Gauss interpolationsformel

Gauss-interpolationsformlen er en formel, der bruger noderne tættest på interpolationspunktet som interpolationsnoder . Det er konstrueret ved hjælp af Newtons interpolationsformel . $x$

Lad det være nødvendigt at interpolere en eller anden funktion . Hvis , hvor er et begyndelsespunkt, , så formlen $f$ $x=x_{0}+th$ $x_{0}$ $h>0$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2 }]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ](tn)\over(2n)!},

skrevet af noder kaldes Gauss-formlen for fremad interpolation , og formlen $x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh$

G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \ over 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2} ] \over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]( t+n)\over(2n)!},

skrevet i knob kaldes Gauss formlen for baglæns interpolation . $x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh$

Begge formler bruger endelige forskelle defineret som følger:

f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^ {m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}

Fordelen ved Gauss-interpolationsformlen er, at dette valg af interpolationsnoder giver det bedste estimat af den resterende term sammenlignet med ethvert andet valg, og rækkefølgen af knudepunkterne, når de kommer tættere på interpolationspunktet, reducerer beregningsfejlen for interpolationen.

Litteratur

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Beregningsmetoder. Bind I. - 2. udg., stereotypisk - M .: Fizmatgiz . 1962.
Bakhvalov N. S. Numeriske metoder, M., 1973.