Eksperimentel matematik

Eksperimentel matematik  er en gren af ​​matematikken , der er kendetegnet ved brugen af ​​forskellige teknikker, herunder metoder til substitution, forskydning, beviser fra det modsatte, herunder brugen af ​​elektroniske computerværktøjer til at verificere, bekræfte gamle og opnå nye fakta ( sætninger ) i matematik . Alle resultater opnået i eksperimentel matematik er strengt beviste udsagn om matematik. Strengt taget er eventuelle beviser , beregninger, beregninger osv. eksperimenter for at opnå nye love (sætninger). Men i eksperimentel matematik bruges moderne computerteknologi til at udføre eksperimenter , hvilket gør det muligt at udføre eksperimenter , der er utilgængelige med manuel tælling. Den vigtigste metode til eksperimentel matematik er bevisberegninger , hvor resultaterne af beregninger bruges til strengt at bevise matematiske fakta .

Paul Richard Halmos skrev: „Matematik er ikke en deduktiv videnskab  – det er en kliché. Hvis du forsøger at bevise en sætning, er det ikke nok for dig at opregne præmisserne og derefter begynde at ræsonnere. Det du gør er at prøve og fejle , eksperimentere og gætte. Du skal finde ud af, hvad kendsgerningen er, og det, du laver, er som en forsøgsleders arbejde i et laboratorium" [1] .

Historie

Matematikere har altid praktiseret eksperimentel matematik. Der er optegnelser fra tidlige matematikere, såsom dem fra Babylon , som normalt består af en liste over numeriske eksempler, der illustrerer en algebraisk identitet. Imidlertid har moderne matematikere siden det 17. århundrede udviklet en tradition for at trykke resultater i en endelig, formel fremstilling. Numeriske eksempler, der kunne føre matematik til formuleringen af ​​sætningen, blev ikke offentliggjort, og er som regel glemt.

Eksperimentel matematik som et separat studieområde blev genoplivet i det tyvende århundrede, da opfindelsen af ​​elektroniske computere i høj grad øgede området for gennemførlige beregninger med en hastighed og nøjagtighed, der var utilgængelig for tidligere generationer af matematikere. En væsentlig milepæl og præstation inden for eksperimentel matematik var opdagelsen i 1995 af Bailey-Borwain-Pluff-formlen for de binære cifre i tallet π. Formlen blev ikke opdaget af formelle årsager, men efter en computersøgning. Først derefter blev der fundet et strengt bevis [2] .

Formål og anvendelser

Formålet med eksperimentel matematik er "at opnå forståelse og indsigt i essensen af ​​begreber, at bekræfte eller afkræfte hypoteser, at gøre matematik mere håndgribeligt, levende og interessant for både professionelle matematikere og amatører" [3] .

Brug af eksperimentel matematik [4] :

  1. Indtrængen i emnets essens og følelse.
  2. Opdagelse af nye modeller og forbindelser.
  3. Brug af grafiske displays til at forsøge at gætte de underliggende principper.
  4. Test og afkræftelse af hypoteser.
  5. Undersøgelse af mulige resultater for at vurdere, om de er værdifulde formelle beviser.
  6. Forslag til fremgangsmåder til formel bevis.
  7. Udskiftning af lange manuelle ledninger med computerbaserede ledninger.
  8. Bekræftelse af de opnåede analyseresultater.

Apparatur og teknologi

Eksperimentel matematik bruger beregningsmetoder til at beregne omtrentlige værdier af integraler og summer af uendelige rækker. Arbitrær præcision aritmetik bruges ofte til beregninger,  normalt 100 signifikante cifre eller mere. Heltalsforholdsalgoritmen bruges derefter til at finde sammenhænge mellem disse værdier og matematiske konstanter. At arbejde med høj præcision reducerer muligheden for at forveksle et matematisk match med et ægte forhold. Den leder derefter efter formelt bevis for det påståede forhold - det er ofte lettere at finde beviser, hvis det hypotetiske forhold er kendt.

Hvis du leder efter et modeksempel, eller du har brug for at producere et bevis, der kræver en stor mængde opregning, kan en distribueret computerteknik bruges til at fordele beregningen mellem computere.

Almindelige computeralgebrasystemer som Mathematica bruges ofte , selvom domænespecifikke programmer også er skrevet for at angribe problemer, der kræver høj effektivitet. Eksperimentel matematiksoftware inkluderer typisk fejldetektions- og korrektionsmekanismer , integritetskontrol og redundante beregninger for at minimere muligheden for fejlagtige resultater fra softwarefejl eller processornedbrud.

Applikationer og eksempler

Plausible, men ukorrekte eksempler

Nogle plausible forbindelser er lavet med en høj grad af nøjagtighed, men forbliver forkerte. Sådan et eksempel:

Begge sider af dette udtryk adskiller sig kun i det 42. tegn [8] .

Et andet eksempel er, at den maksimale højde (den maksimale absolutte værdi af koefficienterne) af alle faktorer x n − 1 viser sig at være den samme som højden af ​​det cirkulære polynomium af n . grad. Computerberegninger har vist, at dette er sandt for n < 10000 og forventede, at dette var sandt for alle n . En mere omfattende søgning viste imidlertid, at ligheden ikke er sand for n = 14235, når højden af ​​det n. grads cirkulære polynomium er 2, og den maksimale højde af x n − 1 faktorer er 3 [9] .

Udforskere

Følgende matematikere og dataloger har ydet betydelige bidrag til området eksperimentel matematik:

Se også

Noter

  1. ↑ Halmos, 1985 , s. 321.
  2. ↑ The Quest for Pi Arkiveret 27. september 2011 på Wayback Machine af David G. Bailey , Jonathan Borwein , Peter J. Borwein og Simon Plouff .
  3. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , s. VII .
  4. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , s. 2.
  5. ↑ Lam, 1991 , s. 305-318.
  6. ↑ Bailey, 1997 .
  7. ↑ Mumford, Series, Wright, 2002 , s. VIII.
  8. ↑ Bailey, Borwein, 2005 .
  9. ↑ Højden af ​​Φ 4745 er 3 og 14235 = 3 x 4745. Se Sloan-sekvenserne A137979 og A160338 .

Litteratur

Links