Cosinus-sætning

Cosinussætningen er en sætning af euklidisk geometri , der generaliserer Pythagoras sætning til vilkårlige plane trekanter.

Ordlyd

For en flad trekant med sider og en vinkel modsat side er forholdet sandt: $a,b,c$ $\alfa$ $-en$

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha

Kvadratet af en side i en trekant er lig med summen af kvadraterne på de to andre sider minus to gange produktet af disse sider og cosinus af vinklen mellem dem [1]

Beviser

Klassisk bevis

Overvej trekant ABC . Fra top C til side AB sænkes højden CD . Fra trekant ADC følger:

AD=b\cos \alpha

hvor

DB=cb\cos \alpha

Lad os skrive Pythagoras sætning for to retvinklede trekanter ADC og BDC :

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Vi sidestiller de rigtige dele af ligning (1) og (2) og:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}

eller

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Tilfældet, hvor en af vinklerne ved basen er stump (og højden falder på fortsættelsen af basen), er fuldstændig analog med det betragtede.

Udtryk for siderne b og c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

. Bevis via koordinater

Et af beviserne er beviset for det i koordinatplanet.

Vi indfører en vilkårlig trekant ABC i koordinatplanet, så punktet A falder sammen med koordinaternes begyndelse, og linjen AB ligger på linjen OX . Lad os introducere notationen AB = c , AC = b , CB = a , en vinkel CAB = α (for nu vil vi antage, at α ≠ 90°).
Så har punkt A koordinater (0;0), punkt B (c;0). Gennem funktionen sin og cos , samt siden AC \ u003d b , udleder vi koordinaterne til punktet C. C (bxcosα; bxsinα). Koordinaterne for punktet C forbliver uændrede for stump og spids vinkel α .
Ved at kende koordinaterne C og B , og også vide, at CB = a , efter at have fundet længden af segmentet, kan vi lave en lighed: Siden (den trigonometriske hovedidentitet), så er sætningen bevist. For en ret vinkel α virker sætningen også cos90° = 0 og a²=b²+c² - den velkendte Pythagoras sætning. Men da koordinatmetoden er baseret på Pythagoras sætning, er dens bevis gennem cosinussætningen ikke helt korrekt.
$a^{2}=(b\cos {a}-c)^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos ^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin ^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$

$\cos ^{2}{a}+\sin ^{2}{a}=1$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$

Bevis via vektorer

Nedenfor mener vi operationer på vektorer, ikke længder af segmenter $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Da skalarproduktet af vektorer er lig med produktet af deres moduler (længder) og cosinus af vinklen mellem dem, kan det sidste udtryk omskrives: hvor a, b, c er længderne af de tilsvarende vektorer
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Konsekvenser

Cosinussætningen kan bruges til at finde cosinus for vinklen i en trekant $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

I særdeleshed,

Hvis , vinkel α er spids $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$
Hvis , vinkel α er lige (hvis vinkel α er lige , så bliver cosinussætningen Pythagoras sætning ) $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$
Hvis , er vinklen α stump $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$

Cosinussætningen kan også skrives på følgende form [2] :

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

a^{2}=(bc)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

. Bevis

De sidste to formler følger øjeblikkeligt fra hovedformlen i cosinussætningen (se boksen ovenfor), hvis vi i dens højre del bruger formlerne til at udvide kvadratet af summen (for den anden formel, kvadratet af forskellen) af to termer til et kvadratisk trinomium, som er et perfekt kvadrat. For at opnå det endelige resultat (de to ovenstående formler) i højre side, skal du også bruge de velkendte trigonometriske formler:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

Den anden formel indeholder i øvrigt ikke formelt cosinus, men den kaldes stadig for cosinussætningen.

Finder vi eksplicit fra de sidste to formler og , får vi de velkendte geometriformler [2] : $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(pa)}{bc))))$ , , , hvor p er halvperimeteren af . ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{bc))))$ $\operatørnavn {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{p(pa)))}$
Til sidst, ved at bruge højre side af formlerne for og og den velkendte formel for arealet af en trekant: , såvel som den velkendte formel for sinus af en dobbelt vinkel, efter små transformationer, få den velkendte Heron-formel for arealet af en trekant: , hvor p er halvperimeteren . $\cos(\alpha /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha$ $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ $S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$

For andre vinkler

Cosinussætningen for de to andre vinkler er:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

Fra disse og fra hovedformlen kan vinklerne udtrykkes:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

Historie

Udsagn, der generaliserer Pythagoras sætning og svarer til cosinussætningen, blev formuleret separat for tilfælde af spidse og stumpe vinkler i 12 og 13 sætninger i Bog II af Euklids elementer .

Udsagn svarende til cosinussætningen for en sfærisk trekant er blevet anvendt i al-Battanis skrifter . [3] :105 Cosinussætningen for en sfærisk trekant i sin sædvanlige form blev formuleret af Regiomontanus , som kaldte den "Albategnius-sætningen" efter al-Battani.

I Europa blev cosinussætningen populariseret af François Viet i det 16. århundrede. I begyndelsen af det 19. århundrede begyndte det at blive skrevet i den algebraiske notation, der er accepteret den dag i dag.

Variationer og generaliseringer

Cosinussætninger (sfærisk geometri) eller Cosinussætning for en triedrisk vinkel .
Cosinussætninger (Lobachevsky geometri)
Parallelogram identitet . Summen af kvadraterne af diagonalerne i et parallelogram er lig med summen af kvadraterne på dets sider (se også Ptolemæus' sætning ): $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

For euklidiske normerede rum

Lad normen forbundet med skalarproduktet være givet i det euklidiske rum , dvs. Derefter formuleres cosinussætningen som følger: $E$ $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}}))))$

Sætning .
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\venstre \Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

For firkanter

Ved at kvadrere identiteten kan du få udsagnet, nogle gange kaldet cosinussætningen for firkanter : ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, hvor er vinklen mellem linje AB og CD .

\omega

For ellers:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C

Formlen er også gyldig for et tetraeder, hvilket betyder vinklen mellem krydsende kanter.

w

Ved at bruge det kan du finde cosinus af vinklen mellem krydsende kanter og kende alle kanterne af tetraederet:

-en

c

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Hvor og , og er par af krydsende kanter af tetraederet.

b

d

e

f

En indirekte analog til en firkant

Bretschneider-relationen er en relation i en firkant , en indirekte analog til cosinussætningen:

Mellem siderne a, b, c, d og de modstående vinkler og diagonaler e, f af en simpel (ikke-selv-skærende) firkant gælder forholdet: $\alpha ,\gamma$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )

Hvis en firkant degenererer til en trekant, og et toppunkt falder på en side, så fås Stewarts sætning .
Cosinussætningen for en trekant er et specialtilfælde af Bretschneider-relationen, hvis midten af trekantens omskrevne cirkel er valgt som fjerde toppunkt.

Simplexes

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j))){2^{n-1}((n- 1)!)^{2))}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\dots &d_{1(n+1)} ^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\dots &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{ 32}^{2}&0&\dots &d_{3(n+1)}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{(n+1) 1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}

samtidig skal vi krydse linjen og kolonnen ud, hvor eller er placeret . $d_{ij}$ $d_{ji}$

A er vinklen mellem fladerne og , er fladen modsat toppunktet i, er afstanden mellem hjørnerne i og j . $S_{i}$ $S_{j}$ $S_{i}$ $d_{ij}$

Se også

Noter

↑ L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev og andre. Geometri 7-9: lærebog. til almen uddannelse institutioner - 15. udg. — M.: Oplysning, 2005. — S. 257. — 384 s.: ill. — ISBN 5-09-014398-6
↑ 1 2 Korn G. A., Korn T. M. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 51. - 832 s.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics - 5. udgave 1991

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M. : MTSNMO , 2004. - S. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0 .

Trekant
Typer af trekanter	Rektangulær Ligebenet Ligesidet Ligebenet rektangulær
Vidunderlige linjer i en trekant	Median Højde Bisector Midtvinkelret midterste linje Omskrevne og indskrevne cirkler Simsons lige linje Euler linje Simediana Cheviana
Bemærkelsesværdige punkter i trekanten	Ortocenter Centroid Incenter Brocard punkt Vecten punkt Point Gergonne Lemoine punkt Miquel point Nagel point Napoleon peger Torricellis punkter Ni punkt cirkel centrum Spieker Center Encyclopedia of Triangle Centres
Grundlæggende teoremer	trekant ulighed Tegn på lighed mellem trekanter Løsning af trekanter Trekantets udvendige vinkelsætning Trekantsummen af vinkler sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Sinus-sætning Projektionssætningen Herons formel
Yderligere teoremer	Van Obels sætning Menelaos sætning Reuschle (Terkema) sætning Stewarts teorem Tangentsætning Cotangenssætning Cevas sætning Mollweide formler
Generaliseringer	sfærisk trekant hyperbolsk trekant Simplex

Trigonometri
Generel	Trigonometri oversigt Historie Brug Funktioner Baglæns Sjældent brugt Generaliseret trigonometri
Vejviser	Identiteter Præcise konstanter borde enhedscirkel
Love og teoremer	Sinus-sætning Pythagoras sætning Cosinus-sætning Tangentsætning Cotangenssætning Løsning af trekanter
Matematisk analyse	Trigonometrisk substitution Integraler ( omvendte funktioner ) Derivater