iterative metoder

Jacobi metode
Gauss-Seidel metode
Afslapningsmetode
Multigrid metode
Montante metode
Abramovs metode (velegnet til at løse små SLAE'er)
Metode til generaliserede minimumsrestværdier
Bikonjugeret gradientmetode
Stabiliseret bikonjugat gradientmetode
Kvadratisk
Metode for kvasi-minimumsrester ( QMR )

Interpolation

Interpolation , interpolation - i beregningsmatematik, en måde at finde mellemværdier af en mængde fra et eksisterende diskret sæt af kendte værdier.

Mange af dem, der beskæftiger sig med videnskabelige og tekniske beregninger, må ofte operere på værdisæt opnået ved erfaring eller tilfældig stikprøve . Som regel er det på grundlag af disse sæt påkrævet at konstruere en funktion , hvor andre opnåede værdier kan falde med høj nøjagtighed. Sådan en opgave kaldes tilnærmelse . Interpolation er en type tilnærmelse, hvor kurven for den konstruerede funktion passerer nøjagtigt gennem de tilgængelige datapunkter.

Der er også et problem tæt på interpolation, som består i at tilnærme en kompleks funktion med en anden, enklere funktion. Hvis en bestemt funktion er for kompleks til produktive beregninger, kan du prøve at beregne dens værdi på flere punkter og bygge, det vil sige interpolere, en enklere funktion ud fra dem. Naturligvis giver brug af en forenklet funktion ikke mulighed for at få de samme nøjagtige resultater, som den oprindelige funktion ville give. Men i nogle klasser af problemer kan gevinsten i enkelhed og hastighed af beregninger opveje den resulterende fejl i resultaterne.

Vi bør også nævne en helt anden form for matematisk interpolation, kendt som "operatørinterpolation". Klassiske værker om operatorinterpolation omfatter Riesz-Thorin- sætningen og Marcinkiewicz-sætningen , som er grundlaget for mange andre værker.

Interpolationsmetoder

Interpolation ved den nærmeste nabo metode .
Lineær interpolation
Newtons interpolationsformel
Endelig forskelsmetode
IMN-1 og IMN-2
Lagrangepolynomium (interpolationspolynomium)
Aitkens plan
spline funktion
kubisk spline
Lagrange polynomium
Invers interpolation med Newtons formel
Invers Gauss-interpolation
Bilineær interpolation
Bikubisk interpolation
Rationel interpolation
Trigonometrisk interpolation
Approksimation - metoder til at konstruere omtrentlige kurver
Ekstrapolation - metoder til at finde punkter uden for et givet interval (kurveudvidelse)

Tilnærmelse

Approksimation , eller tilnærmelse - en videnskabelig metode , der består i at erstatte nogle objekter med andre, i en eller anden forstand tæt på originalen, men enklere.

Approksimation giver dig mulighed for at udforske et objekts numeriske egenskaber og kvalitative egenskaber, hvilket reducerer problemet til studiet af enklere eller mere bekvemme objekter (for eksempel dem, hvis egenskaber let beregnes, eller hvis egenskaber allerede er kendte). I talteorien studeres diofantiske tilnærmelser , især tilnærmelser af irrationelle tal med rationelle . I geometri betragtes tilnærmelser af kurver med stiplede linjer . Nogle grene af matematikken er i det væsentlige udelukkende afsat til tilnærmelse, for eksempel teorien om tilnærmelse af funktioner , numeriske analysemetoder .

Ekstrapolering

Ekstrapolation , ekstrapolation (fra lat. extrā - udenfor, udenfor, hinsides, undtagen og lat. poler - glatte, rette, ændre, ændre [7] ) - en speciel type tilnærmelse , hvor funktionen tilnærmes uden for et givet interval, og ikke mellem givne værdier .

Med andre ord er ekstrapolation en omtrentlig bestemmelse af værdierne af en funktion i punkter, der ligger uden for segmentet , ved dens værdier ved punkter . $f(x)$ $x$ $[x_{0},x_{n}]$ $x_{0}<x_{1}<...<x_{n}$

Ekstrapolationsmetoder ligner i mange tilfælde interpolationsmetoder. Den mest almindelige ekstrapolationsmetode er polynomisk ekstrapolation, hvor værdien i punktet tages som værdien af gradpolynomiet , der tager de givne værdier ved punktet . Til polynomisk ekstrapolation anvendes interpolationsformler. $f(x)$ $x$ $P_n(x)$ $n$ $n+1$ $x_{n}$ $y_{i}=f(x_{i})$

Numerisk integration

Numerisk integration - beregning af værdien af et bestemt integral (normalt omtrentlig). Numerisk integration forstås som et sæt numeriske metoder til at finde værdien af et bestemt integral.

Numerisk integration anvendes, når:

Selve integranden er ikke defineret analytisk. For eksempel præsenteres det som en tabel (array) af værdier ved noderne i et eller andet beregningsgitter.
Den analytiske repræsentation af integranden er kendt, men dens antiderivat er ikke udtrykt i form af analytiske funktioner. For eksempel . $f(x)=\exp(-x^{2})$

I disse to tilfælde er det umuligt at beregne integralet ved hjælp af Newton-Leibniz formlen . Det er også muligt, at formen af antiderivatet er så kompleks, at det er hurtigere at beregne værdien af integralet numerisk.

Endimensionel sag

Hovedideen med de fleste metoder til numerisk integration er at erstatte integranden med en enklere, hvis integral let kan beregnes analytisk. I dette tilfælde, for at estimere værdien af integralet, formler for formen

I\ca. \sum _{{i=1}}^{{n}}w_{i}\,f(x_{i}),

hvor er antallet af point, hvorved værdien af integranden beregnes. Punkterne kaldes metodens noder, tallene er nodernes vægte. Når integranden erstattes af et polynomium på nul, første og anden grad, opnås metoderne for henholdsvis rektangler , trapezoider og paraboler (Simpson). Ofte kaldes formler til at estimere værdien af integralet kvadraturformler. $n$ $x_{i}$ $w_{i}$

Et særligt tilfælde er metoden til at konstruere integrale kvadraturformler for ensartede gitter, kendt som Cotes-formlerne . Metoden er opkaldt efter Roger Coates . Hovedideen med metoden er at erstatte integranden med en slags interpolationspolynomium . Efter at have taget integralet kan vi skrive

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{{i=0}}^{{n}}H_{i}\,f(x_{i})+ r_{n}(f),

hvor tallene kaldes Cotes-koefficienter og beregnes som integraler af de tilsvarende polynomier i det oprindelige interpolationspolynomium for integranden ved værdien af funktionen ved knudepunktet ( er gittertrinnet; er antallet af gitterknuder og knudeindekset er ). Udtrykket er metodens fejl, som kan findes på forskellige måder. For ulige kan fejlen findes ved at integrere fejlen i integrandens interpolationspolynomium. $Hej$ $x_{i}=a+ih$ $h=(ba)/n$ $n$ $i=0\ldots n$ $r_{n}(f)$ $n\geqslant 1$

Særlige tilfælde af Cotes-formler er: rektangelformler (n=0), trapezformler (n=1), Simpson-formel (n=2), Newtonformel (n=3) osv.

Partiel differentialligning

En partiel differentialligning (specielle tilfælde er også kendt som ligninger af matematisk fysik , UMF ) er en differentialligning, der indeholder ukendte funktioner af flere variable og deres partielle afledninger .

Historikere opdagede den første partielle differentialligning i Eulers artikler om teorien om overflader, der dateres tilbage til 1734-1735 (udgivet i 1740). I moderne notation så det sådan ud:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Begyndende i 1743 sluttede d'Alembert sig til Eulers arbejde og opdagede en generel løsning på bølgeligningen for en strengs vibrationer. I de efterfølgende år udgav Euler og d'Alembert en række metoder og teknikker til at undersøge og løse visse partielle differentialligninger. Disse værker har endnu ikke skabt nogen fuldstændig teori.

Andet trin i udviklingen af dette tema kan dateres til 1770-1830. De dybtgående studier af Lagrange , Cauchy og Jacobi hører til denne periode . De første systematiske undersøgelser af partielle differentialligninger begyndte at blive udført af Fourier . Han anvendte en ny metode til løsningen af strengligningen - metoden til adskillelse af variabler , som senere fik hans navn.

En ny generel tilgang til emnet, baseret på teorien om kontinuerlige transformationsgrupper , blev foreslået i 1870'erne af Sophus Lie .

Der er to typer metoder til at løse denne type ligninger:

analytisk, hvor resultatet er udledt af forskellige matematiske transformationer;
numerisk, hvor det opnåede resultat svarer til det rigtige med en given nøjagtighed, men som kræver mange rutineberegninger og derfor kun kan udføres ved hjælp af computerteknologi (computer).

Matematisk statistik

Matematisk statistik er en gren af matematikken, der udvikler metoder til at registrere, beskrive og analysere observations- og eksperimentelle data med henblik på at opbygge probabilistiske modeller af massetilfældige fænomener [8] . Afhængigt af den matematiske karakter af de specifikke resultater af observationer, er matematisk statistik opdelt i statistik over tal, multivariat statistisk analyse, analyse af funktioner (processer) og tidsserier og statistik over ikke-numeriske objekter.

Der er beskrivende statistikker , estimeringsteori og hypotesetestteori .

En stor del af moderne matematisk statistik er statistisk sekventiel analyse , et grundlæggende bidrag til skabelsen og udviklingen af denne blev ydet af A. Wald under Anden Verdenskrig . I modsætning til traditionelle (inkonsekvente) metoder til statistisk analyse baseret på en tilfældig stikprøve af en fast størrelse, tillader sekventiel analyse dannelsen af en række observationer én ad gangen (eller mere generelt i grupper), mens beslutningen om at udføre den næste observation (gruppe af observationer) er lavet på baseret på den allerede akkumulerede række af observationer. I lyset af dette er teorien om sekventiel statistisk analyse tæt forbundet med teorien om optimal standsning .

I matematisk statistik er der en generel teori om hypotesetestning og et stort antal metoder dedikeret til at teste specifikke hypoteser. Hypoteser overvejes om værdierne af parametre og karakteristika, om kontrol af homogenitet (det vil sige om sammenfaldet af karakteristika eller fordelingsfunktioner i to prøver), om overensstemmelsen mellem den empiriske fordelingsfunktion med en given fordelingsfunktion eller med en parametrisk familie af sådanne funktioner, om fordelingens symmetri osv.

Af stor betydning er den sektion af matematisk statistik, der er forbundet med udførelse af stikprøveundersøgelser , med egenskaberne ved forskellige prøveudtagningsordninger og konstruktionen af passende metoder til at estimere og teste hypoteser.

Forskellige metoder til konstruktion (klyngeanalyse), analyse og brug (diskriminerende analyse) af klassifikationer (typologier) kaldes også metoder til mønstergenkendelse (med og uden lærer), automatisk klassifikation osv.

Se også

Noter

↑ Duncan J. Melville, fotografi, illustration og beskrivelse af tabletten fra Yale Babylonian Collection, Mesopotamian Mathematics, St. Lawrence University, 18. september 2006. ${\sqrt {2}}$ . Hentet 18. marts 2012. Arkiveret fra originalen 13. august 2012. (ubestemt)
↑ 1 2 3 4 5 Beregningsmatematik / A. N. Tikhonov // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Mucha V.S. Beregningsmetoder og computeralgebra: lærebogsmetode. godtgørelse. — 2. udg., rettet. og yderligere - Minsk: BSUIR, 2010.- 148 s.: silt, ISBN 978-985-488-522-3 , UDC 519.6 (075.8), BBK 22.19ya73, M92
↑ I denne artikels formål betragtes systemkoefficienter, frie termer og ukendte som reelle tal, selvom de kan være komplekse eller endda komplekse matematiske objekter, forudsat at de har multiplikations- og additionsoperationer defineret for dem.
↑ Ilyin V. A., Poznyak E. G. Lineær algebra: Lærebog for universiteter. - 6. udg., slettet. — M.: FIZMATLIT, 2004. — 280 s.
↑ Verzhbitsky V. M. Grundlæggende om numeriske metoder. - M . : Højere skole , 2009. - S. 80-84. — 840 s. — ISBN 9785060061239 .
↑ Ekstrapolering: etymologi Arkiveret 17. juni 2013 på Wayback Machine
Interpolation: etymologi
↑ Probabilistiske sektioner af matematik / Ed. Yu. D. Maksimova. - Sankt Petersborg. : "Ivan Fedorov", 2001. - S. 400 . — 592 s. — ISBN 5-81940-050-X .

Litteratur

Beregningsmatematik / N. S. Bakhvalov // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Beregningsmatematik / A. N. Tikhonov // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
Marchuk GI Metody vychislitel'noi matematiki [Methods of computational mathematics]. - Novosibirsk: Nauka, 1973.
Babenko K. I. Grundlæggende om numerisk analyse. — M .: Nauka, 1986.
Bakhvalov N. S. Numeriske metoder. 3. udg. - M. , 2003.
Voevodin VV Matematiske grundlag for parallel computing. - M. : Publishing House of Moscow State University, 1991. - 345 s.
Voevodin VV, Voevodin Vl. B. Parallel computing. - Sankt Petersborg. : BHV-Petersburg, 2002. - 608 s.
B. P. Demidovich , I. A. Maron, Fundamentals of Computational Mathematics. - 2. udg. - M . : Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1963.
Dyachenko VF Grundlæggende begreber i beregningsmatematik. — M .: Nauka, 1972.
Beregningsmetoder til analyse af modeller af komplekse dynamiske systemer: Proc. tilskud til universitetsstuderende f.eks. "Anvendt matematik og fysik" / A. I. Lobanov , I. B. Petrov ; Undervisningsministeriet Ros. Føderation. Moskva Institut for Fysik og Teknologi (Statsuniversitetet). - M .: MIPT, 2000. - 21 cm.
- Del 1. - 2000. - 168 s. : ill., tab.; ISBN 5-7417-0149-3
- Del 2. - 2002. - 154 s. : ill.; ISBN 5-7417-0199-X
Beregningsmatematik: et kursus med forelæsninger / A. I. Lobanov, I. B. Petrov . - Moskva: Fizmatkniga, 2021. - 475 s. : ill.; 22 se - (Phystech kurser).; ISBN 978-5-89155-341-5 : 300 eksemplarer
Kantorovich L. V. , Krylov V. I. Tilnærmede metoder til højere analyse. - M. - L .: GIITL, 1949.

Links

Matematik software
Symbolske beregninger	Aksiom hul ahorn Mathcad Mathematica Maxima Reducere Salvie SMath Studio Yacas
Numeriske beregninger	Fityk FreeMat GAUSS GNU Octave gnuplot gretl Julia Labplot LabVIEW MagicPlot MATLAB Oprindelse QtiPlot R SciDAVis Scilab Sigma plot Tal let VisSim