Analyse af infinitesimals

Infinitesimal analyse  er det historiske navn for calculus , grenen af ​​højere matematik , der studerer grænser , afledte , integraler og uendelige rækker , og er en vigtig del af moderne matematisk uddannelse. Den består af to hoveddele: differentialregning og integralregning , som er forbundet med Newton-Leibniz-formlen .

Antikken

I den antikke periode dukkede nogle ideer op, som senere førte til integralregning, men i den æra blev disse ideer ikke udviklet på en streng, systematisk måde. Beregninger af rumfang og arealer, som er et af målene for integralregningen, kan findes i Moscow Mathematical Papyrus fra Egypten (ca. 1820 f.Kr.), men formlerne er flere instruktioner, uden angivelse af metoden, og nogle er simpelthen fejlagtige. [1] I den græske matematiks æra brugte Eudoxus (ca. 408-355 f.Kr.) udmattelsesmetoden til at beregne arealer og volumener , som forudser konceptet om en grænse, og senere blev denne idé videreudviklet af Archimedes (ca. 287) -212 f.Kr.), f.Kr.), opfinder heuristik , der ligner metoderne til integralregning. [2] Udmattelsesmetoden blev senere opfundet i Kina af Liu Hui i det 3. århundrede e.Kr., som han brugte til at beregne arealet af en cirkel. [3] I det 5. e.Kr. udviklede Zu Chongzhi en metode til at beregne rumfanget af en kugle, som senere ville blive kaldt Cavalieris princip . [fire]

Middelalder

I det 14. århundrede introducerede den indiske matematiker Madhava Sangamagrama og den astronomiske matematiske skole i Kerala mange komponenter i beregninger såsom Taylor -serier, uendelig rækketilnærmelse , integral konvergenstest , tidlige former for differentiering, term-for-term integration, iterative metoder til løse ikke-lineære ligninger og bestemme hvilket areal under kurven der er dens integral. Nogle anser Yuktibhaza (Yuktibhāṣā) for at være det første arbejde med calculus. [5]

Moderne æra

I Europa blev afhandlingen af ​​Bonaventure Cavalieri et grundlæggende værk , hvori han argumenterede for, at volumener og arealer kan beregnes som summen af ​​volumener og arealer af et uendeligt tyndt snit. Idéerne lignede dem, der blev fremsat af Archimedes i Metode, men denne afhandling af Archimedes gik tabt indtil første halvdel af det 20. århundrede. Cavalieris arbejde blev ikke anerkendt, da hans metoder kunne føre til fejlagtige resultater, og han skabte et tvivlsomt ry for uendelige små værdier.

Den formelle undersøgelse af infinitesimalregningen, som Cavalieri kombinerede med beregningen af ​​finite forskelle , blev udført i Europa på omtrent samme tid. Pierre Fermat , der hævdede, at han lånte dette fra Diophantus , introducerede begrebet "kvasi-lighed" ( engelsk  adequality ), som var lighed op til en uendelig fejl. [7] John Wallis , Isaac Barrow og James Gregory ydede også store bidrag . De sidste to omkring 1675 beviste den anden grundlæggende sætning af kalkulus .

Isaac Newton introducerede produktreglen og kædereglen , begrebet højere ordens derivater , Taylor-rækker og analytiske funktioner i særegne notation, som han brugte til at løse problemer i matematisk fysik . I sine publikationer omformulerede Newton sine ideer i overensstemmelse med datidens matematiske sprog og erstattede infinitesimale beregninger med andre ækvivalente former for geometriske repræsentationer, der blev betragtet som fejlfrie. Han brugte beregningsmetoderne til at løse problemerne med planetbevægelse, formen af ​​overfladerne af en roterende væske, jordens oblatehed, glidningen af ​​en belastning på en cykloid og mange andre problemer, som han skitserede i sit arbejde Naturfilosofiens matematiske principper (1687). I andet arbejde udviklede han serieudvidelser af funktioner, herunder dem, der brugte brøk- og irrationelle potenser, og det var tydeligt, at han forstod principperne i Taylor-serien . Han offentliggjorde ikke alle sine opdagelser, for på det tidspunkt havde de infinitesimale metoder et tvivlsomt ry.

Disse ideer blev kodificeret til ægte infinitesimalregning af Gottfried Wilhelm Leibniz , som oprindeligt blev anklaget for plagiat af Newton . [8] Han betragtes i øjeblikket som en uafhængig opfinder og udvikler af calculus. Hans bidrag ligger i udviklingen af ​​klare regler for at arbejde med infinitesimals, der muliggør beregning af afledte af anden og højere orden, samt i udviklingen af ​​produktreglen og kædereglen i deres differentielle og integrale former. I modsætning til Newton lagde Leibniz stor vægt på formalisme og brugte ofte mange dage på at vælge de rigtige symboler til specifikke begreber.

Opfindelsen af ​​calculus er normalt krediteret både Leibniz og Newton . Newton var den første til at anvende calculus til generel fysik , og Leibniz udviklede meget af den notation, der bruges i calculus i dag. Den vigtigste indsigt, som både Newton og Leibniz viste, var opdagelsen af ​​lovene om differentiering og integration, indførelsen af ​​anden og højere ordens afledte og indførelsen af ​​begrebet serietilnærmelse af polynomier. På Newtons tid var den grundlæggende sætning for kalkulering allerede kendt.

Da Newton og Leibniz først offentliggjorde deres resultater, var der ingen alvorlig uenighed på det tidspunkt om matematikerens (og dermed landets) prioritet på denne innovation. Newton var den første til at få sine resultater, men Leibniz var den første til at offentliggøre sine. Newton hævdede senere, at Leibniz havde stjålet hans ideer fra upublicerede noter, Newton havde delt med flere medlemmer af Royal Society . Denne kontrovers adskilte engelsktalende matematikere fra deres kontinentale kolleger i mange år, til skade for engelsk matematik. En omhyggelig undersøgelse af Leibniz og Newtons arbejde viste, at de opnåede deres resultater uafhængigt af hinanden, Leibniz begyndte med integration, og Newton med differentiering. I dag krediteres udviklingen af ​​calculus både Newton og Leibniz. Vi modtog navnet på den nye disciplin fra Leibniz. Newton kaldte sin calculus "metoder til derivater".

Siden Leibniz og Newtons tid har mange matematikere bidraget til den videre udvikling af calculus. Et af de første mest komplette værker om analysen af ​​finit og infinitesimal var en bog skrevet i 1748 af Maria Gaetana Agnesi . [9]

Fundamenter

I matematik henviser fundamenter til en streng definition af et emne, der starter fra præcise aksiomer og definitioner. I den indledende fase af udviklingen af ​​kalkulering blev brugen af ​​uendelige mængder betragtet som ikke-streng, den blev udsat for hård kritik af en række forfattere, primært Michel Rolle og biskop Berkeley . Berkeley beskrev berømt infinitesimals som "spøgelser af døde mængder" i sin bog The Analyst i 1734. Udviklingen af ​​stringent grundlag for calculus optog matematikere i over et århundrede efter Newton og Leibniz, og er stadig noget af et aktivt forskningsområde i dag.

Adskillige matematikere, inklusive Maclaurin , forsøgte at bevise gyldigheden af ​​brugen af ​​infinitesimals, men dette blev først gjort 150 år senere af værker af Cauchy og Weierstrass , som endelig fandt midler til, hvordan man undgår simple "små ting" af infinitesimals, og begyndelsen blev lagt differential- og integralregning. I Cauchys skrifter finder vi et universelt spektrum af grundlæggende tilgange, herunder definitionen af ​​kontinuitet i form af infinitesimals og den (noget upræcise) prototype af (ε, δ)-grænse- definitionen i definitionen af ​​differentiering. I sit arbejde formaliserer Weierstrass begrebet grænse og eliminerer uendelige små mængder. Efter dette arbejde af Weierstrass blev grænser, og ikke uendelige størrelser, det generelle grundlag for beregning. Bernhard Riemann brugte disse ideer til at give en præcis definition af integralet. Også i denne periode blev ideerne om kalkulering generaliseret til det euklidiske rum og til det komplekse plan .

I moderne matematik er grundlaget for calculus inkluderet i sektionen af ​​reel analyse , som indeholder komplette definitioner og beviser for teoremer i calculus. Omfanget af kalkulusforskning er blevet meget bredere. Henri Lebesgue udviklede teorien om sætmål og brugte den til at definere integraler af alle undtagen de mest eksotiske funktioner. Laurent Schwartz introducerede generaliserede funktioner , som kan bruges til at beregne afledte af enhver funktion overhovedet.

Indførelsen af ​​grænser afgjorde ikke den eneste strenge tilgang til grundlaget for beregningen. Et alternativ ville for eksempel være Abraham Robinsons ikke-standardiserede analyse . Robinsons tilgang, udviklet i 1960'erne, bruger tekniske værktøjer fra matematisk logik til at udvide systemet af reelle tal til infinitesimals og infinites, som det var tilfældet i det oprindelige Newton-Leibniz koncept. Disse tal, kaldet hyperreals , kan bruges i de sædvanlige regneregler, svarende til hvad Leibniz gjorde.

Vigtigt

Selvom nogle ideer om kalkulering tidligere var blevet udviklet i Egypten , Grækenland , Kina , Indien , Irak, Persien og Japan , begyndte den moderne brug af kalkulus i Europa i det 17. århundrede, da Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz byggede på arbejdet fra tidligere matematikere sine grundprincipper. Udviklingen af ​​calculus var baseret på de tidligere begreber om øjeblikkelig bevægelse og areal under en kurve.

Differentialregning bruges i beregninger relateret til hastighed og acceleration , kurvevinkel og optimering . Anvendelser af integralregning omfatter beregninger, der involverer arealer , volumener , buelængder , massecentre , arbejde og tryk . Mere komplekse applikationer omfatter beregninger af effektserier og Fourierserier .

Calculus[ refine ] bruges også til at få en mere præcis idé om naturen af ​​rum, tid og bevægelse. I århundreder har matematikere og filosoffer kæmpet med de paradokser, der er forbundet med at dividere med nul eller finde summen af ​​en uendelig række af tal. Disse spørgsmål opstår i studiet af bevægelse og beregning af arealer. Den antikke græske filosof Zeno af Elea gav flere berømte eksempler på sådanne paradokser . Calculus giver værktøjer til at løse disse paradokser, især grænser og uendelige rækker.

Grænser og infinitesimals

Uendeligt små mængder kan betragtes som tal, men alligevel er de "uendeligt små". Et infinitesimalt tal dx er større end 0, men mindre end nogen af ​​tallene i sekvensen 1, 1/2, 1/3, ... og mindre end ethvert positivt reelt tal . Taget flere gange er en infinitesimal stadig infinitesimal, det vil sige, at infinitesimaler ikke opfylder Archimedes' aksiom . Fra dette synspunkt er calculus et sæt metoder til at håndtere infinitesimals. Denne tilgang blev ikke understøttet i det 19. århundrede, fordi det var svært at repræsentere begrebet en uendelig nøjagtig. Imidlertid blev konceptet genoplivet i det 20. århundrede med fremkomsten af ​​ikke-standardanalyse og glat infinitesimal analyse , som gav et solidt grundlag for manipulation af infinitesimaler.

I det 19. århundrede blev infinitesimals erstattet af grænser . Grænser beskriver værdien af ​​en funktion for nogle input i form af dens værdi for en naboinput. De dækker småskalaændringer, som infinitesimal, men bruges til det sædvanlige system af reelle tal. I denne fortolkning er calculus et sæt metoder til at manipulere visse grænser. Infinitesimaler erstattes af meget små tal, og infinitesimale ændringer af funktionen findes ved at antage begrænsende adfærd ved mindre og mindre tal. Grænser er den nemmeste måde at etablere et stringent grundlag for beregning, og af denne grund accepteres de som standardmetoden.

Leibniz notation

Notationen introduceret af Leibniz for den afledede ser sådan ud:

I den newtonske tilgang baseret på grænser skal symbolet dy/dx ikke tolkes som en kvotient af delingen af ​​to tal, men som en stenografi for grænsen beregnet ovenfor. Leibniz søgte på den anden side at repræsentere det som forholdet mellem to infinitesimale tal: dy  - differential , det vil sige en infinitesimal ændring i y , og dx  - en infinitesimal ændring i x , der forårsagede en ændring i y [10] .

Selv når du repræsenterer calculus ved hjælp af grænser i stedet for infinitesimals, er notationen generisk til at manipulere symboler, som om dx og dy var reelle tal. Selvom det, for at undgå sådanne manipulationer, nogle gange er praktisk at bruge sådanne notationer i udtrykket af operationen, da dette for eksempel bruges, når det angiver den samlede afledte .

Noter

  1. ↑ Morris Kline, Matematisk tankegang fra oldtiden til moderne tid , Vol. jeg
  2. ↑ Archimedes, Method , in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
  3. ↑ Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Kinesiske studier i videnskabens og teknologiens historie og filosofi  (engelsk)  : tidsskrift. - Springer, 1966. - Vol. 130 . — S. 279 . - ISBN 0-792-33463-9 . , kapitel, s. 279 Arkiveret 26. maj 2016 på Wayback Machine
  4. ↑ Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Calculus: Tidlige  Transcendentals . — 3. — Jones & Bartlett Learning, 2009. - P. xxvii. — ISBN 0-763-75995-3 . , Uddrag af side 27 Arkiveret 21. april 2019 på Wayback Machine
  5. ↑ Indisk matematik . Hentet 16. februar 2012. Arkiveret fra originalen 3. juli 2006.
  6. ↑ von Neumann, J., "The Mathematician", i Heywood, RB, red., The Works of the Mind , University of Chicago Press, 1947, s. 180-196. Genoptrykt i Bródy, F., Vámos, T., eds., The Neumann Compedium , World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017 , s. 618-626.
  7. ↑ André Weil: Talteori. En tilgang gennem historien. Fra Hammurapi til Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9 , s. 28.
  8. ↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm. De tidlige matematiske manuskripter af Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Kopi arkiveret 16. juli 2017 på Wayback Machine
  9. ↑ Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi . Agnes Scott College (april 1995). Arkiveret fra originalen den 5. september 2012.
  10. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 281-282.

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
 Grene af matematik
Portal "Science"
Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portal "Matematik"
  • Kategori "Matematik"